III Aulas com enfases

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= 2 \). 
 
Portanto, o valor de \( x \) que maximiza a função é \( \mathbf{2} \), correspondente à 
alternativa **b)**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = 2x^3 - 9x^2 + 12x - 1 \). Qual é o número de raízes 
reais dessa função? 
 
Alternativas: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 0 
 
**Resposta:** c) 3 
 
**Explicação:** Para determinar o número de raízes reais da função cúbica \( f(x) = 2x^3 - 
9x^2 + 12x - 1 \), podemos utilizar o Teorema de Bolzano ou a regra de sinal de Descartes, 
mas uma forma direta é analisar a derivada da função para encontrar os pontos críticos e, 
em seguida, determinar o comportamento da função entre esses pontos. 
 
Primeiro, calculamos a derivada \( f'(x) \): 
 
\[ 
f'(x) = 6x^2 - 18x + 12 
\] 
 
Agora, vamos encontrar as raízes dessa derivada para identificar os pontos críticos: 
 
\[ 
6x^2 - 18x + 12 = 0 
\] 
 
Dividindo a equação por 6, obtemos: 
 
\[ 
x^2 - 3x + 2 = 0 
\] 
 
Fatorando, temos: 
 
\[ 
(x - 1)(x - 2) = 0 
\] 
 
Portanto, as raízes da derivada são \( x = 1 \) e \( x = 2 \). Isso nos indica que a função tem 
dois pontos críticos. 
 
Agora, vamos analisar o comportamento da função em intervalos determinados por esses 
pontos críticos. 
 
1. Para \( x 2 \), escolhemos \( x = 3 \): 
 
\[ 
f(3) = 2(3)^3 - 9(3)^2 + 12(3) - 1 = 54 - 81 + 36 - 1 = 8 
\] 
 
Agora, observamos que: 
- Para \( x 0 \). 
- Para \( x > 2 \), \( f(x) > 0 \). 
 
A função \( f(x) \) muda de sinal entre \( (-\infty, 1) \) e \( (1, 2) \), assim há uma raiz em 
\( (0, 1) \). Além disso, ela muda novamente de sinal entre \( (1, 2) \) e \( (2, \infty) \), 
indicando que há mais duas raízes reais. 
 
Portanto, a função cúbica \( f(x) \) possui **3 raízes reais** distintas. 
Assim, a opção correta é **c) 3**. 
 
**Questão:** Considere a função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 \). Qual é o valor de \( x \) 
para o qual a função atinge seu mínimo local?