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c) Converge condicionalmente 
 d) Não é possível determinar 
 Resposta: b) Converge 
 Explicação: Para \( p = 4 \), a série converge, sendo um caso da série \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \). 
 
47. Qual é a derivada de \( f(x) = \arctan(x) \)? 
 a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 b) \( \frac{1}{x^2} \) 
 c) \( \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \) 
 d) \( \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \) 
 Resposta: a) \( \frac{1}{1 + x^2} \) 
 Explicação: A derivada de \( \arctan(x) \) é uma fórmula bem conhecida. 
 
48. Calcule o valor de \( \int_0^1 (x^2 - 2x + 1) \, dx \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 2 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 Resposta: a) 0 
 Explicação: O integrando se anula em \( x = 1 \) e \( x = 0 \), resultando em uma integral 
igual a zero. 
 
49. Qual é a solução da equação \( y'' + 9y = 0 \)? 
 a) \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \) 
 b) \( y = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} \) 
 c) \( y = C_1 \cosh(3x) + C_2 \sinh(3x) \) 
 d) \( y = C_1 e^{ix} + C_2 e^{-ix} \) 
 Resposta: a) \( y = C_1 \cos(3x) + C_2 \sin(3x) \) 
 Explicação: A equação diferencial tem raízes complexas, levando à solução em termos 
de funções trigonométricas. 
 
50. Calcule o limite \( \lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) \( \infty \) 
 d) Não existe 
 Resposta: b) 1 
 Explicação: Usando a definição da derivada de \( e^x \) em \( x = 0 \), obtemos o limite 
igual a 1. 
 
51. Determine o valor de \( \int_0^{\frac{\pi}{2}} \tan(x) \, dx \). 
 a) \( \ln(2) \) 
 b) \( \ln(1) \) 
 c) \( \infty \) 
 d) \( \frac{\pi}{4} \) 
 Resposta: c) \( \infty \) 
 Explicação: A integral diverge, pois \( \tan(x) \) se aproxima de \( \infty \) quando \( x \) se 
aproxima de \( \frac{\pi}{2} \). 
 
52. Qual é a integral \( \int_0^1 (1 - x^3) \, dx \)? 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{3}{4} \) 
 c) \( \frac{2}{3} \) 
 d) \( \frac{1}{3} \) 
 Resposta: b) \( \frac{3}{4} \) 
 Explicação: A integral é calculada como \( \left[x - \frac{x^4}{4}\right]_0^1 = 1 - \frac{1}{4} 
= \frac{3}{4} \). 
 
53. Determine a convergência da série \( \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^5} \). 
 a) Diverge 
 b) Converge 
 c) Converge condicionalmente 
 d) Não é possível determinar 
 Resposta: b) Converge 
 Explicação: Para \( p = 5 \), a série converge, sendo um caso da série \( 
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^p} \). 
 
54. Qual é a derivada de \( f(x) = e^{x^2} \)? 
 a) \( 2x e^{x^2} \) 
 b) \( e^{x^2} \) 
 c) \( x e^{x^2} \) 
 d) \( 2 e^{x^2} \) 
 Resposta: a) \( 2x e^{x^2} \) 
 Explicação: Usando a regra da cadeia, a derivada é \( e^{x^2} \cdot 2x \). 
 
55. Calcule o valor do limite \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \). 
 a) 0 
 b) 1 
 c) 3 
 d) Não existe 
 Resposta: c) 3 
 Explicação: Usando a regra do limite fundamental, temos \( \lim_{x \to 0} 
\frac{\tan(3x)}{x} = 3 \). 
 
56. Qual é a solução da equação \( y' + 2y = e^{-3x} \)? 
 a) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{5} e^{-3x} \) 
 b) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{2} e^{-3x} \) 
 c) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-3x} \) 
 d) \( y = Ce^{-2x} + e^{-3x} \) 
 Resposta: c) \( y = Ce^{-2x} + \frac{1}{3} e^{-3x} \) 
 Explicação: Usamos o método do fator integrante e encontramos a solução geral. 
 
57. Calcule a integral \( \int_0^1 (x^2 + x) \, dx \). 
 a) \( \frac{1}{4} \) 
 b) \( \frac{1}{3} \)