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c) \( \frac{1}{2} \) 
 d) \( \frac{2}{3} \) 
 Resposta: c) \( \frac{1}{2} \) 
 Explicação: A integral é calculada como \( \left[\frac{x^3}{3} + \frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 
\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{5}{6} \). 
 
58. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não é possível determinar 
 Resposta: c) Converge condicionalmente 
 Explicação: Esta é uma série alternada que converge pelo teste de Leibniz, mas não 
converge absolutamente. 
 
59. Qual é a integral \( \int_0^1 (1 - x^2) \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{3} \) 
 b) \( \frac{1}{2} \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{4} \) 
 Resposta: c) \( \frac{2}{3} \) 
 Explicação: A integral é calculada como \( \left[x - \frac{x^3}{3}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{3} 
= \frac{2}{3} \). 
 
60. Qual é a solução da equação \( y'' - 4y = 0 \)? 
 a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 b) \( y = C_1 \cos(2x) + C_2 \sin(2x) \) 
 c) \( y = C_1 e^{4x} + C_2 e^{-4x} \) 
 d) \( y = C_1 \cosh(2x) + C_2 \sinh(2x) \) 
 Resposta: a) \( y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} \) 
 Explicação: A equação diferencial é de segunda ordem e linear com coeficientes 
constantes. As raízes da equação característica são \( r = 2 \) e \( r = -2 \). 
 
61. Calcule o valor de \( \int_0^1 (1 - x^4) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{5} \) 
 b) \( \frac{4}{5} \) 
 c) \( \frac{1}{4} \) 
 d) \( \frac{1}{6} \) 
 Resposta: b) \( \frac{4}{5} \) 
 Explicação: A integral é calculada como \( \left[x - \frac{x^5}{5}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{5} 
= \frac{4}{5} \). 
 
62. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^6} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não é possível determinar 
 Resposta: b) Converge 
 Explicação: Para \( p = 6 \), a série converge, sendo um caso da série \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \). 
 
63. Qual é a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \)? 
 a) \( \cot(x) \) 
 b) \( \frac{\cos(x)}{\sin(x)} \) 
 c) \( \frac{1}{\sin(x)} \) 
 d) \( \frac{\sin(x)}{\cos(x)} \) 
 Resposta: a) \( \cot(x) \) 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de \( \ln(u) \) é \( \frac{1}{u} \cdot 
u' \). 
 
64. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(4x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 4 
 d) Não existe 
 Resposta: c) 4 
 Explicação: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\sin(4x)}{x} = 4 \). 
 
65. Qual é a solução da equação \( y' + 3y = 4 \)? 
 a) \( y = Ce^{-3x} + \frac{4}{3} \) 
 b) \( y = Ce^{3x} + \frac{4}{3} \) 
 c) \( y = Ce^{-3x} + 4 \) 
 d) \( y = Ce^{3x} + 4 \) 
 Resposta: a) \( y = Ce^{-3x} + \frac{4}{3} \) 
 Explicação: Usamos o método do fator integrante para resolver a equação. 
 
66. Calcule a integral \( \int_0^1 (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) 3 
 Resposta: a) 0 
 Explicação: O integrando é um polinômio que se anula em \( x = 1 \) e \( x = 0 \), 
resultando em uma integral igual a zero. 
 
67. Qual é a derivada de \( f(x) = \cos(x^2) \)? 
 a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 b) \( -x \sin(x) \) 
 c) \( -\sin(x^2) \) 
 d) \( 2x \cos(x^2) \) 
 Resposta: a) \( -2x \sin(x^2) \) 
 Explicação: Usamos a regra da cadeia, onde a derivada de \( \cos(u) \) é \( -\sin(u) \cdot 
u' \). 
 
68. Calcule o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x} - 1}{x} \).