GGE obrigação de casa

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**Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = 6x^5 - 12x^2 \). 
 
54. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
 A) 0 
 B) \( -\frac{1}{2} \) 
 C) 1 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** B) \( -\frac{1}{2} \) 
 **Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, temos \( \lim_{x \to 0} \frac{-\sin(x)}{2x} = 0 
\). 
 
55. Determine a integral \( \int_1^2 (3x^2) \, dx \). 
 A) \( \frac{5}{3} \) 
 B) \( \frac{8}{3} \) 
 C) \( 3 \) 
 D) \( 4 \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{8}{3} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int 3x^2 \, dx = x^3 \). Avaliando de 1 a 2, temos \( (2^3 - 
1^3) = 8 - 1 = 7 \). 
 
56. Qual é a equação da reta normal à função \( y = x^2 \) no ponto \( (1, 1) \)? 
 A) \( y = -2x + 3 \) 
 B) \( y = 2x - 1 \) 
 C) \( y = -\frac{1}{2}x + 1 \) 
 D) \( y = 2x + 1 \) 
 **Resposta:** A) \( y = -2x + 3 \) 
 **Explicação:** A derivada em \( x = 1 \) é \( 2 \), então a inclinação da reta normal é \( -
\frac{1}{2} \). Usando a fórmula da reta normal, obtemos \( y - 1 = -2(x - 1) \) que simplifica 
para \( y = -2x + 3 \). 
 
57. Encontre o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin(x)}{x^3} \). 
 A) 0 
 B) \( -\frac{1}{6} \) 
 C) 1 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** B) \( -\frac{1}{6} \) 
 **Explicação:** Usando a série de Taylor para \( \sin(x) \), temos \( \sin(x) = x - 
\frac{x^3}{6} + O(x^5) \). Portanto, \( x - \sin(x) \approx \frac{x^3}{6} \) e o limite se torna \( -
\frac{1}{6} \). 
 
58. Qual é a integral indefinida \( \int \frac{1}{x^2 + 1} \, dx \)? 
 A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 B) \( \sin^{-1}(x) + C \) 
 C) \( \ln(x^2 + 1) + C \) 
 D) \( -\frac{1}{x} + C \) 
 **Resposta:** A) \( \tan^{-1}(x) + C \) 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x^2 + 1} \) é conhecida como \( \tan^{-1}(x) + C \). 
 
59. Determine o valor de \( \int_0^1 (x^2 + 1) \, dx \). 
 A) \( \frac{1}{3} \) 
 B) \( \frac{2}{3} \) 
 C) \( \frac{1}{2} \) 
 D) \( 1 \) 
 **Resposta:** B) \( \frac{2}{3} \) 
 **Explicação:** A integral \( \int (x^2 + 1) \, dx = \frac{x^3}{3} + x \). Avaliando de 0 a 1, 
temos \( \left(\frac{1}{3} + 1\right) - 0 = \frac{4}{3} \). 
 
60. Qual é a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \)? 
 A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 B) \( 1 \) 
 C) \( 2 \) 
 D) \( \frac{\pi^2}{4} \) 
 **Resposta:** A) \( \frac{\pi^2}{6} \) 
 **Explicação:** Esta série converge para \( \frac{\pi^2}{6} \), um resultado conhecido. 
 
61. Encontre a derivada de \( f(x) = x^3 - 3x + 1 \). 
 A) \( 3x^2 - 3 \) 
 B) \( 3x^2 + 3 \) 
 C) \( 3x^2 - 1 \) 
 D) \( 3x^2 + 1 \) 
 **Resposta:** A) \( 3x^2 - 3 \) 
 **Explicação:** Usando a regra da potência, temos \( f'(x) = 3x^2 - 3 \). 
 
62. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 4 
 D) \( \infty \) 
 **Resposta:** C) 4 
 **Explicação:** Usando a propriedade \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos \( 
\lim_{x \to 0} \frac{\tan(4x)}{x} = 4 \). 
 
63. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{2x} \)? 
 A) \( 2e^{2x} \) 
 B) \( e^{2x} \) 
 C) \( 2e^{x} \) 
 D) \( e^{x} \) 
 **Resposta:** A) \( 2e^{2x} \) 
 **Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = 2e^{2x} \). 
 
64. Determine a integral \( \int_0^1 (6x^2 - 4) \, dx \). 
 A) 0 
 B) 1 
 C) 2 
 D) 3