cdm horairo de contas

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a) \( \frac{\pi^4}{90} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{\pi^4}{4} \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi^4}{90} \) 
 **Explicação:** Esta série converge para \( \frac{\pi^4}{90} \), conforme provado por 
Euler. 
 
45. O que é a integral de \( \int_0^2 (x^2 - 4) \, dx \)? 
 a) -2 
 b) 0 
 c) 2 
 d) 4 
 **Resposta:** a) -2 
 **Explicação:** A integral de \( x^2 - 4 \) é \( \frac{x^3}{3} - 4x \). Avaliando de 0 a 2, 
temos \( \left[\frac{8}{3} - 8\right] - [0] = \frac{8}{3} - 8 = -\frac{16}{3} \). 
 
46. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3) \)? 
 a) \( \frac{3}{x} \) 
 b) \( \frac{1}{x^3} \) 
 c) \( 3\ln(x) \) 
 d) \( \frac{1}{3x} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{3}{x} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, a derivada é \( \frac{3}{x} \). 
 
47. Determine o valor de \( \int_1^4 (x^2 - 2) \, dx \). 
 a) 6 
 b) 8 
 c) 4 
 d) 0 
 **Resposta:** a) 6 
 **Explicação:** A integral de \( x^2 - 2 \) é \( \frac{x^3}{3} - 2x \). Avaliando de 1 a 4, 
temos \( \left[\frac{64}{3} - 8\right] - \left[\frac{1}{3} - 2\right] = \frac{64}{3} - 8 + 2 - 
\frac{1}{3} = \frac{64 - 24 + 6 - 1}{3} = \frac{45}{3} = 15 \). 
 
48. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5} \)? 
 a) \( \frac{\pi^5}{120} \) 
 b) \( 1 \) 
 c) \( \frac{\pi^5}{4} \) 
 d) \( 2 \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{\pi^5}{120} \) 
 **Explicação:** Esta série converge para \( \frac{\pi^5}{120} \), conforme provado por 
Euler. 
 
49. O que é a integral de \( \int_0^1 (6x^2 - 4) \, dx \)? 
 a) -1 
 b) 0 
 c) 1 
 d) 2 
 **Resposta:** c) 1 
 **Explicação:** A integral de \( 6x^2 - 4 \) é \( 2x^3 - 4x \). Avaliando de 0 a 1, temos \( [2 - 
4] - [0] = -2 \). 
 
50. Qual é a derivada de \( f(x) = x^3 + 3x^2 - 5x + 1 \)? 
 a) \( 3x^2 + 6x - 5 \) 
 b) \( 3x^2 + 5x - 5 \) 
 c) \( 3x^2 + 6x + 5 \) 
 d) \( 3x^2 - 5 \) 
 **Resposta:** a) \( 3x^2 + 6x - 5 \) 
 **Explicação:** A derivada de cada termo é calculada separadamente, resultando em \( 
3x^2 + 6x - 5 \). 
 
51. O que é a integral de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \)? 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \frac{\pi}{2} \) 
 **Resposta:** b) 1 
 **Explicação:** A integral de \( \cos(x) \) é \( \sin(x) \). Avaliando de 0 a \( \frac{\pi}{2} \), 
temos \( \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) - \sin(0) = 1 - 0 = 1 \). 
 
52. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 a) 0 
 b) \( -\frac{1}{2} \) 
 c) 1 
 d) Não existe 
 **Resposta:** b) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x} = 0 
\). 
 
53. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} \)? 
 a) 1 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{3}{2} \) 
 d) \( \frac{1}{2} \) 
 **Resposta:** a) 1 
 **Explicação:** Esta é uma série geométrica com \( a = \frac{1}{3} \) e \( r = \frac{1}{3} \). 
A soma é \( \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{1}{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 1 \). 
 
54. O que é a integral de \( \int_0^1 (3x^2 + 1) \, dx \)? 
 a) 1 
 b) \( \frac{5}{3} \) 
 c) \( \frac{7}{3} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{5}{3} \)