a energia cinetica ECC

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c) 3 
 d) 4 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** A antiderivada é \(x^4 - x^3 + x^2 - x\). Avaliando de 1 a 2, temos \(16 - 8 
+ 4 - 2 - (1 - 1 + 1 - 1) = 1\). 
 
29. **Qual é a derivada de \(f(x) = \tan(x)\)?** 
 a) \(\sec^2(x)\) 
 b) \(\sin^2(x)\) 
 c) \(\cos^2(x)\) 
 d) \(\frac{1}{\cos^2(x)}\) 
 **Resposta:** a) \(\sec^2(x)\) 
 **Explicação:** A derivada de \(\tan(x)\) é \(\sec^2(x)\). 
 
30. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (2x + 3) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) 2 
 c) 3 
 d) 5 
 **Resposta:** d) 5 
 **Explicação:** A antiderivada é \(x^2 + 3x\). Avaliando de 0 a 1, temos \(1 + 3 = 4\). 
 
31. **Qual é o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin(x)}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) Infinito 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** Usamos a regra de L'Hôpital ou a série de Taylor. 
 
32. **Qual é a integral de \(\int e^{-x} \, dx\)?** 
 a) \(-e^{-x} + C\) 
 b) \(e^{-x} + C\) 
 c) \(-xe^{-x} + C\) 
 d) \(-\frac{1}{e^x} + C\) 
 **Resposta:** a) \(-e^{-x} + C\) 
 **Explicação:** A integral de \(e^{-x}\) é \(-e^{-x} + C\). 
 
33. **Qual é a derivada de \(f(x) = x^2 \ln(x)\)?** 
 a) \(2x \ln(x) + x\) 
 b) \(2x \ln(x) - x\) 
 c) \(x^2 \cdot \frac{1}{x}\) 
 d) \(2x \ln(x) + 2x\) 
 **Resposta:** a) \(2x \ln(x) + x\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto: \(f'(x) = x^2 \cdot \frac{1}{x} + 2x \ln(x)\). 
 
34. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^2 + 2x) \, dx\)?** 
 a) 1 
 b) \(\frac{5}{3}\) 
 c) \(\frac{2}{3}\) 
 d) \(\frac{1}{3}\) 
 **Resposta:** b) \(\frac{5}{3}\) 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{x^3}{3} + x^2\). Avaliando de 0 a 1, temos 
\(\frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3}\). 
 
35. **Qual é o valor de \(\lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \(-\frac{1}{2}\) 
 d) Infinito 
 **Resposta:** c) \(-\frac{1}{2}\) 
 **Explicação:** Usamos a série de Taylor para \(\cos(x)\). 
 
36. **Qual é a integral de \(\int x e^x \, dx\)?** 
 a) \(xe^x - e^x + C\) 
 b) \(e^x(x - 1) + C\) 
 c) \(xe^x + C\) 
 d) \(e^x + C\) 
 **Resposta:** b) \(e^x(x - 1) + C\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do produto e integração por partes. 
 
37. **Qual é a derivada de \(f(x) = \frac{1}{x}\)?** 
 a) \(-\frac{1}{x^2}\) 
 b) \(\frac{1}{x^2}\) 
 c) \(-x^{-1}\) 
 d) \(-x^2\) 
 **Resposta:** a) \(-\frac{1}{x^2}\) 
 **Explicação:** Usamos a regra do poder. 
 
38. **Qual é o valor de \(\int_0^1 (x^3 - 4x^2 + 4) \, dx\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 **Resposta:** c) 2 
 **Explicação:** A antiderivada é \(\frac{x^4}{4} - \frac{4x^3}{3} + 4x\). Avaliando de 0 a 1, 
obtemos \(2\). 
 
39. **Qual é o limite de \(\lim_{x \to 0} \frac{\ln(x)}{x}\)?** 
 a) 0 
 b) 1 
 c) Infinito 
 d) \(-\infty\)