séries de pagamentos

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SÉRIES DE PAGAMENTOS
Prof.: Felipe Chaves Inácio
SÉRIES DE PAGAMENTOS
• As séries de pagamentos constituem-se de vários pagamentos
ou recebimentos periódicos com vencimentos sucessivos.
• Estes pagamentos/recebimentos podem ser antecipados ou
postecipados, constantes ou varáveis, finitos ou “infinitos”.
• Independente do tipo, entretanto é importante entender o
conceito de fluxo de caixa.
• Segundo Sobrinho (2018), “o fluxo de caixa pode ser entendido
como uma sucessão de recebimentos ou de pagamentos, em
dinheiro, previstos para determinado período de tempo”.
• Este fluxo é, normalmente, representado por uma linha horizontal
representando o tempo e linhas verticais, orientadas para cima ou
para baixo, representando as entradas e saídas de caixa,
respectivamente.
FLUXO DE CAIXA
EXEMPLO DE REPRESENTAÇÃO
DE UM FLUXO DE CAIXA
30.000
7.000 7.000 7.000 7.000 7.000
• São aquelas em que as parcelas (entradas/saídas de caixa)
são constantes ao longo do período da operação.
• As parcelas antecipadas aquelas pagas/recebidas no início
de cada período.
• Por outro lado, as parcelas postecipadas (vencidas) são
pagas/recebidas no final de cada período.
SÉRIES DE PAGAMENTOS UNIFORMES
• Parcelas pagas ao final de cada período;
• Como exemplo, temos as faturas de cartão de crédito e as
compras realizadas a prazo.
• Chamaremos de “R” o valor de cada parcela e “t”, a
quantidade delas.
PARCELAS VENCIDAS
• O montante de uma série constante com parcelas vencidas
pode ser calculado da seguinte forma:
𝑴 = 𝑹 ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒕−𝟏
𝒊
CÁLCULO DO MONTANTE
• O valor presente de uma série constante com parcelas
vencidas é calculado da seguinte forma:
𝑪 = 𝑹 ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒕−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒕× 𝒊
CÁLCULO DO CAPITAL
(VALOR PRESENTE)
Suponha que uma pessoa deseja ter $5.000,00 para uma
viagem dentro de um ano e queira saber quanto ela deve
aplicar mensalmente, considerando um fundo que rende
1,75% ao mês.
EXEMPLO 1
Como haverá uma entrada de caixa somente depois de um
ano (após as saídas consecutivas), trata-se de um valor
futuro (montante). Então:
• 𝑴 = 𝑹 ∙
(𝟏+𝒊)𝒕−𝟏
𝒊
• 𝟓. 𝟎𝟎𝟎 = 𝑹 ∙
(𝟏+𝟎,𝟎𝟏𝟕𝟓)𝟏𝟐−𝟏
𝟎,𝟎𝟏𝟕𝟓
• 𝑹 = 𝟑𝟕𝟖, 𝟎𝟕
SOLUÇÃO
Uma pessoa deseja contrair um empréstimo para ser pago
em 12 prestações mensais cujo valor máximo deve ser
$300,00. Sabendo que a taxa de juros cobrada pelo credor é
de 1,5% ao mês, qual deve ser o valor deste empréstimo?
EXEMPLO 2
Como haverá uma entrada de caixa no início da operação e
somente depois as saídas consecutivas, trata-se de um
valor presente. Assim:
• 𝑪 = 𝑹 ∙
(𝟏+𝒊)𝒕−𝟏
(𝟏+𝒊)𝒕×𝒊
• 𝑪 = 𝟑𝟎𝟎 ∙
(𝟏+𝟎,𝟎𝟏𝟓)𝟏𝟐−𝟏
(𝟏+𝟎,𝟎𝟏𝟓)𝟏𝟐×𝟎,𝟎𝟏𝟓
• 𝑪 = 𝟑. 𝟐𝟕𝟐, 𝟐𝟓
SOLUÇÃO
• São aquelas em que o pagamento ou recebimento ocorre
no início de cada período.
• Dessa forma, a primeira parcela deve ser paga ou recebida
no “momento zero”.
• Como exemplo, temos as compras parceladas em que há
uma “entrada” e o restante é dividido em partes iguais.
PARCELAS ANTECIPADAS
• Nas séries constantes com parcelas antecipadas, o montante 
é calculado da seguinte forma:
𝑴 = 𝑹 ∙ (𝟏 + 𝒊) ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒕−𝟏
𝒊
CÁLCULO DO MONTANTE
• Nas séries constantes com parcelas antecipadas, o valor
presente (capital) é calculado da seguinte forma:
𝑪 = 𝑹 ∙ (𝟏 + 𝒊) ∙
(𝟏 + 𝒊)𝒕−𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒕× 𝒊
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE
• São aquelas em que os pagamentos ou recebimentos não são
constantes ao longo da operação, podendo crescer, decrescer ou
mesmo não seguir nenhuma tendência.
• Nos casos em que as parcelas variam de acordo com uma regra
determinada, chamamos de gradiente (G) a diferença entre um
pagamento e outro.
• Veremos as situações onde as parcelas crescem ou decrescem de
acordo com uma PA.
SÉRIES DE PAGAMENTOS VARIÁVEIS
(GRADIENTE)
• Chamando de renda base (R) o primeiro pagamento; os
pagamentos posteriores serão essa renda base mais os
gradientes acumulados em cada período.
• Devemos lembrar que o gradiente começa sempre a partir
do segundo pagamento. Dessa forma, existem duas séries:
a do gradiente e a da renda base e essas duas séries
devem ser somadas.
CRESCIMENTO EM PROGRESSÃO ARITMÉTICA
• No caso em que os pagamentos são postecipados, na série
do gradiente o montante é calculado da seguinte forma:
𝑴 =
𝑮
𝒊
∙
(𝟏 + 𝒊)𝒕−𝟏
𝒊
− 𝒕
CÁLCULO DO MONTANTE
• Também na série do gradiente e considerando parcelas
postecipadas, o valor presente será dado por:
𝑪 =
𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒕
∙
𝑮
𝒊
∙
(𝟏 + 𝒊)𝒕−𝟏
𝒊
− 𝒕
• Na série da renda base, tanto o valor presente como o
montante são calculados da forma que vimos anteriormente.
CÁLCULO DO VALOR PRESENTE
• O cálculo do montante e do valor presente são feitos quase
da mesma forma:
𝑴 =
𝑮
𝒊
∙ (𝟏 + 𝒊) ∙
𝟏 + 𝒊 𝒕 − 𝟏
𝒊
− 𝒕
𝑪 =
𝑮
𝒊
∙ (𝟏 + 𝒊) ∙
𝟏 + 𝒊 𝒕 − 𝟏
(𝟏 + 𝒊)𝒕× 𝒊
−
𝒕
(𝟏 + 𝒊)𝒕
PAGAMENTOS ANTECIPADOS
• São aquelas em que há um grande número de pagamentos ou
recebimentos durante um tempo que não é possível especificar.
• Um bom exemplo são as rendas provenientes de fundos
previdenciários, aquelas que recebemos após a aposentadoria.
• Será o resultado da aplicação de uma taxa de juros por um
capital onde o número de períodos é muito grande e
indeterminado.
SÉRIES INFINITAS
• O valor periódico de uma série infinita é dado por:
𝑹 = 𝑪 × 𝒊
• Assim, se conhecemos o valor das parcelas, o capital será:
𝑪 =
𝑹
𝒊
VALOR DAS PARCELAS E DO CAPITAL