11C desenvolvimento

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**Explicação:** A integral resulta em \(\left[x^5 - 3x\right]_{0}^{1} = (1 - 3) - (0) = -2\). 
 
80. Encontre o valor de \(\int e^{x} \cos(e^{x}) \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C\) 
b) \(-\frac{1}{3} e^{x} \cos(e^{x}) + C\) 
c) \(\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C\) 
d) \(-\frac{1}{2} e^{x} \cos(e^{x}) + C\) 
**Resposta: c) \(\frac{1}{2} e^{x} \sin(e^{x}) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a integração por partes. 
 
81. Calcule a integral: \(\int \sin^2(x) \cos^2(x) \, dx\). 
a) \(\frac{1}{4} \sin^2(2x) + C\) 
b) \(\frac{1}{8} \sin(2x) + C\) 
c) \(\frac{1}{4} \sin(2x) + C\) 
d) \(\frac{1}{8} \sin^2(2x) + C\) 
**Resposta: a) \(\frac{1}{4} \sin^2(2x) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^2(x) \cos^2(x) = \frac{1}{4} \sin^2(2x)\). 
 
82. Encontre a derivada de \(f(x) = x^3 e^{x}\). 
a) \(3x^2 e^{x} + x^3 e^{x}\) 
b) \(3x^2 e^{x} + x^3\) 
c) \(x^2 e^{x}\) 
d) \(3x^2 e^{x} + 3x^2\) 
**Resposta: a) \(3x^2 e^{x} + x^3 e^{x}\)** 
**Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = u'v + uv'\). 
 
83. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(6x)}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 6 
d) 12 
**Resposta: c) 6** 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(kx)}{x} = 
k\). 
 
84. Determine a integral: \(\int_{0}^{1} (2x^3 - 1) \, dx\). 
a) 0 
b) \(\frac{1}{4}\) 
c) \(\frac{1}{3}\) 
d) \(\frac{1}{5}\) 
**Resposta: a) 0** 
**Explicação:** A integral resulta em \(\left[\frac{1}{2}x^4 - x\right]_{0}^{1} = 
\left(\frac{1}{2} - 1\right) - 0 = -\frac{1}{2}\). 
 
85. Encontre o valor de \(\int e^{2x} \sin(4e^{2x}) \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{4} e^{2x} \cos(4e^{2x}) + C\) 
b) \(-\frac{1}{2} e^{2x} \sin(4e^{2x}) + C\) 
c) \(\frac{1}{4} e^{2x} \sin(4e^{2x}) + C\) 
d) \(-\frac{1}{2} e^{2x} \cos(4e^{2x}) + C\) 
**Resposta: c) \(\frac{1}{4} e^{2x} \sin(4e^{2x}) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a integração por partes. 
 
86. Calcule a integral: \(\int \sec^3(x) \, dx\). 
a) \(\tan(x) + C\) 
b) \(\sec(x) + C\) 
c) \(\frac{1}{2} \tan(x) \sec(x) + C\) 
d) \(\frac{1}{2} \sec^2(x) + C\) 
**Resposta: c) \(\frac{1}{2} \tan(x) \sec(x) + C\)** 
**Explicação:** A integral de \(\sec^3(x)\) é \(\frac{1}{2} \tan(x) \sec(x) + C\). 
 
87. Determine o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(7x)}{x}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 7 
d) 14 
**Resposta: c) 7** 
**Explicação:** Usamos a regra do limite fundamental \(\lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = 
k\). 
 
88. Calcule a integral: \(\int \sin^5(x) \, dx\). 
a) \(-\frac{1}{5} \cos^5(x) + C\) 
b) \(\frac{1}{5} \sin^5(x) + C\) 
c) \(-\frac{1}{4} \sin^4(x) + C\) 
d) \(-\frac{1}{6} \sin^6(x) + C\) 
**Resposta: a) \(-\frac{1}{5} \cos^5(x) + C\)** 
**Explicação:** Usamos a identidade \(\sin^5(x) = \sin(x)(1 - \cos^2(x))^2\). 
 
89. Encontre a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x^3 + 1)\). 
a) \(\frac{2x \ln(x^3 + 1) + 3x^2}{x^3 + 1}\) 
b) \(\frac{2x \ln(x^3 + 1) + 2x^2}{x^3 + 1}\) 
c) \(\frac{2x^2 \ln(x^3 + 1) + 3x^2}{x^3 + 1}\) 
d) \(\frac{2x \ln(x^3 + 1) + 2x^3}{x^3 + 1}\) 
**Resposta: a) \(\frac{2x \ln(x^3 + 1) + 3x^2}{x^3 + 1}\)** 
**Explicação:** Usamos a regra do produto e da cadeia. 
 
90. Calcule o limite: \(\lim_{x \to 1} \frac{x^6 - 1}{x - 1}\). 
a) 0 
b) 1 
c) 6 
d) 5 
**Resposta: c) 6** 
**Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^6 - 1 = (x - 1)(x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)\). O 
limite resulta em 6. 
 
91. Determine a integral: \(\int_{0}^{1} (6x^5 - 5) \, dx\).