Gomes Tópicos de Matemática 'ITA IME Olimpadas_pag329

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Capítulo 3 - Resoluções 327
d
c
P D,
aa
A b B
91) (Mediana de Euler) Seja ABCD um quadrilátero cujos lados medem a. b. c e 
d, conforme ilustra afigura abaixo.
Resolução:
Pelo ponto B trace uma reta paralela ao segmento AD e pelo ponto D trace 
uma reta paralela ao segmento AB. Seja E o ponto de interseção dessas duas 
retas. Note que o quadrilátero ABED é um paralelogramo e portanto o ponto 
Q, que é o ponto médio da diagonal BD também será o ponto médio da 
diagonal AC (pois as diagonais de um paralelogramo cortam-se ao meio). Por 
fim trace o segmento CE, conforme ilustra a figura abaixo:
C
O Segmento PQ, que une os pontos médios das diagonais AC e BO é 
chamado de mediana de Euler do quadrilátero. Mostre que
a2 + b2 + c2 + d2 = AC2 + BD2 + 4 -PQ2