20FA calculo da terra

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38. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) \( e \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** B) 1. 
**Explicação:** Este limite é uma aplicação da definição da derivada de \( e^x \) em \( x = 
0 \). 
 
39. Determine a solução da equação \( e^x = 5 \). 
A) \( \ln(5) \) 
B) \( 5 \) 
C) \( e^5 \) 
D) \( \ln(e^5) \) 
**Resposta:** A) \( \ln(5) \). 
**Explicação:** Para resolver \( e^x = 5 \), aplicamos o logaritmo natural em ambos os 
lados: \( x = \ln(5) \). 
 
40. Qual é a integral definida \( \int_1^2 (3x^2 + 4) \, dx \)? 
A) 0 
B) 10 
C) 9 
D) 11 
**Resposta:** B) 10. 
**Explicação:** A integral se calcula como: 
\[ 
\int (3x^2 + 4) \, dx = x^3 + 4x \bigg|_1^2 = (8 + 8) - (1 + 4) = 16 - 5 = 11. 
\] 
 
41. Qual é a razão de convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n!} \)? 
A) 0 
B) 1 
C) \( \infty \) 
D) Não converge 
**Resposta:** A) 0. 
**Explicação:** A série converge rapidamente, com a razão \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) 
tendendo a 0. 
 
42. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x)}{x} \). 
A) 0 
B) 1 
C) \( -1 \) 
D) \( \infty \) 
**Resposta:** B) 1. 
**Explicação:** Usando a regra de L'Hôpital, obtemos \( \frac{1/(1+x)}{1} \) que se 
aproxima de 1 quando \( x \to 0 \). 
 
43. Qual é a solução da equação \( x^3 - 3x + 2 = 0 \)? 
A) 1 e -2 
B) 2 e -1 
C) 2 e 1 
D) 1 e 3 
**Resposta:** B) 2 e -1. 
**Explicação:** Usando o método de fatoração, podemos encontrar as raízes da função 
cúbica. 
 
44. Determine a área sob a curva \( y = x^3 \) de \( x=0 \) a \( x=1 \). 
A) \( \frac{1}{4} \) 
B) \( \frac{1}{3} \) 
C) \( \frac{1}{2} \) 
D) \( 1 \) 
**Resposta:** B) \( \frac{1}{4} \). 
**Explicação:** Calculamos a integral: 
\[ 
\int_0^1 x^3 \, dx = \frac{x^4}{4} \bigg|_0^1 = \frac{1}{4} - 0 = \frac{1}{4}. 
\] 
 
45. O que é um espaço métrico? 
A) Um conjunto com uma operação de adição. 
B) Um conjunto com uma função que define a distância entre dois pontos. 
C) Um conjunto com um número finito de pontos. 
D) Um conjunto com um número infinito de pontos. 
**Resposta:** B) Um conjunto com uma função que define a distância entre dois pontos. 
**Explicação:** Um espaço métrico é definido por um conjunto e uma função métrica 
que satisfaz certas propriedades, como não negatividade e simetria. 
 
46. Qual é a relação entre a integral de uma função e sua derivada? 
A) A integral é sempre menor que a derivada. 
B) A integral é a operação inversa da derivada. 
C) A integral é a operação direta da derivada. 
D) Não há relação. 
**Resposta:** B) A integral é a operação inversa da derivada. 
**Explicação:** O teorema fundamental do cálculo estabelece que a derivada de uma 
integral de uma função \( f \) é \( f \) novamente. 
 
47. O que é um conjunto aberto em \( \mathbb{R}^n \)? 
A) Um conjunto que contém todos os seus pontos de acumulação. 
B) Um conjunto que não contém seus pontos de borda. 
C) Um conjunto que é denso em \( \mathbb{R}^n \). 
D) Um conjunto que é limitado. 
**Resposta:** B) Um conjunto que não contém seus pontos de borda. 
**Explicação:** Um conjunto aberto em \( \mathbb{R}^n \) é aquele onde, para cada 
ponto, existe uma vizinhança que está completamente contida no conjunto. 
 
48. Qual é a solução da equação diferencial \( y' = 3y \)? 
A) \( y = Ce^{3x} \)