EquacoesDiferenciais
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Ministério da Educação 
Universidade Tecnológica Federal do Paraná 
Campus Curitiba 
Gerência de Ensino e Pesquisa 
Departamento Acadêmico de Matemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profa Paula Francis Benevides 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 1
 AULA 01 
 
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS 
 
 
1 \u2013 INTRODUÇÃO: 
 Antes de mais nada, vamos recordar a diferença entre a derivada e a diferencial, pois, 
embora a derivada e a diferencial possuam as mesmas regras operacionais, esses dois 
operadores têm significados bastante diferentes. As diferenças mais marcantes são: 
a) a derivada tem significado físico e pode gerar novas grandezas físicas, como por 
exemplo a velocidade e a aceleração; a diferencial é um operador com propriedades 
puramente matemáticas; 
b) a derivada transforma uma função em outra, mantendo uma correspondência 
entre os pontos das duas funções (por exemplo, transforma uma função do segundo 
grau em uma função do primeiro grau); a diferencial é uma variação infinitesimal de 
uma grandeza; 
c) a derivada é uma operação entre duas grandezas; a diferencial é uma operação 
que envolve uma grandeza; 
d) o resultado de uma derivada não contém o infinitésimo em sua estrutura; 
conseqüentemente, não existe a integral de uma derivada; a integral só pode ser 
aplicada a um termo que contenha um diferencial (infinitésimo); 
e) Se for feito o quociente entre os dois diferenciais, tem-se: 
 
 em total semelhança com a definição de derivada. A conseqüência direta desse fato é 
que a derivada não é o quociente entre duas diferenciais, mas comporta-se como se 
fosse esse quociente. Isto significa que a partir da relação: 
 
 é possível escrever: 
 dy = f(x).dx 
 que se denomina equação diferencial. 
f) uma das aplicações mais importantes envolvendo derivadas e diferenciais é a 
obtenção da equação diferencial, etapa fundamental para a introdução do Cálculo 
Integral. 
 
1.1 - Definição: Equação diferencial é uma equação que relaciona uma função e suas 
derivadas ou diferenciais. Quando a equação possui derivadas, estas devem ser passadas para 
a forma diferencial. As equações diferenciais da forma ( )yfy =\u2032 são chamadas de 
autônomas. 
 
Exemplos: 
 
1) 13 \u2212= x
dx
dy
 
 
2) 0=\u2212 ydxxdy 
 
3) 
2
2 3 2 0
d y dy y
dxdx
+ + = 
 
4) 2"' 2( ") ' cosy y y x+ + = 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 2
5) 2 3 2( ") ( ') 3y y y x+ + = 
 
6) 
2 2
2
2 2
z z x y
x y
\u2202 \u2202+ = +\u2202 \u2202 
 
7) 
z zz x
x y
\u2202 \u2202= +\u2202 \u2202 
 
1.2 - Classificação: 
 Havendo uma só variável independente, como em (1) a (5), as derivadas são ordinárias 
e a equação é denominada equação diferencial ordinária. 
 Havendo duas ou mais variáveis independentes, como em (6) e (7), as derivadas são 
parciais e a equação é denominada equação diferencial parcial. 
 
1.2.1 - Ordem: A ordem de uma equação diferencial é a ordem de mais alta derivada que 
nela aparece. As equações (1), (2) e (7) são de primeira ordem; (3), (5) e (6) são de segunda 
ordem e (4) é de terceira ordem. 
 
1.2.2 - Grau: O grau de uma equação diferencial, que pode ser escrita, considerando a 
derivadas, como um polinômio, é o grau da derivada de mais alta ordem que nela aparece. 
Todas as equações dos exemplos acima são do primeiro grau, exceto (5) que é do segundo 
grau. 
 
 As equações diferenciais parciais serão vista mais adiante. 
 
Exemplos: 
 
1
3
33
3
=\u2212
dx
yd
y
dx
ydx \u21d2 3
32
3
3
dx
ydy
dx
ydx =\u2212\u239f\u239f\u23a0
\u239e
\u239c\u239c\u239d
\u239b
 \u21d2 3a ordem e 2o grau 
 
 
yxLg
dx
dyLg =\u2212 2 \u21d2 y
x
dx
dy
Lg =2 \u21d2 yedx
dy
x
=.12 \u21d2 yexdx
dy 2= \u21d2 1a ordem e 1o grau 
 
 Observe que nem sempre à primeira vista, pode-se classificar a equação de imediato 
quanto a ordem e grau. 
 
 
1.3 \u2013 Origem das Equações Diferenciais: 
 Uma relação entre as variáveis, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, como 
4y x Cx= + 4y x Cx= + ou 2y Ax Bx= + , é chamada uma primitiva. As n constantes, 
representadas sempre aqui, por letras maiúsculas, serão denominadas essenciais se não 
puderem ser substituídas por um número menos de constantes. 
 Em geral uma primitiva, encerrando n constantes arbitrárias essenciais, dará origem a 
uma equação diferencial, de ordem n, livre de constantes arbitrárias. Esta equação aparece 
eliminando-se as n constantes entre as (n + 1) equações obtidas juntando-se à primitiva as n 
equações provenientes de n derivadas sucessivas, em relação a variável independente, da 
primitiva. 
 
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 3
Exemplos: Obter a equação diferencial associada às primitivas abaixo: 
 
a) 6
2
3 2 +\u2212= xxy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) y = C1 sen x + C2 cos x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c) y = Cx2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
d) y = C1 x2 + C2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Equações Diferenciais Profa Paula Francis Benevides 
 
 4
e) y = a cos(x + b) onde a e b são constantes 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
f) y = C1 e3x + C2 e- 2x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 01 \u2013 EXERCÍCIOS 
1) x2 + y2 = C2 
2) y = C ex 
3) x3 = C (x2 \u2013 y2) 
4) y = C1 cos 2x + C2 sen 2x 
5) y = (C1 + C2x) ex + C3 
6) y = C1 e2x + C2 e- x 
7) ay
y
xLg += 1 
8) x2y3 + x3y5 = C 
9) y = Ax2 + Bx + C 
10) y = Ae2x + Bex + C 
11) y = C1e3x + C2e2x + C3 ex 
12) ln y = Ax2 + B 
Respostas: 
1) 0=+ ydyxdx 
2) 0=\u2212 y
dx
dy
 
3) 
dx
dyxyxy 23 22 =\u2212 
4) 042
2
=+ y
dx
yd
 
5) 02 2
2
3
3
=+\u2212
dx
dy
dx
yd
dx
yd
 
6) 022
2
=\u2212\u2212 y
dx
dy
dx
yd
 
7) 0ln =\u2212\u22c5 y
dx
dy
y
xx 
8) 22 3 3 5 0dy dyy x xy y x
dx dx
\u239b \u239e+ + + =\u239c \u239f\u239d \u23a0 
9) 
3
3 0
d y
dx
= 
10) 
3 2
3 26 11 6 0
d y d y dy y
dxdx dx
\u2212 + \u2212 = 
11)
2
3 22 4 0dy dyx x y
dx dx
\u239b \u239e + \u2212 =\u239c \u239f\u239d \u23a0 
12) 2" ' ( ') 0xyy yy x y\u2212 \u2212 = 
 
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AULA 02 
 
1.3 - Resolução: Resolver uma ED é determinar todas as funções que, sob a forma finita, 
verificam a equação, ou seja, é obter uma função de variáveis que, substituída na equação, 
transforme-a numa identidade. A resolução de uma equação diferencial envolve basicamente 
duas etapas: a primeira, que é a preparação da equação, que consiste em fazer com que cada 
termo da equação tenha, além de constantes, um único tipo de variável. A segunda etapa é a 
resolução da equação diferencial e consiste na aplicação dos métodos de integração. 
¾ Solução geral: (a primitiva de uma equação diferencial) solução que contem tantas 
constantes arbitrárias quantas forem as unidades de ordem da equação. 
¾ Solução particular: solução da equação deduzida da solução geral, atribuindo-se 
valores particulares as constantes arbitrárias. 
¾ Solução singular: solução que não pode ser deduzida da equação geral. 
 
 
1.4 - Curvas Integrais: 
Geometricamente, a primitiva é a equação de uma família de curvas e uma solução 
particular é a equação de uma dessas curvas. Estas curvas são denominadas curvas integrais 
da equação diferencial. 
 
Exemplo: 
 x
dx
dy 2= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 - EQUAÇÕES DE PRIMEIRA ORDEM E PRIMEIRO GRAU 
 
 São equações de 1a ordem e 1o grau: 
 
),( yxF
dx
dy = ou 0=+ NdyMdx 
 
em que M = M(x,y) e N = N(x,y). 
 Estas funções tem que ser contínuas no intervalo considerado (- \u221e, \u221e) 
 
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2.1 \u2013 TIPOS DE EQUAÇÃO: 
 
2.1.1 - EQUAÇÕES DE VARIÁVEIS SEPARÁVEIS. 
 
 Uma equação do tipo Mdx