GHMVP mecanica GHMVP

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15. **Qual é o valor da derivada de \(f(x) = x^4 - 2x^3 + x - 5\) em \(x = 2\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Primeiro, encontramos a derivada: \(f'(x) = 4x^3 - 6x^2 + 1\). Avaliando 
em \(x = 2\): \(f'(2) = 4(2^3) - 6(2^2) + 1 = 32 - 24 + 1 = 9\). 
 
16. **Qual é a integral definida \(\int_{1}^{3} (2x + 1) \, dx\)?** 
 a) 4 
 b) 6 
 c) 8 
 d) 10 
 **Resposta:** c) 8 
 **Explicação:** A antiderivada é \(x^2 + x\). Avaliando de 1 a 3: \((3^2 + 3) - (1^2 + 1) = (9 
+ 3) - (1 + 1) = 12 - 2 = 10\). 
 
17. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{2x}{\cos(x)} = 
\frac{0}{1} = 0\). 
 
18. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^5 - 5x^4 + 10x^3 - 10x + 1\)?** 
 a) \(5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 10\) 
 b) \(5x^4 - 15x^3 + 10x^2 - 10\) 
 c) \(5x^4 - 10x^3 + 10x^2 - 10\) 
 d) \(5x^4 - 20x^3 + 10x^2 - 5\) 
 **Resposta:** a) \(5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 10\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do poder: \(f'(x) = 5x^4 - 20x^3 + 30x^2 - 10\). 
 
19. **Qual é a integral \(\int (6x^5 - 3x^4 + 2) \, dx\)?** 
 a) \(x^6 - \frac{3}{5}x^5 + 2x + C\) 
 b) \(6x^6 - \frac{3}{5}x^5 + 2x + C\) 
 c) \(6x^6 - \frac{3}{4}x^5 + 2x + C\) 
 d) \(x^6 - \frac{3}{4}x^5 + 2x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^6 - \frac{3}{5}x^5 + 2x + C\) 
 **Explicação:** A integral é calculada como \(\int 6x^5 \, dx = x^6\), \(\int -3x^4 \, dx = -
\frac{3}{5}x^5\), e \(\int 2 \, dx = 2x\). Assim, a integral total é \(x^6 - \frac{3}{5}x^5 + 2x + 
C\). 
 
20. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Não existe 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital: \(\lim_{x \to 0} \frac{2\cos(2x)}{1} = 
2\cos(0) = 2\). 
 
21. **Qual é a derivada de \(f(x) = \sqrt{x^3 + 1}\)?** 
 a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 b) \(\frac{3x^2 + 1}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 c) \(\frac{3x^2}{\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 d) \(\frac{x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 **Resposta:** a) \(\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = \frac{1}{2\sqrt{x^3 + 1}} \cdot (3x^2) = 
\frac{3x^2}{2\sqrt{x^3 + 1}}\). 
 
22. **Qual é a integral definida \(\int_{0}^{1} (4x^3 - 2x^2 + 1) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** b) 2 
 **Explicação:** A antiderivada é \(x^4 - \frac{2}{3}x^3 + x\). Avaliando de 0 a 1: \((1 - 
\frac{2}{3} + 1) - (0) = 2 - \frac{2}{3} = \frac{4}{3}\). 
 
23. **Qual é o valor do limite \(\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 1}{x - 1}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** d) 3 
 **Explicação:** Usamos a fatoração: \(x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1)\). Portanto, o limite se 
torna \(\lim_{x \to 1} (x^2 + x + 1) = 3\). 
 
24. **Qual é a derivada de \(f(x) = e^{x^2}\)?** 
 a) \(2xe^{x^2}\) 
 b) \(e^{x^2}\) 
 c) \(x e^{x^2}\) 
 d) \(2e^{x^2}\) 
 **Resposta:** a) \(2xe^{x^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra da cadeia: \(f'(x) = e^{x^2} \cdot (2x) = 2xe^{x^2}\). 
 
25. **Qual é a integral \(\int (5x^4 - 3x^2 + 1) \, dx\)?** 
 a) \(x^5 - x^3 + x + C\) 
 b) \(5x^5 - x^3 + x + C\) 
 c) \(5x^5 - \frac{3}{3}x^3 + x + C\) 
 d) \(5x^5 - \frac{3}{4}x^3 + x + C\) 
 **Resposta:** a) \(x^5 - x^3 + x + C\)