Resumo algebra linear

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lista 1
& VETORES
, PROJECTS E AREAS
1) as m = 11. 2 .3) ev = (3 . 2
,
1) b m = ( 5
,
2
, 7) e v = (3 : 1. 0) 2) u = (2
,
1
, 4) ev = 10 , 4 , 8)
~ Produto escalar : (n - V) ~ Produto escalar : ~ Produto escalar :
1 x 3 + 2x2 + 3x1 = 201 Sx3 + 2x1 + 7 + 0 = 17/ 2x0 + 1x4 + 4x = 361
Cosseno dongulo :
Cosseno dongulo :
Cosseno dongulo :
Hull =
cost =
lov produto escalar IIMI=+ 72 :+ 49 : E
IVII = N := 45s
11 . 11v1 magnitudes multiplicadas
IVII=8 =
= +32 : It Dall . IIVII = 4
II VI:2
= Nat
cost
: Cost-
cost=
D Produto vetorial D Produto vetorial
Gk +7i + 0j 0 + 16i + 16j
D Produto vetorial
uxv = ijkij ux = ijkij
6k +Gi +1j 5 2752 21421
uXV = ijkij 3 1031
04 904
1231 2 0 + 21j + 5k
Si + 0 + Sk
321 3 2
21j + 5k - Gk - 7i = - 7i + 21 - 1k// &i + Sk - 16i - 16j = - Bi - 16j + Sk/1
2i + 9j + 2k
2i + aj + 2k - Gk - Gi - 1j = (7,
21 ,
- 1)/ (-B ,
-16
, 8) 11
- Hi + Sj - 4k//(- 4 ,
8 ,4)/
a Projeco ortogonal de u emv :
a Projeco ortogonal de u em v :
a Projeco ortogonal de u em v = produto escalar : 17 produto ecalar =
36
proj(): magnitude de v = No magnitude de v = 45
produto escalar i . T = 10 ↳ . 13
,
1
,0 -6
. 10,
11011 = it magnitude de v
9
: 10
, 4 ,,
projecto vectorial=
100 (3 ,
2
.
2) = (3 ,2)
(
* ApLicago
2) Calcular a area do triangulo laranja considerando os pontos verdes como pontos medios dos Segmentos.
* com vertices A
, p
. m. #C e p .
m AB.
D Area do paralelogramo formado por dois vetores e o produto vetorial entre eles.
(
A = (1
,
- 2
, 10) ↳ Area dos triangulos e a metade.
He E B = (16 ,
14
: -6)
Z
& The pink triangle's area is given by SABC = 1BXA D calculate the cross product of rectors
C = 102 & considering the blue paralelogram ,
it's half the size.
- 16k + 0 - 16j
ijki j
D Ponto medio :
1 , 10)
I
I
· -e
FQ = 4 - 2
,
- 2 - 0
,
10 - 10 = 16i + 12k + 16k + 16j
I'e 8
14 * 16i + 16j + 28k
I
↑
contadio:
X
116 , 16 , 28) -
magnitude :
/
&
- / -6 S
&
↑ ' 162 + 167+ 282 = 2: 256 + 784 = 5 = 3611
y ..... - Ri
· Du
10--- AB-
2
B
Area = 3612 = 1811
3) A area do trianguo ABC e -5
.
A = (2
,
1 , 0)
,
B = 1-1 , 2
. 1) e C esta no eixo y 10
, %,
0) .
Z
-> ( -
y+ 1
,
- 2
,
- 3y +5)
magnitude :
" Bon
=
-,
(28=
(-y+ 152 + 1 - 212 + 1 - 3y + g)) 10y2 - 17y - 6 = 0
i jk
- 2k +(y-2)i
- (y+ 1) - 2 2k 2 = y-xy+ 2 + n +m-b+ 2 A = b2 - Hac
j kij 10y2 - 32y + 6 = 0
X -
y - 3 11 - 31 But A = (32)2 -
4 . 10 . 6 a- 2 y - 10 -
2 y-1 [3y+ 5)k 1 = 1024 - 240 = 784
- 2j+)- 3y + 3)k N = 2811
4)IIMIl = 3
11 VIl = &
Il UX VII = IVII . IVII · Sene D VXV e ortogonal ao plano dos vetores u ev
A = 1280 (sen120 = 512)
= 3. 4 .
512 UXV area do paralelogramo
Volume do paralelepipedo determinado por UXV
,
- os
a area numericamente igual altura
Volume= 1lUXVII = 11011 . IIVII . Sene
(65)2
= 36x3 = 108/1
5) Determine a projecto ortogonal do ponto P12
.1) sobre a reta e [4
= 1 + 2+
y =
- 1 + 37
--------- .....
D Retas perpendiculares tem officientes inversos negative.
Y
- ......
P(2, a) ! + =19=
+ =22 mi . mz = 1
- ↑
-
-
i · to n
m1 = E entro M2 = 2
Y
↑
& isisdio
·get
Dri = a1x + by + c
Vz = azx + bey + 2
: y= 0
X
a1 . 92 + b1 . bz = 0
----(1 = 1)
x = 1 + 213
= 7
108=02=1 = 3
DD Quando so iguais = projecto
Slope = 3
= a = +g&X -
3 *S
equao da reta
=
13x =
47
x = 2 y
= 4
x
=
y = z2x
y = = 2. 2 + x & entro y: y:
3 y=5=
01 = 4 +
1 = 1
(5 ,5) M
---------------- 5) RESOLUSEO COM VETORES
T....... P(2,4)
↑
↑
& Passo a passo :
va 1) Escolhe um ponto quasquer na reta azul. Vamos supor P3.
2).
- :
↑
Projecto Y 2) Retira o vetor dele at o ponto da questo P(2
.
4).
- &
↑ P (3 , 2) ↑ P =
 y = (2 + 2+) z + 5
↑ Entro, o produto escalar entre eles ser 0 : y = 3-+
3m + 3 - f - 1 = 0
-> 3m = 6 + m = 1/1
b) w
:F& comqe a
b) Determine o ponto H, pe da altura relativa do vertice A.
S
e a projecto do Vetor s sobre o Veror Bi
,
e y = (- 1 + 4q)(-
G + 1
tambem e H-B, entro : u=-+
proj
BA = 
Tretar e a interseo entre dois plane No IRS
SOLUSTO MAIS REPIDA
,
PARTINDO DO PRESSUPOSTO QUE A GRANDE MATORIA DAS REAS SEO Reverses
2x - y + 2z = 5 S
Testa (X , y , 3) de r un algum dos planos de s : x = 1 - 2t
r : (X , y . 21 = (1 ,
2
, 3) + 1-2
, 1
, -1) · A y = 2+t
z = 3 - t
3 = x + y -
y = (1 - 2+ ) + (2+ t) - (3 -t) - 0 = 3(F)
a . 1) Transformar s em forma paramatica.
A reta e no toca o primeiro plano de r em momento algum,
* Para isso, precisamos de um ponto que pertena ad see pland entro as retar no se tocam.
- z = 0
,
temo : X + y = 3 x = 3 y x = 813 ↳ Paralelar ou reversas
2x - y = 5
y= 115
2(3 - y) - y = 5 - 6 - 2y y = 5
↑ Para serem paralela, o vetores directores precisam ser multiplos
6 - 3y = 5
x = 3 -
1 - 3y = 5- 6 -> como no so,
, reversas
x = = / 2 = 5/
POSIO RELATIVA
(8 . 1 .
0) = 119 .
1
, %
1) TRANSFORMA PARA FORMA PARAMETRICA
2) PEGA OS VETORES DIRETORES
a
.
2) Precisamos achar o vetor director da reta r.
-
& Usa-se o vetor que descreve o primeiro plano : a coficientes (1
,
1 . -1) MULTIPLOS NO MULTIPLOS
& Eo Segundo plano (2 .
-1
, 2) e realiza-se um produto retorial . - I 1
(1 , 1 ,
- 1)x (2
,
-1
, 2) Com 1 SEM 1
com 1 SEM 1
2k + i + 2j COINCIDENTES PARALELAS CONCORRENTES REMESAS
dati
it
a(
2i - 2j - k - 2k - i - 2j = 1i - nj - 3k = (1
,
- 4
, -3) 4. b) s :(G
D entro
, podemos escrever S como :& : 118 . 1 ,
01 + (1 -4
, -3)t na sla forma parametrica ~ : (x , y , z) = (3
, 6, 1) + + (9 , 3 , 6)
A
.
3Agorapodemafazeroprodutovetonal
do vetor diaa b. 1) transformando1 na eua forma parametrica
2 = 13 y= 0 z = - 9
P = (13 ,
0
, -9)
& Paralelas ou coincidentes produto vetorial nulo
b
.
2) vetor director
D Reversas : produto escalar entre o produto vetorial das retas e
i j2k
+
it
un vetor differenca entre dois pontos, um decada reta. e diferente de zero.
8 2 - 102
y cosficientes
↳ Se for zero, so concorrentes 1 - 3 01 - 3
0 - 18 + 0
- 3i - 1j - 2k = ( - 3 , -1
,
-2)
S
Edex Von = 11 .
-e , -3) x121
,
-2).
* entro
,
1 : (13
,
0
, -91 · (3
, -1
,
-2)t
Sk- 3i - 1j
i jkij b
.
3) Produto vetorial Vds = Var
1 - 2 -31 - 4
- 9k - Gi - 18j
-21 - 1 - 21
ijkij
++Site (7 ,
7
. -7) 9 3693
- 3 - 1
- 2 - 3 - 1
A como no du o vitor Melo
, fa se que no
-11-ak +&k +G+1
& como UdsXVdr = (0
,
0 , 0)
,
as retas podem·odamacarou chea
arcs dos vectors directors e e to dieset
vetornulo: (Oi , Of , OK
ser paralelas ou coincidentes. Se forem coinci-
M
S
17
,
7
: -710 [(1 .
2
, 3) -
18 . 5 .
01] dentes, todos os pontos so iguai :
(7,
7
, -7) · -E , 3) =35 +21 =A,
& testando (3 .
6
. 1) em s :
como no 0
, reversas ( 2y - z - 9 = 0 22 6 - 1 - 9 = 012 - 10 = 012 + 10
No so coplanares, no ha interseco.
a Como no so coincidentes
,
so paralelas.
(reversar
3x + z = 9
a s : [x + 2y = 5
1 : 10 1 2 . 9) + Al-2 , 1.6
C
. 2) Produto vetorial entre o vetores diutores
r :
(x , y ,
z) = (1 ,
2
, 3) + t)2 .
-1
, 3)
( - 2
,
1
, 6) x (2
,
-1
, 3)
C
. 1) Transformando s na forma parametrica :
ordempot
a Vas Var
X = 0 y = 512 z = 9 (0 , 5 ,
9) ↓
i j2kgi-G
E3x + Dy + 1z = g S
- 2 16 - 21
9i + 18j + ok = (9 , 18
, 0)
2x + 2y + 0z = 5
r 2 -132 - 1
Ok + 2i + 0j
3i + 12j + 2k
i jk i j
3 O 2 3 &
- Gi + 1j + 6k = ) - 2
,
1
, 6)
a como no foi nulo
, precisamos fazer o
1 2 O 12
produto exalar entre (a . 18
. 01e[(0 . 2 .
91-1112
,31
Di + 1j + 6k
(9 , 18 .
0 10 ( - 1
, 1 , 6) = 1 9 + 9 + 0 = Of a concommente
& Caso Pedisse Qual a interseco :
X =
- 2t = 1 + 2t
a como so concorrentes
, se
2: E
+ st = 2-t+ = za-
-
ouzam em um ponto :
z = 9 + 67 =
3 + 5t t
1 : 10 1 3 . 9) + Al-2 , 1.6 ↳
M : (1 ,
2
, 3) + t)2 .
-1
, 3) t=
t == = 1
-
-
2t = 1 + 2
- 2 +t = 1 - 2t
-t-
3t = - 1 + 2
t = - 516//
t =
11
(5 , 5 , 4)//
x =
- 2(- )= 2=
y= 2 - 1 = 5- ~ 15 . 54
-
>- -
z = 9 + 6) -g) = y = 3 + m = 44
X = - 2 y = ud - x =
- 3- ux Ps : ) - 2
,
4
, 0
4
. d) s : (1 + Hy + 1z = 2 z = o SM=G Dr = 1 : 2
, 0
-x + 4x =
- 4 - 2
4x + 1y - 2z =
- 4
3x = - 6
X = - 2
6k + 3i - 0
4k + 1i - 2j Udex Vdr = ijk i j
i - 2i - 1i + 4j + 2j + 1k - 4k =
S : ( -2
,
4
, 0) + + ) - 3
,
6
. -3) -36 - 3 -36
- 3i - 3j - 3k = 1 -3
,
- 3
,
- 3)
1
M 1 - 241
- 3i + 6j - 3k = ( - 3
, 6 ,
-3) M : (0 , 1
, 1) + 9)2 ,
-1 , % 1 -101 - 1
- 2i + 4j + 1k 0
- 3j + 3k
3 - 3
,
- 3
,
- 3) · ((0 . 1 , 1) - 7-2
,
4
. 01] :
ignalando : i) (2-3H) = q ()4 + 6+ = 1 - qk) - 3t = 1 (- 3
,
- 3
,
- 3)0(2
,
: 3
,
1) = - 6 + 9 - 3 = o Concorrentes
q =
- 2- 3) -
H = 2 + 1 = 1
t = - 13
M :
(0
.
1 , 1) + 1 - 1 , 1
, %
X = (-1 , 2
, 1)/ interseco
5) Dados os pland abaixo
, verifique se eles so secantes, parallos ou Coincidentes e
, se
forem secantes, determine a reta que e a interseco entre eles :
J
a)
9x + 11y + 7z = 17πS 117x + 143y + 91z = 221Tz
mesma directo nearmente dependentes
mi = (9 - 11 ,
7)
Zuetores normais
a Produto vetorial Nex nulo-LD; caso nao
,
L .Fis linearmente independente
m = (117 ,
143
, 91) & Se existe X EIR tal que in = Xz = LD ; caso no
,
L .I .
(9 , 11
, 7) = X (117
,
143
, 91) * mesmo valor de X
= = Logo, E = 0 . 07 #
,
mostrando
X== que, en) so LD) paralelos on
Termo independente - 221 = 17
x = 0 . 07 = 0 . 07 = 0.
07 V
coincidentes) .
L Se for igual, e coincidents. Se
for diferents, paralelos. Nesse caso,
so coincidentes .
5) as Do jeto tradicionali & Aplica em TJ
No plamo podemos excollher 2 varraveis :
Nyizz = 17
11fx + 143y + a1z = 221
91. = 221
↑ = 10
, 0. it 221 = 221
Dur igual -> coincidenti
A se no tivesse dado ignas era paralelo.
51b) (0x
+ Sy + gy = 1 D Interseco dol pland secantes :
7x + 9y + 11z = 3
-> E a reta cujo vetor director o
produto vetorial in2
refore normais:
m = (8
,
5
, 9)
m = (7,
9
, 11)
35k + 81i + 88j D Interseo so tem 1 grau de liberdade :
i jkij z= 0
Tanto faz a ordem
859 SS
z = 0 Sx + Sy = H . 1 - 9/5)
= 7 a 1179
7x + 9y = 3 -am
0
. 875 1
. 8 1
.
22 SSi + 63j + 72k
parametriza a reta:
M + X . 11 a Veforce 2
.
I
. - 1147-111
= y
(55 - 81)i + (63 - 88)j + (72 - 35)k
Entro, no so coincidentes e
nem paralela.
-26i - 25j + 37
35-72
X -S
D So secantes
. 126,
-
25, 27) x = 21137/
Ml : (10) + 1-26-25, 37
5)c)2x+26 Paren
tes
S
m = (42 ,
21
, 63) =
nz = (6 , 3 , 9)
- 89F . 12 parallos
& APLICACO
&
6) y = x2 - 2x + 2 (Parabola)
Determine os pontos de interseo com a reta s : [F can t
DISTANCIA ENTRE DOIS PONTOS
A distancia entre esses dois pontos e da formaa onde a e inteiro. Qual o valor de a?
d = (x2 - x 1)2 + (42 - 72)'
= 52 + ( - 10 = ⑰
=
&
I ↑ y= x2 - 3x + 2
a = 251/
↑
- ↑
n + 2+ = (2- t)2 - 3(2 - 4) + 2
↑ -
↑
&
-
↑ - + 2x = 4+x+
2
- 5+ + 2
-
↑ ↑ 0 = +2 - 3t - 4
-
-
- ( - 3) 1 (3)2 - 4 . 1 . (H) I 3 9 + 16
=3
2
-
2 2
(11-
-... t = 4e + =
- 1
.. Pl = ) - 2
, 12)
P2 = (3
, 2)
7) Num quadrado doRa os pontos (2)
e (85) so vertices diametralmente oposta. Encontre o vertice que polii a memor coordenada de Y.
C
22
= (6-27 + 15-325 = (2 - x12 + (3 - y(2 = (6 - x)2 + 1s - y)3
-
212
= 16 + 4
-2
E %
e us 2 - 12 + 2x = (2x - 10)2
↑
- A i 3 - 12 + 2x = (2x - gj2
36 - 12X + x1 + 25 - 18y + y2 = 5
For -
-
(2x- 10(2 + (2x - g) = 5
is x2 + yz - 12x - 10y + 56 = 1
- x2y + 4x + by - S = 0 4 x
2
- 40x + 100 + 4x2 - 36x + 81 = 5
- 8x - 4y + 48 = 0 & x
2
- 76x + 176 = 0
Sx + Hy = 48
2X2 -
19x + 44 = 0
2x + y
= 12
x = 40v = 5
y = 12 - 2x
y = 12 - 8 or 12- 10
Verice D = (5
, 2) y= 4 o2
Y
memor
8) Marque a area do Scujos 2 primeiros vertices so as intersees no primeiro octante, da estora de equao (x-1)2 + (y-3)2 + z2 = 25 com os eios ox e0y, e
o terccino vetica e o ponto (4 ,
0
,
1).
&
20 eixo x => yez
= 0 ↑ No eixo y = x ez = 0
0 + Gi - 0
ijkij
(x - 4)2 + (y- 3) +2 = 25 (x -1)2 + (y- 3) +2= 25 & -401 -40 - Gi - Sj - 24k
- S 60 - 86
(x - &12 + ( - 3)2 = 25 (4)
2
+ y - by +a = 25 ose-and (
x2 - Sx + 16 + 9 = 25 yz = Gy Muda & sinais
xk = Sx y = 6 mas da no mesmo
v = s
A) Ponto (8 ,
0
, 01 = vertics1 3) Ponto (0 ,
6 . 0) = Vertice 2
9) Vertice 3 = Ponto (2 , 0
. 1)
- 48K- Gi + 0
↑ como saber allais vetores escolher !
ijkij
55 u - 624 - 6
- Gi + Sj + 24k = (- 6
, 8
, 24)
US A 8 - 608 - S
11 (6 ,
8
, 24/11=8 + 242 =64576 = N = 23
8 + Sj - 24k Area-IBA = = 13
9) Determine o Centro e o raio da circumferencia definida pela interseco do plano 2x + y + 2z = 5 coma esfera (x-112 + (y- 2)2 + (z+ 1)2 = 4
.
↑ Forma redluzida
(x- 1)2
+ (y- 2)2 + (z+ 1)2 = 4 d=
(2x + 1y + 23 - 3)
=
(2() + 2(2) + 2) - 1) - 5)
= 4 = 2
Raio da espera : 2 ⑮
22 + 12 + 22 + gh
Centro da estera : (1 . 2
, -1) (A)
& Calcular a distancia do Center A D DISTANCIA ENTRE O CENTRO Da ESFERA E O CENTRO Da CIRCUNFERENCIA FORMADA PELA INTERSECO ENTRE O PLANO E A SUPERFICIE ESFERICA.
no plano 2x + 1y + 2z - 5 = 0
o = A .
& Distancia PONTO-PLNO
dip,T = 19 . x0 + b .
yo + c go + d)
= = A . (2:
1
. 6) :t All& QUALQUER PONTO DA RETA :
2+ b2 + c
(1 + 27
,
2+ t
,
- 1 + 2+) -
D Be o centro da circumferencia
,
onde & Agora substituimos em 2x + y+ 2z
- 5 = 0 :
AB =
2r= 2
2 + 4 + 2+1 - 2 + 4 - 5 = 0
ocorre a interseco daefera com o plano.
at = 3
↳ seja uma retar tragada a partir
+ = 113
dos pontos A e B, as centros.
A = 11
,
2
,
-1) Ponto inicial da reta x : 1 +2 = 5
Vetor Director E = ( , y , z) / y: 2 +1 = = ( , y , z) : (SE/
↳ Paralelo no vetor normal ao plano
.
i
i = (2
, 1
, 2) 3: 1 +2 =t
10) Escreva uma equao do plano definido pelo ponto (2.1 ,3) e a intersecodo plano 2x-y-z = 2 com o plano xy.
D n = (6 .
- 3
,
- 1)
· PontoP =
(2 . 1, 3) · PlanOT : 2x -y -z = 2
& O vetor normal ne perpendicular no plano, e descrito por DP = (2 , 1 , 3)
& Interseco do plano i com o peano xy (z= 0) : i = (a ,b , c) Logo,
2x -
y - 0 = 2
↑ A equao geral do plano obtida com e um postop
(X-2 , 4-1 , -3) · (6
.
-3 . -1) = 0
Meta M : 2x-y = 2 e a interseco do plano. & 6x - 12 - 3y + 3 - z + 3 = 0
P1) piX = 0 : y= - 2
,
entro (0 , -2
, 01- v
(X- X0 , Y -Yo ,
z - zo) · (a , b
, c) = 0 6x - 3y - z - 6 =
0/
Pn) p , x = 1 :
y
= 0
,
(1 , 0 , 0) er
& O votor normal pode cer obtido polo produto retorial
entre o vetor diretos da reta e o vetor gerado pelo
P com esses dois pontor P1 : (0 ,
-2
,
0) e P2 : (1 .
0 , 0),
ponto de origem do Vdr e um ponto do plano.
conseguimos o vetor director da reta.
4k + 0i + 31= =P = C1
,
2
,
07
x EP
= ijkij
a P e o ponto de origem do Vetordirector o. Entro Gi - 3j - 1k = (6 .
- 3 ,
- 1)
12012
calculamos o reton da origem ate o pontoP)2 , 1 , 3) . = = 6 .
- 3
,
-1)
2332 3
Ep = (2
,
1 , 3) - (0 , -2 , 0 : l*B11 = 32 + 22 + 22 = a + 1 + 1 = 11 FPXAB1 = 17 + 32 + 162 = 1 + 9 + 36 = 46
h= Al : E2o
3) Distancia Ponto-plane . To
ex : P : (2
,
1
, 1)
I
↑ :
1x + Sy + 7z = 53· # : 1x + Sy + 7z
- 53
& Vetor normal a este pearo e n = (a . b. c) ·dIPM = 19 . x0 + b. yo + c go + d)
M+ b2 + c
&
coficientes de It
-
mesmos a eb
, c diferentesi
C) DISTANCIA ENTRE RETAS PALALEAS d (P
, M) = l X FBI
IXABI =
36 + 9 = M = 35
IIB11
Equao vetorial da reta
IB11 = N+ y + H =
3
~: (x , y , z) = (2
.
1
,1) + +(1 ,
- 2 . 2)
s : (X , y, z) = (1 1 6
,
- 1) + 9) - 1
,
2
. -2) :
E a distancia de qualques ponto em s
Sk + 4i - 2j
-APxAB = if kij
at a retar e
- 1 5 - 2 - 15
1 -121 - 2
p = (1 , 6
, -1) em e
10i - 4i - 2j + 2j + 2k - 5k 10i - 2j+ 2k
r : (x , y . z) = (2 ,
1
, 1) + t(e
,
- 2
, 2)
Gi + Oj - 3k = (6 ,
0 . -3)
A = (2
,
1
, 1) B = 13 ,
1 , 37. ponto em o
di DisTENCIA RETA-PLANO :
(tem interseo
r = (0 ,
11
, 8) + t) - 1
, 3
, 3)
D checando se ha intersao :
iT : -A3t-o + &18 + 3/) = 27 a existe para qual a reta passa peso
i =
2x - y + 2z = 27 X =
-t
ii + + 5 = 27 plano .
Logo, a distancia e zero.
Y = 11 + 37 = ( + 37) + 3
z = 8 + 37
t = 22/
APLICAO
X = 2 + 2t
2) considere no IR3 a veta r :
y = 2-t
,
com te IR
.
Encontre o ponto dela reta que esta mais proximo da origen.S
z =
1 + 27
& Se pedisse a distancia :
r : (2
,
2
, 1) + t (2
.
- 1
, 2)
d = (x - 01 + (y -y + (z-52
D Temos que achas um plano perpendicular a M e que contenha o ponto D10 , 0
,
01 . =
D Para a equacio do plana precisamos de um ponto dele e com vetor perpendicular a ele.
Usaremos P(0 . 0
. 01 e:bo vetor director de retar ↑ INTERSECCO PLANO-RETA
O
a(x- + b(y -y + xz -g + a = 0
↑Substituimos as equaes parametrical
2)(2 + 2+ ) - (2 - t) + 2(1+ 2+ ) = 0
2(x) - 1(y) + 2(z) + d = 0
2x -
y + 2z + d = 0 4 +47- k + x+ 2 + y = 0
& Para o ponto P(0 . 0
, 0) : 9+ + 4 = 0
0 -0 + 0 + d = 0
. Logo ,
d = 0
.
t =
- 4
Equao do plano M : 2x - y + 2z = 0
D Ponto mais proxmo a origen : (10 , 2,
E·
3) As esferas da figura se intersectam numa arconferencia que tambem pode ser representada como a interseco de uma das esteras com un certo plant
,
it
Elas tem equacies (x-3)2 + (4 - 14 + (z - 632 = 9 exa + (y+ 2)3 + (2- 1) = 16
as Encontre a equaso do plant.
& Subtraindo uma equao da outra
,
temos a equao do plano de
interseco passa pelos pontos de interseco de ambas as esterasea contem o crculo AB.& (x- 3)2 + (y - 11 + (z - 6)2 = 9 x2 + (y+ 2)3 + (2- 1)" = 16
⑨B x2 - (x + 9 + y2 - 2y + 1 +z2 - 12z + 37 = 9 x2 + yz + 2y + 1 + z2 - 2z + 1 - 16 =
0
x2 + yz + z2 + 0x + 2y - 2z - 14 = 0
5 x2 + y + z - 6x - 2y - 12z + 37 = 0
11 EQUACO DO PLANO
0 + 0 + 0 + 6x + 4y + 10z
- 51 = 0
d f
& Gx + 4y + 102 - 51 = 0
b) Encontre o quadrado da distancia do plano de (a) para o pontop = (0
.
-5
,
-112) .
D Plano : Gx + &y + 10z - 51 = 0
↑ Ponto P : (0
,
-5
, -112)
· DistnciA PONTO-PLANO :
d = 16( + y . 1-5) + 101 y) - 51)== =
36 + 16 + 100
D MPO 2023 .
1
1) Dado um triangulo ABC no IR2 com vertices A = (10
,
4)
,
B = (14
, 8) e C = (18 ,
4), encontre a area formada com os per de
altura de ABC, e qual a porcentagem dessa area em relao a original.
D Primeiro, vamos tracar SABC no plano cartesiano : P Note queo pos de altura (linna que parte
·
do virtice at fazle 90
°
com o lado oposto) de C
2
H
ponto B , do pe de altura de B. Desa forma,
⑨
Y 4
Bl
o triangulo SAB'C' i degenerado (uma reta) .i
-
e A coincidem no ponto B
, que e colinear ao
& Perceba que o triangulo retangulo tem 3 altural
,
duas delas lendo of Catetos.
D caso o triangu pedido fosse o formado pelos pontos medios de B
,
5 e
s
, Teriamos :
B(14 , 8) D Base x Altura /2 = 8x4/2 = 161
Pontos medios &
P
Notamos que ABC e triangulo em B. a (12,6) ·
b'(16, 6)
Bot = ( - 4 , 4) · (4 , -4) = 16 + 16 = 0 ,
0
,4
* D
D4x2/2 = My
o (14 .4) C (18 ,4)
= ↳ = 25%
# = (12 , 6) = a B = 16 , 6) = b'C = (14 , 4) = C
2) considere a reta r que passa pelos pontos A = (2 ,
0 , 15) e B = (7 ,
-1
, 3) e a reta s que palla pelos pontos A eD
, que e dado pela projecto de
C = (4 , 2
, 5) na reta r . Responda se os pontos F = ( ,3 ,
6) e M = (1
,
1
, 0) pertencem a M
,
a e ou a menhuma das dual retalh
& Sabendo que e passa por A eB, conseguimos obter a equao da reta : i = A = 2 ,
2
,
-103
E =B = X . (5
,
- 1 ,
- 12) >
2 +
1 = 2
F = X = 2314
s : (2 , 0 , 15) + t)x .
(5 .
- 2 ,
- 12))
y=
- 3/4t = 314
2=
6
X . t = q
z
=
NEO PERTENCE 2ASI
: x = 2 + 59
& Analisando bem
, faz todo sentido
↑ Checando se M perfence a reta R : y =
-19 res serem coincidentes uma vez
z = 15 - 129
que os vetores diretores so multipros.
2 - 5 = 1
m = [ t = - 1 - 3 1 No pertence a nenhuma
& Veja tambm que A eD estao
NEO PERTENCE e r e s so coincidentes. Sob s ,
entro r = S.
REVISIO PRIMEIRA UNIDADE
& PRODUTO ESCALR
,
NORMA E ENGULO
.
PROPRIEDADES
,
ORTOGONALIDADE
,
PROJECTO ORTOGONAL,
PRODUTO VETORIAL
,
AREA DE PARALELOGRAMOS
& PRODUTO ESCALR :
 no circula unitario, e tambim por
->
~ = 111 : COSE , SenEc
2=
-= ar] /ANGUIO ENTRE OS VETORES DIRETORES)
D ORTOGONALIDADE :
· DOIS VETORES SEO ORTOGONAIS QUANDO SEU PRODUTO ESCALAR = O
.
* O PRODUTO VETORIAL GERA UM VENOR ORTOGONAL AOS ORIGINAIS .
* PROJESO ORTOGONAL :
A
=proj
H = B + 7
B H
C
a PRODUTO VETORIAL :
· VETORES LINEARMENTE DEPENDENTES (L . D) POSSUEM A MESMA DIRECTO (MESMO COM SENTIDOS OpOSTOS)
.&
& NO PRODUTO VETORIAL Se UM DOS VETORES FOR ZERO OU FOREM LD E ZERO .
& A MAGNINDE DO PRODUTO VETORIAL E IGUAL AREA DO PARALELOGRAMO COM OS LADOS SENDO OS VETORES ORIGINARS
.
· PODE-SE DIZER QUE MEDE O QUANTO DOIS VETORES APONTAM EM DIRECUES DIFERENTES
.
D AREA DE PARALELOGRAMOS O
PRODUTO VETORIAL ENTRE OS VETORES QUE O FORMAM
.
& ATENCO : PARALELOGRAMOS SEO FORMADOS PELOS VETORES E OS OUTROS LADOS SEO PARALELOS A GES.
· TALVEZ SEJA NECESSARIO DIVIDIR EM TRINGULOS (MetaDe Da NORMA DO PRODUTO VETORIAL)
D EQUACES CARTESIANAS : RETAS NO PLANO E PLANO NO ESPACO ; INTERSEO DE RETAS E PLANOS .
D EQUATES PARAMETRICAS DE RETAS NO PLANO E NO ESPACO
& RETA NO PLANO
DIR2 & no IR3
r : by = ax + c Equao gerae da reta ri ax + by + cz + d = 0
M : (t , bt + c) + +(b
, a) Equaco retorial da reta
o Acha 2 pontos da meta e
obtem o vetol director = = (X, y , z)
com a subtraco entre eles.
r : [t +
Parametrizao & Um do Pontos P(a , b , c) lera
usado na equao :
M : (a , b , c) + + (xiyiz)
y = b + yt
Mi [
X = a + xi t
-
formasimirz = c + z't
* PLANO No Espao : Ares ponto no colineares determinam um plano.
· Encontre as equaes vetorias e parametricas do plano #T determinado pelor ponta
Po : (1, 0
, 1) ,
Pe : (-1 .
2
,
3)
, Pe : (3 , 2 . 0)
.
& ATENCO : NEO SEO RETAS ! E UM PLANO ,
ENTE PRECISAMOS DE 2 VETORES
pop : e o vetor calics so multiplos, as retal so coincidentes,
Me
· se os vetores a , b > e so multipros ou os coficientes angulares
so ignais, so paralelas , Caso contrario, so concorrentes.
· Coincidentes in = The
a Retal no Espaco :
PLANOS
- # = Tiz
IGUAIS DIFERENTES↓ COPLANARES REVERSAS
VETORES DIRETORES
- I
o Qual a posio relativa dos planos :
T : 2 x + 1y - 2z = 5 m = (2 , 2, 2)
MULTIPLOS NO-MULTIPLOS
- & I
#2 : (x +2y + 2z = 1 in2 : (1
,
2
, 2)
CONCORRENTES
Intinseso SemIntaseco
D Se m e na forem multiplos entre si, a plano so
COINCIDENTES Parents
parados ou coincidentes. (So substituir um porto de um no
outro para identificar se so coincidentes. ). Caso no sejai
/(uxm) ·B) = 0
- A + B multipos, so concorren
Clas retas r : A + VA e S : B + u .
q so coplanares see
MESMA DIRECTO
↓ D Se fizermos o produto vetorial entre or vetous
-
somente se a vetoresB
,
ve u form linearmente dependentes normais as planos x = (0 , 0
, 0) = Paralelos ou coinciden.
· Para serem coplanares #B tem que ser coplanar aos vetores directores das retal.
se der Fo , so concorrentes.
↑ Entre retal e pland :
Von
INTERSECO ENTRE Mer
S
- 12 1
ZERO #0
VAZIA UM PONTO PELO MENOS 2
I I
PONTOS / TRANSVERS AIS
I
PARALELOS TRANSVERSAL ↑ ESTA CONTIDA EMIT
PARALET CONTIDA
↓ ↑ se sim
Testa um ponto de e no peano
Vetor director da retar
no e paralelo a T ou ~
Nao i ortogonal ao vetor d = 0
normal ao plano.
v . n f 0
· No IR2 : · No IR3 :
Ex : Seja r = [** It ta ,
el ·Concorrentes = Coplanares
com intersecto
1 : 2x + 3y - 3 = 0 n =(2 , 3)
· coincidates E
· Paralelas = Coplanares
r = (1 , 2) + A(1 ,
- 1)
"com interseco" no infinito
· Reversal P = 100 %
a Concorrenter : rXs eX-i r : x = 1+ t
,
t EIR
X.
& y = 2 - t *in ar
b : 3x + 3y - 5 = 0
PRODUTO LETORIAL = O Y MESMA DIREC
PARALEA
COINCIDENTES
D Paralelas : M//l A director de r = (1 , -1)
a Normal de 1 = (3, 3) D METODOS :
% u . U = 0
1) Por intersecto :
6 VIIS on =S
& Tenta u ponto de uma ex: Vetores dirctores no multiplos (uev)
↑ Coincidentes : res na outra
,
se nao bater No so paralelas ou coincidentes
; So
*
so apenas parallas (termos I
CONCORRENTES OU REVERSAS
independentes diferental) Para distinguir :
· Interseco : IGUAl As ParametricaS
↑ Concorrente : resultado werente as lubstituirto q
D Se no, e reversa.
· Verificamos se u e ortogonal a v : /Paralelas
M . U = 0 -> ORTOGONAL Coincidentes
2) PRODUTO Misto (VOLUME) :
· testa se o ponto de uma satisfaz a outra
& Paralelas ou coincidentes produto vetorial nulo
ma e u- vo ja sabemos
D Reversas : produto escalar entre o produto vetorial das retas e
que so concorrentes, ha interseco
un vetor differenca entre dois pontos, um decada reta. e diferente de zero.
↳ Se for zero, so concorrentes
D Se fizer a interseo :
↳ Ao igualar :
1) (MX0) · W/l = Volume do paralelepipedo formado pelos vetous
Coincidents = 0 = 0 (v)
Paralelas = H = 0 por ex (F) w
concorrentes - Tera a interseo w
>
& Seja M = (a
, b , c) e W = (d , e , f) :
uxv =
det[
(bf-ce , cd-af , ae-bd) = (
, j ,)
w = (g , h , e)
De : coxr.w = det TheSee I
3) POR COPLANARIDADE ) JA SEPARA REVERSAS) :
P
i
sa
us
PRODUTO MISTO (FX MI . v
Ca Se der 0
,
so coplanates Parallal ou concora
a Se der #O , so reversas.
&
DISTENCIAS : PONTO/RETA
,
PONTO/PLANO ,
RETA/RETA
,
RETA/PLANO ,
PLANO/PLNO .
* CASO BIDIMENSIONAL
Y DISTENCIA PONTO/RETA : menor distancia entre pontos possives, com o segundo perfencendo a meta
M
P
·A onto allation
~
A (ponto allatorio 1)
D Pensamento a parties da area :
AREA JAPB : 11 xFB11/2
Zh:
IIB II
↑ DISTANCIA PONTO/PLNO : PROJESO De UM VETOR (dO PONTO Pate Um PONTO QUALQuer DO PLNO) NO VETOR In (NORMAL AO PLANO
P
of
...... · A Proj
&
Sep = (x0
, %0 . 50) e it : ax + by + cz = d
A = (x1
, y1 , z1) ↳ retor normal ao plano (a , b , c)
& (P
,
MT) = a(Xo -x1) + b(y0 - y1) + x(z0 - 31)
a2 + b2 + 2
& DESAFIO DE Silvio :
d(PM) =
laxo + by +go
- d)
Retas reversal :
a + b2 + c a Como A perfence ao plano, temos que :
ax1 + by + cyz = d
↑ Perceba que a distancia independe de A
D Ente :
ato-axe + byo - by + 180 - Cz1 =
*in
· DESAFiO :
= axo + by + Go - d
↑ Calcular d
~ Qual a reta que poseid !
D DISTANCIA RETA-RETA
- Tendo o vetor director das retas reversar e es ,
& Coincidentes or concorrentes : DISTANCIA NUL
fazemos o produto retorial para obter a vetor
& PARALELS :
M
perpendicular a ambos, que ser o vetor director da
7
*
...d
Meta M .
&
B
->
D DISTANCIA AE B
Far = u x v
D REVERSAS :
P ↳
v
7 M
& Escolhe um ponto Psobre a Meta & (Plano 1) e um ponto P2 Fi
sobre aMeta s (Plano2) .
S S
* Profita o vetorP sobre /vetor normal ortogonal a
n
i
res) ·
p
7
M
D A norma da projecto e a distancia entre as retas.
11 Project:l
IIn12
& (s made MESM
& DISTANCIA RETA-PLANO ↑ DISTANCIA RETA-cirCUNFERENCIA
Se forem transversais du se estiver contida no plano a distancia e zero.
↑ So veMOS DISTANCIA No CASO DE SEREM PARALELAS
.
& considere no IR2 a circonferencia C : (x-1)2 + (y+ 21 = 20
e a retar : (x , y) = (1 + 2+, - 10+ t)
,
onde telR.
d Seja P o ponto de C mais proximo de r.
P = (a. b)
. Marque 191 + 1b).
↑ VIRA A DISTANCIA De UM PONTO) ALEATORIO) do PLANO atE A RETA.
/a M
c ....
"
& DISTENCIA PLANO-PLANO :
I r
& PARAELOS Di
D Tem como garantie que parla pelo centro ?
D CONCORRENTES X ZERO
↑ COINCIDENTES E ZERO
↑ OBS .: INTERSECO DE 3 PANOS
C : (x - 112 + (y+ 2)2 = 20
D 3 PLANOS ESTRITAMENTE PARALELOS OU
DOIS SEREM E O ULTIMO OS INTERSECTAR SEGUNDO RETAS ESTRITAMENTE PARALEAS OU & Conjunto
~ & : (1 , 10) + t (2 . 1)
CASO OS 3 PLNOS Se intersecteM 2 a 2 Segundo RETAS ESTRITAMENTE PARALELS Cli..... = (2 , 1)
2 . a + 1 . b = 0
* PLANOS COINCIDENTES Sum PANS
P
*
2a =
-b
d I
· A a
=
-1
D 3 PLANOS CONCORRENTES Y UMA RETA
& : (1+ 2+, - 10 + A) + q(b
,
- 2)
SEGUNDO UMa MESMA RETA
mas Ce s
,
entro :
1+ 2 t
,
- 10 + t =
(1
,
- 2)
x = 1+ qD SE OS PLANOS Se INTERSECTAREM DOIS A
3 UM PONTO
l : (1 , 2) + q(
;
-3) [ y =
- 2 -
29
DOIS SEGUNDO RETAS CONCORRENTE
Entro, P e a interseco entre a circumferencia
e a meta s.
↑ DISTANCIA ESFERA-PLNO
(x - 112 + (y+ 2)2 = 20
5q2 = 20
(Formula e com menos
↑
R2 da enfera
S = (x -1) + (y + 1) + (z -2) = 16R = &y qu=4= Y NIy Ya
↑ : 1x + 2y + 1z + 5 = 0
↳
vem do fato que a distancia
de um ponto da esfera
at o centro dela e o raio.
A =11
,
-1
, 2) = Centro da esfera
Veter normal de T = (1 ,
2 , 1)
L perpendicular ao plano
S = P + t-
(X , y ,z) = (1 ,
- 1
, 2) + t (2 . 2
. 1)
Ch
SUBSTITUIEM T :
1x + 2y + 1z + 5 = 0
(1+ +) + 2)- 1 + 2+) + (2 + t) + 5 = 0
t = - 1
B = (X , y , z) = (0 ,
- 3
, 1)
& (A ,B) = 5