trignoemtria e etc D7C

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15. Qual é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} \)? 
A) 0 B) 1 C) \( \frac{1}{2} \) D) \( \infty \) 
Resposta: C) \( \frac{1}{2} \) 
Explicação: Usamos a identidade \( 1 - \cos(x) = 2\sin^2(\frac{x}{2}) \), então \( \lim_{x \to 0} 
\frac{2\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2} \) se torna \( \lim_{x \to 0} 
\frac{2\left(\frac{x}{2}\right)^2}{x^2} = \frac{1}{2} \). 
 
16. Determine a integral de \( \int_0^{\pi} \sin(x) \, dx \). 
A) 0 B) 1 C) 2 D) \( 2 \) 
Resposta: C) 2 
Explicação: A integral de \( \sin(x) \) é \( -\cos(x) \), avaliando de 0 a \( \pi \) temos \( [-
\cos(\pi) + \cos(0)] = [1 + 1] = 2 \). 
 
17. Qual é a derivada de \( f(x) = x^5 - 3x^3 + 2x \)? 
A) \( 5x^4 - 9x^2 + 2 \) B) \( 5x^4 - 6x^2 + 2 \) C) \( 5x^4 - 3x^2 + 2 \) D) \( 5x^4 - 3x^3 + 2 \) 
Resposta: A) \( 5x^4 - 9x^2 + 2 \) 
Explicação: A derivada é \( f'(x) = 5x^4 - 9x^2 + 2 \). 
 
18. O que é a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \)? 
A) \( e^x \) B) \( x^2 + 1 \) C) \( 1 \) D) \( \ln(x) \) 
Resposta: A) \( e^x \) 
Explicação: A série de Maclaurin para a função exponencial é \( e^x = \sum_{n=0}^{\infty} 
\frac{x^n}{n!} \). 
 
19. Qual é a integral de \( \int \sec^2(x) \, dx \)? 
A) \( \tan(x) + C \) B) \( \sec(x) + C \) C) \( -\tan(x) + C \) D) \( \sec(x) + C \) 
Resposta: A) \( \tan(x) + C \) 
Explicação: A integral de \( \sec^2(x) \) é uma integral conhecida, resultando em \( \tan(x) 
+ C \). 
 
20. Qual é o limite de \( \lim_{x \to \infty} \frac{2x^2 + 3x}{5x^2 - x} \)? 
A) 0 B) 1 C) \( \frac{2}{5} \) D) Infinito 
Resposta: C) \( \frac{2}{5} \) 
Explicação: Dividindo o numerador e o denominador pelo maior grau de \( x \), obtemos \( 
\frac{2 + \frac{3}{x}}{5 - \frac{1}{x}} \). Quando \( x \to \infty \), os termos \( \frac{3}{x} \) e \( 
\frac{1}{x} \) tendem a 0, resultando em \( \frac{2}{5} \). 
 
21. Qual é a derivada da função \( f(x) = \ln(5x + 1) \)? 
A) \( \frac{5}{5x + 1} \) B) \( \frac{1}{5x + 1} \) C) \( 5 \) D) \( 0 \) 
Resposta: A) \( \frac{5}{5x + 1} \) 
Explicação: Usamos a regra da cadeia, onde \( f'(x) = \frac{1}{5x + 1} \cdot 5 = \frac{5}{5x + 
1} \). 
 
22. O que é o limite de \( \lim_{x \to 2} (x^2 - 4) \)? 
A) 0 B) 4 C) 2 D) 8 
Resposta: A) 0 
Explicação: Substituindo \( x \) por 2, obtemos \( 2^2 - 4 = 0 \). 
 
23. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \). 
A) Diverge B) Converge C) Converge absolutamente D) Converge condicionalmente 
Resposta: D) Converge condicionalmente 
Explicação: A série é uma série alternada que satisfaz as condições do Teste de Leibniz, 
pois os termos decrescem em módulo e tendem a zero, então converge 
condicionalmente. 
 
24. O que é a integral de \( \int x e^x \, dx \)? 
A) \( x e^x - e^x + C \) B) \( e^x + C \) C) \( x^2 e^x + C \) D) \( e^x + C \) 
Resposta: A) \( x e^x - e^x + C \) 
Explicação: Usamos integração por partes: \( u = x \) e \( dv = e^x dx \), resultando em \( x 
e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C \). 
 
25. Qual é a derivada da função \( f(x) = \sin(2x) \)? 
A) \( 2\cos(2x) \) B) \( 2\sin(2x) \) C) \( \cos(2x) \) D) \( -2\sin(2x) \) 
Resposta: A) \( 2\cos(2x) \) 
Explicação: Aplicando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \). 
 
26. O que é a integral de \( \int (x^3 - 4x) \, dx \)? 
A) \( \frac{x^4}{4} - 2x^2 + C \) B) \( \frac{x^4}{4} + C \) C) \( 2x^3 - 4 + C \) D) \( \frac{x^4}{3} - 
2x^2 + C \) 
Resposta: A) \( \frac{x^4}{4} - 2x^2 + C \) 
Explicação: A integral de \( x^3 - 4x \) é \( \frac{x^4}{4} - 2x^2 + C \). 
 
27. Qual é a soma da série \( \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} \)? 
A) \( e^{-1} \) B) 0 C) \( e \) D) \( \frac{1}{e} \) 
Resposta: A) \( e^{-1} \) 
Explicação: A série convergente é a expansão de Taylor para \( e^{-1} \), resultando em \( 
e^{-1} \). 
 
28. O que é o limite de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} \)? 
A) 1 B) 0 C) Infinito D) \( -1 \) 
Resposta: A) 1 
Explicação: Sabemos que \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(x)}{x} = 1 \), como uma propriedade 
fundamental de limites. 
 
29. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} \). 
A) Diverge B) Converge C) Converge condicionalmente D) Diverge condicionalmente 
Resposta: B) Converge 
Explicação: Esta é uma série p com \( p = 3 > 1 \). Portanto, a série converge. 
 
30. O que é a integral de \( \int_0^1 (x^4 - 2x^2 + 1) \, dx \)? 
A) 0 B) \( \frac{1}{5} \) C) \( \frac{1}{3} \) D) \( \frac{1}{6} \) 
Resposta: A) 0 
Explicação: A integral de \( x^4 - 2x^2 + 1 \) é \( \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{2x^3}{3} + x 
\right]_0^1 = \left( \frac{1}{5} - \frac{2}{3} + 1 \right) = 0 \). 
 
31. Qual é a derivada de \( f(x) = x \ln(x) \)? 
A) \( \ln(x) + 1 \) B) \( \frac{1}{x} \) C) \( \ln(x) - \frac{1}{x} \) D) \( \ln(x) + x \)