calculo das letras XC

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c) \( \ln(x) + C \) 
d) \( \ln(x) \ln(\ln(x)) + C \) 
**Resposta: a) \( \ln(\ln(x)) + C \)** 
**Explicação:** Usando a substituição \( u = \ln(x) \), obtemos \( \int \frac{1}{u} \, du = 
\ln(u) + C \). 
 
26. Determine a soma da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+1)} \). 
a) 1 
b) 2 
c) \( \frac{1}{2} \) 
d) \( \infty \) 
**Resposta: a) 1** 
**Explicação:** A série pode ser reescrita como \( \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{n} - 
\frac{1}{n+1}\right) \), que é uma série telescópica. 
 
27. Qual é a equação da reta tangente à função \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \) no ponto \( (1, 0) \)? 
a) \( y = 3(x - 1) \) 
b) \( y = -3(x - 1) \) 
c) \( y = 2(x - 1) \) 
d) \( y = x - 1 \) 
**Resposta: a) \( y = 3(x - 1) \)** 
**Explicação:** A derivada \( f'(x) = 3x^2 - 3 \), logo \( f'(1) = 0 \). A tangente é \( y - 0 = 3(x - 
1) \). 
 
28. Calcule o valor de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
a) 0 
b) 1 
c) 2 
d) \( \infty \) 
**Resposta: c) 2** 
**Explicação:** A integral é \( [-\cos(x)]_0^{\pi} = -(-1 - 1) = 2 \). 
 
29. Determine o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos(x) - 1}{x^2} \). 
a) 0 
b) \( -\frac{1}{2} \) 
c) \( \frac{1}{2} \) 
d) 1 
**Resposta: b) \( -\frac{1}{2} \)** 
**Explicação:** Usando a expansão da série de Taylor para \( \cos(x) \), temos \( \cos(x) 
\approx 1 - \frac{x^2}{2} \), resultando em \( -\frac{1}{2} \). 
 
30. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(x^3 + x) \)? 
a) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \) 
b) \( \frac{3x^2}{x^3 + x} \) 
c) \( \frac{1}{3x^2 + 1} \) 
d) \( \frac{1}{x^3} \) 
**Resposta: a) \( \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{3x^2 + 1}{x^3 + x} \). 
 
31. Determine o valor de \( \int_0^1 x^3 \, dx \). 
a) \( \frac{1}{4} \) 
b) \( \frac{1}{5} \) 
c) \( \frac{1}{3} \) 
d) \( \frac{1}{6} \) 
**Resposta: b) \( \frac{1}{4} \)** 
**Explicação:** A integral é \( \left[\frac{x^4}{4}\right]_0^1 = \frac{1}{4} \). 
 
32. Calcule o limite \( \lim_{x \to 1} \frac{x^2 - 1}{x - 1} \). 
a) 1 
b) 2 
c) 0 
d) \( \infty \) 
**Resposta: b) 2** 
**Explicação:** Fatorando \( x^2 - 1 = (x-1)(x+1) \), obtemos \( \lim_{x \to 1} x + 1 = 2 \). 
 
33. Qual é a integral de \( \int x^5 \, dx \)? 
a) \( \frac{x^6}{6} + C \) 
b) \( \frac{x^5}{5} + C \) 
c) \( \frac{x^4}{4} + C \) 
d) \( \frac{x^3}{3} + C \) 
**Resposta: a) \( \frac{x^6}{6} + C \)** 
**Explicação:** Usando a regra de integração, obtemos \( \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \). 
 
34. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(2x) \)? 
a) \( -2\sin(2x) \) 
b) \( 2\sin(2x) \) 
c) \( -\sin(2x) \) 
d) \( \cos(2x) \) 
**Resposta: a) \( -2\sin(2x) \)** 
**Explicação:** Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = -\sin(2x) \cdot 2 = -2\sin(2x) \). 
 
35. Determine o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(2x)}{x} \). 
a) 2 
b) 1 
c) 0 
d) \( \infty \) 
**Resposta: a) 2** 
**Explicação:** Usando o limite fundamental \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(kx)}{x} = k \), temos 
\( k = 2 \). 
 
36. Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2} \, dx \)? 
a) \( -\frac{1}{x} + C \) 
b) \( \frac{1}{x} + C \) 
c) \( -\frac{x}{2} + C \)