GSU obrigação de casa

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B) \( 12x - 6 \) 
 C) \( 12x^3 - 6 \) 
 D) \( 12x^2 \) 
 **Resposta:** A) \( 12x^2 - 6 \) 
 **Explicação:** A primeira derivada é \( 4x^3 - 6x \). A segunda derivada é \( 12x^2 - 6 \). 
 
11. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 5 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** C) 5 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(5x)}{x} = 5 \). 
 
12. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)? 
 A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( \frac{\pi}{2} \) 
 D) \( 2 \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** Esta série converge para \( \frac{\pi^2}{6} \), um resultado famoso na 
teoria das séries. 
 
13. Encontre a função inversa de \( f(x) = 3x - 5 \). 
 A) \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \) 
 B) \( f^{-1}(x) = 3x + 5 \) 
 C) \( f^{-1}(x) = \frac{x - 5}{3} \) 
 D) \( f^{-1}(x) = 3x - 5 \) 
 **Resposta:** A) \( f^{-1}(x) = \frac{x + 5}{3} \) 
 **Explicação:** Para encontrar a inversa, trocamos \( x \) e \( y \) e resolvemos para \( y 
\): \( x = 3y - 5 \) resulta em \( y = \frac{x + 5}{3} \). 
 
14. Determine o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) \( -1 \) 
 **Resposta:** C) 2 
 **Explicação:** A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \). Avaliando de 0 a \( \pi \), temos \( -
\cos(\pi) - (-\cos(0)) = 1 + 1 = 2 \). 
 
15. Qual é a equação da reta normal à curva \( y = x^2 \) no ponto \( (1, 1) \)? 
 A) \( y = -2x + 3 \) 
 B) \( y = 2x - 1 \) 
 C) \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \) 
 D) \( y = 2x + 1 \) 
 **Resposta:** A) \( y = -2x + 3 \) 
 **Explicação:** A derivada em \( x = 1 \) é \( 2 \), então a inclinação da reta normal é \( -
\frac{1}{2} \). Usando a fórmula da reta normal, obtemos \( y - 1 = -2(x - 1) \) que simplifica 
para \( y = -2x + 3 \). 
 
16. Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) \( \infty \) 
 D) Não existe 
 **Resposta:** A) 0 
 **Explicação:** Como \( |\sin\left(\frac{1}{x}\right)| \leq 1 \), temos \( |x 
\sin\left(\frac{1}{x}\right)| \leq |x| \). Assim, o limite é 0. 
 
17. Qual é a derivada da função \( h(x) = \ln(x^2 + 1) \)? 
 A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 B) \( \frac{1}{x^2 + 1} \) 
 C) \( \frac{2}{x^2 + 1} \) 
 D) \( \frac{1}{2x} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{2x}{x^2 + 1} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( h'(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \cdot 2x = 
\frac{2x}{x^2 + 1} \). 
 
18. Calcule a integral \( \int x e^{x^2} \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 B) \( e^{x^2} + C \) 
 C) \( e^{x^2} + \frac{1}{2} + C \) 
 D) \( e^{x^2} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{1}{2} e^{x^2} + C \) 
 **Explicação:** Usando a substituição \( u = x^2 \), temos \( du = 2x \, dx \), então \( dx = 
\frac{du}{2x} \). A integral se transforma em \( \int e^u \frac{du}{2} = \frac{1}{2} e^{u} + C = 
\frac{1}{2} e^{x^2} + C \). 
 
19. Qual é o valor de \( \int_0^1 x^3 \, dx \)? 
 A) \( \frac{1}{4} \) 
 B) \( \frac{1}{3} \) 
 C) \( \frac{1}{5} \) 
 D) \( \frac{1}{6} \) 
 **Resposta:** C) \( \frac{1}{4} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \). Avaliando de 0 a 1, temos \( 
\frac{1^4}{4} - \frac{0^4}{4} = \frac{1}{4} \). 
 
20. Encontre a série de Taylor de \( f(x) = e^x \) em torno de \( x = 0 \). 
 A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \) 
 B) \( 1 + \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{4!} + \ldots \) 
 C) \( x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \ldots \) 
 D) \( 1 + x^2 + x^3 + \ldots \) 
 **Resposta:** A) \( 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \ldots \) 
 **Explicação:** A série de Taylor para \( e^x \) é dada por \( \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{x^n}{n!} \).