Prova de Calculo aplicado a uma variavel

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Um tanque contém um líquido que, por conta da válvula da saída estar com defeito, o líquido 
está gotejando em um recipiente. Por observação experimental, foi possível, através da 
modelagem matemática, verificar que após t horas, há litros no recipiente. Nesse 
contexto, encontre a taxa de gotejamento do líquido no recipiente, em litros/horas, 
quando horas. 
 
Após os cálculos, assinale a alternativa que indique o resultado encontrado. 
 
 
 
O estudante de uma universidade, para ter acesso ao seu armário, precisa de um código com 4 
dígitos. O professor disponibilizou o código da seguinte forma: 1º dígito: , em 
que , 2º dígito: , em que , 3º dígito: , em 
que , 4º dígito: , em que Para descobrir qual é o 
código, encontre o valor das derivadas. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique o código do armário do estudante. 
 
 
 
Uma partícula move-se em uma linha reta, segundo a equação horária do movimento em 
metros, em segundos, velocidade instantânea e aceleração . Conhecendo-se a função 
velocidade, é possível determinar as funções espaço-tempo (s) e a função aceleração por meio 
do cálculo diferencial e integral. Nesse contexto, considere a função e seu gráfico 
como suporte (figura a seguir) e analise as afirmativas a seguir. 
 
Fonte: Elaborada pela autora. 
 
I. Sabendo que e quando , a equação de s em função do tempo é 
dada por . 
II. O deslocamento da partícula é igual entre o tempo e , se, 
para , é igual a integral 
III. A função aceleração da partícula no instante inicial é igual a . 
.IV. A distância percorrida pela partícula é igual ao seu deslocamento entre os 
instantes e , em que . 
 
É correto o que se afirma em: 
 
 
 
Em relação à derivada de uma função, podemos classificá-la da seguinte forma: funções 
contínuas não deriváveis, funções contínuas, que só admitem até 1ª derivada, funções 
contínuas, que só admitem até 2ª derivada e assim sucessivamente até a função de 
classe . Toda função polinomial racional é uma função de classe , ou 
seja admite as derivadas de todas as ordens. 
LIMA, E. L. Curso de análise. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. v. 1. 
 
Nesse contexto, encontre a derivada da função , sabendo que , e assinale a 
alternativa que indique qual é o resultado obtido para . 
 
 
 
Na maioria das vezes, ao calcular o limite de uma função racional polinomial, pode ocorrer 
indeterminação matemática do tipo 0/0. Nesse caso, para determinar o limite, devemos fatorar 
as funções racionais polinomiais utilizando a fatoração do polinômio que, em certas situações, 
é um cálculo muito simples. 
Nesse contexto, encontre o limite e assinale a alternativa que indique qual é o 
resultado obtido para o limite. 
 
 
 
O conceito de integral indefinida de uma função está associado a uma família de primitiva 
dessa função. Apenas usando esse conceito é possível determinar a função integranda. Assim, 
considere as funções e , contínuas e, portanto, integráveis e analise 
suas primitivas. Nesse contexto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
 
I. é primitiva da função 
Pois: 
II. . 
 
A seguir, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Para determinarmos o seno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no círculo 
trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, devemos 
fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o seno do ângulo no 
primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o seno assume no quadrante 
de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na figura, determine 
o valor de 
 
 
Fonte: elaborada pela autora 
O valor encontrado é: 
 
 
 
Para determinarmos o cosseno de um ângulo qualquer, devemos inicialmente localizá-lo no 
círculo trigonométrico, e quando este ângulo não está localizado no primeiro quadrante, 
devemos fazer o seu rebatimento ao primeiro quadrante. Assim, encontramos o cosseno do 
ângulo no primeiro quadrante, em valor absoluto e associamos o sinal que o cosseno assume 
no quadrante de origem. Nesse contexto, analisando o círculo trigonométrico, mostrado na 
figura, determine o valor de 
 
 
Fonte: elaborada pela autora 
O valor encontrado é: 
 
 
 
Para resolver limites que apresentam indeterminação do tipo 0/0, recomenda-se a utilização 
da regra de L’Hospital, que facilita bastante os cálculos. Para tanto, basta derivar o numerador 
e denominador separadamente, e aplicar a tendência do limite para verificar se resolveu a 
indeterminação para obter um valor real. 
Nesse sentido, assinale a alternativa que indique qual é o resultado obtido ao 
calcular . 
 
 
 
 
Observando o tráfego numa estrada foi possível modelar a função , que 
representa a taxa de fluxo de carros por hora, dada por , em que v é a 
velocidade de tráfego em quilômetros por hora. Nesse contexto, encontre a velocidade que vai 
maximizar a taxa de fluxo na estrada. 
 
A partir do apresentado, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas. 
I. A velocidade que maximiza a taxa de fluxo na estrada é igual a 40 km/h, 
Pois: 
II. para ocorre o único ponto de máximo local da função . 
 
A seguir, está correto o que se afirma em: