Lista de exercícios - Prova 2 (3)

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS 
Campus Sorocaba 
Rod. João Leme dos Santos (SP-264), Km 110 Bairro Itinga 
CEP 18052-780 – Sorocaba SP 
 Prof. Antonio Carlos Farrapo Junior 
 
 
PESQUISA OPERACIONAL 1 
Lista de Exercícios – Prova 2 
 
1. A Wild West produz dois tipos de chapéu de vaqueiro. Um chapéu do tipo 1 requer duas vezes mais 
mão-de-obra do que um chapéu do tipo 2. Se todas as horas de trabalho forem dedicadas só ao tipo 
2, a empresa pode produzir um total de 400 chapéus por dia. Os limites de mercado respectivos 
para os dois tipos são 150 e 200 chapéus por dia. O lucro é de $8 por chapéu do tipo 1 e $5 do tipo 
2. 
a) Formule um modelo de programação linear para determinar o número de chapéus de cada tipo 
de forma a maximizar o lucro. 
b) Resolva o modelo pelo solver e analise a solução encontrada. 
 
2. Considere o modelo para o problema de transporte a seguir: 
𝑚𝑖𝑛   𝑓(𝑥) = ∑ ∑ 𝑐𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗
𝑚
𝑗=1
𝑛
𝑖=1
 
 ∑ 𝑥𝑖𝑗 ≤ 𝑠𝑖 𝑖 = 1, . . . , 𝑛
𝑚
𝑗=1
 
 ∑ 𝑥𝑖𝑗 ≥ 𝑑𝑗
𝑛
𝑖=1
 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 
 𝑥𝑖𝑗 ≥ 0 𝑖 = 1, . . . 𝑛 𝑗 = 1, . . . , 𝑚 
a) Explique detalhadamente o problema. 
b) Apresente uma extensão deste modelo para considerar mais de um tipo de veículo para o 
transporte. Explique as alterações e considerações necessárias. 
 
3. Um fabricante de móveis produz mesas e cadeiras. O departamento de serraria corta a madeira para 
ambos os produtos, que então é enviada separadamente para os respectivos departamentos de 
montagem. Os itens montados são enviados ao departamento de pintura para acabamento. A 
capacidade diária do departamento de serraria é de 200 cadeiras e 80 mesas. O departamento de 
montagem de cadeiras pode produzir 120 cadeiras por dia e o de montagem de mesas tem uma 
capacidade diária de montagem de 60 mesas. A capacidade do departamento de pintura é de 150 
cadeiras ou 110 mesas. O lucro por cadeira é de $50 e o de uma mesa é $100. 
a) Formule um modelo de programação linear para determinar o mix de produção para a empresa 
(quantidade a ser produzida de cada produto) que maximize o lucro. 
b) Resolva o modelo pelo solver e analise a solução encontrada. 
 
4. Uma empresa opera em um centro de reciclagem que coleta quatro tipos de resíduos sólidos e os 
trata de modo que possam ser combinados em um produto vendável. O tratamento e a 
composição são processos distintos. Podem ser gerados três compostos distintos desse produto 
dependendo do mix dos materiais utilizados, conforme tabela abaixo. 
 
Composto Especificação 
Custo de 
composição / peso 
Preço de venda / 
peso 
A 
Resíduo 1: não mais que 30% do total 
3,00 8,50 
Resíduo 2: não menos que 40% do total 
Resíduo 3: não mais que 50% do total 
Resíduo 4: exatamente 20% do total 
B 
Resíduo 1: não mais que 50% do total 
2,50 7,00 Resíduo 2: não menos que 10% do total 
Resíduo 4: exatamente 10% do total 
C Resíduo 1: não mais que 70% do total 2,00 5,50 
 
Embora haja alguma flexibilidade no mix de cada composto, padrões de qualidade podem 
especificar a quantidade mínima ou máxima permitida para proporção de um resíduo na 
composição do produto. Essa produção é o peso de resíduo expresso na forma de porcentagem do 
peso total para composição do produto. Para cada um dos dois compostos mais elevados é 
especificada uma porcentagem fixa para resíduos. 
O centro de reciclagem coleta seus resíduos sólidos de fontes regulares e, portanto, normalmente 
é capaz de manter uma taxa estável de tratamento dos mesmos. A tabela a seguir fornece as 
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quantidades disponíveis para coleta e o tratamento de cada semana, bem como o custo de 
tratamento, para cada tipo de resíduo. 
 
 
Tipo de 
resíduo 
Disponibilidade 
semanal 
Custo do 
tratamento 
Restrições adicionais 
1 3000 3,00 1. Para cada tipo de resíduo, pelo menos metade do 
peso disponível por semana deve ser coletado e 
tratado. 
2 2000 6,00 
3 3000 4,00 2. Devem ser usados $ 30.000 por semana para 
tratamento desses resíduos. 4 1000 5,00 
 
A gerência da empresa quer determinar a quantidade de cada composto a ser produzida e o mix 
de resíduos exato a serem usados em cada composto. O objetivo é maximizar o lucro líquido 
semanal (receitas totais por vendas menos o custo total de composição), excluído o custo fixo de 
tratamento de $30.000 por semana que está sendo coberto por contribuições e doações. 
a) Formule um modelo de otimização para representar o problema. 
b) Resolva o modelo pelo solver e faça a análise de sensibilidade da solução ótima encontrada. 
 
5. Uma empresa produz um conjunto de produtos 𝑖 = {1, . . , 𝑁} a partir de um conjunto 𝑘 = {1, . . , 𝐾} 
recursos disponíveis. As demandas de cada produto variam conforme o período 𝑡 = {1, . . , 𝑇}. 
Suponha que os seguintes parâmetros são conhecidos: 
𝑐𝑖𝑡 Custo de produção do produto i no período t 
𝑒𝑡 Custo unitário de hora-extra no período t 
ℎ𝑖 Custo unitário de estoque do produto i 
𝑑𝑖𝑡 Demanda do produto i no período t 
𝑅𝑘𝑡 Disponibilidade do recurso k no período t 
𝑏𝑖𝑘 Quantidade do recurso k para produzir uma unidade do produto i 
𝐹𝑡 Capacidade de tempo disponível no período t 
𝑝𝑖 Tempo para produção de uma unidade do produto i 
𝑂𝑡 Limite máximo de horas-extras permitidas no período t 
Formule um modelo de programação linear para definir um plano de produção para minimizar os 
custos de produção, estoque e horas-extras. 
 
6. A refinaria Shale Oil mistura dois tipos de frações de petróleo, A e B, para produzir dois produtos de 
gasolina de alta octanagem, I e II. As taxas máximas de produção dos dois tipos de frações A e B são 
450 e 700 barris/hora, respectivamente. As octanagens correspondentes são 98 e 89, e as pressões 
de vapor são 10 e 8 lb/in2. As octanagens da gasolina I e da gasolina II devem ser no mínimo 91 e 93, 
respectivamente. A pressão de vapor associada a ambos os produtos não deve exceder 12 lb/in2. Os 
lucros por barril de I e de II são $7 e $10, respectivamente. Formule um modelo de programação 
matemática para determinar a taxa ótima de produção para I e II bem como suas razões de mistura 
das frações A e B. (Sugestão: a pressão de vapor, assim como a octanagem, é a média ponderada 
das pressões de vapor das frações componentes da mistura). 
 
7. Uma fundição utiliza sucata de aço, de alumínio e de ferro fundido para produzir dois tipos de 
lingotes de metal, I e II, com limites específicos para os teores de alumínio, grafite e silício. Briquetes 
de alumínio e silício podem ser usados no processo de fundição para atender às especificações 
desejadas. As tabelas abaixo determinam as especificações do problema. 
 
Insumos 
Teores (%) 
Custo/ 
tonelada ($) 
Toneladas 
disponíveis/ 
dia 
Alumínio Grafite Silício 
Sucata de aço 10 5 4 100 1000 
Sucata de alumínio 95 1 2 150 500 
Sucata de ferro fundido 0 15 8 75 2500 
Briquete de alumínio 100 0 0 900 qualquer 
Briquete de silício 0 0 100 380 qualquer 
 
Componente 
Lingote I Lingote II 
Mínimo (%) Máximo (%) Mínimo (%) Máximo (%) 
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Alumínio 8,1 10,8 6,2 8,9 
Grafite 1,5 3,0 4,1 ∞ 
Silício 2,5 ∞ 2,8 4,1 
Demanda (t/ dia) 130 250 
 
a) Determine a quantidade de insumos que deve ser fundida de forma a minimizar os custos. 
b) Resolva o modelo pelo solver e faça a análise de sensibilidade da solução ótima encontrada. 
 
8. A Hawai Sugar Company produz açúcar mascavo, açúcar refinado, açúcar de confeiteiro e melado, 
usando xarope de cana-de-açúcar.A empresa compra 4000 t de xarope por semana e tem um 
contrato para entrega de no mínimo 25 t por semana de cada tipo de açúcar. O processo de 
produção começa pela fabricação de açúcar mascavo e melado com base em xarope. Uma tonelada 
de xarope produz 0,3 t de açúcar mascavo e 0,1 t de melado. O açúcar refinado é processado pelo 
refinamento do açúcar mascavo, e 1 t de açúcar mascavo rende 0,8 t de açúcar refinado. O açúcar 
de confeiteiro é produzido a partir do açúcar refinado por meio de um processo especial de moagem 
cuja eficiência de conversão é de 95% (1 t de açúcar refinado produz 0,95 de açúcar de confeiteiro). 
Os lucros por tonelada de açúcar mascavo, açúcar refinado, açúcar de confeiteiro e melado são 
$150, $200, $230 e $35, respectivamente. Formule a questão como um problema de programação 
linear para determinar a programação ótima semanal de produção. 
 
9. Considere o problema de transporte em uma rede logística formada por um conjunto de 𝑖 =
{1, . . , 𝑁} plantas industriais e 𝑗 = {1, . . , 𝑀} clientes, que demandam produtos 𝑘 = {1, . . , 𝐾} ao 
longo de diferentes períodos 𝑡 = {1, . . , 𝑇}. Suponha que os seguintes parâmetros são conhecidos: 
 
𝑑𝑗𝑘𝑡 Demanda do cliente j pelo produto k no período t 
𝑅𝑖𝑡 Capacidade de produção da planta i no período t 
𝑐𝑖𝑗 Custo unitário de transporte entre a planta i e o cliente j 
𝑝𝑘𝑖 Custo unitário de produção do produto k na planta i 
𝑏𝑗𝑡 Custo unitário de não atendimento da demanda do cliente j no período t 
 
Formule um modelo de programação linear para definir um plano de atendimento para minimizar 
os custos de transporte, produção e não atendimento da demanda. 
 
10. Uma empresa petrolífera destila dois tipos de óleo cru, A e B, para produzir gasolina comum, 
gasolina premium e combustível para jatos. Há limites para a disponibilidade diária de óleo cru e 
para a demanda mínima dos produtos finais. Se a produção não for suficiente para atender à 
demanda, a falta deve ser completada com produtos de fontes externas com multa. A produção 
excedente não será vendida imediatamente e incorrerá em custos de armazenagem. A tabela abaixo 
apresenta os dados da situação. 
 
 
 
 Rendimento da fração por barril Preço/ barril 
($) 
Barris/dia 
 Comum Premium Jato 
Óleo cru A 0,2 0,1 0,25 30 2500 
Óleo cru B 0,25 0,3 0,1 40 3000 
Demanda (barris/dia) 500 700 400 
Receita ($/barril) 50 70 120 
Custo de armazenagem 
excedente ($/barril) 
2 3 4 
Multa pelo não 
atendimento ($/barril) 
10 15 20 
Formule um modelo para determinar o mix ótimo de produção. 
 
11. Uma empresa produz três tipos de sucos de frutas em lata, A, B e C, usando morangos, uvas e maçãs 
frescas. O fornecimento diário é limitado a 200t de morangos, 100t de uvas e 150t de maçãs. O custo 
por toneladas de morangos, uvas e maçãs é $200, $100 e $90, respectivamente. Cada tonelada 
rende 1500 lb de suco de morango, 1200 lb de suco de uva e 1000 lb de suco de maçã. A bebida A 
é uma mistura de 1:1 de suco de morango e de maçã. A bebida B é uma mistura de 1:1:2 de suco de 
morango, de uva e de maçã. A bebida C é uma mistura de 2:3 de suco de uva e de maçã. Todas as 
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bebidas são acondicionadas em latas de 16oz (1 lb). O preço por lata é $1,15, $1,25 e $1,20 para as 
bebidas A, B e C. Formule um modelo matemático para determinar o mix ótimo de produção. 
 
12. Um laticínio possui duas fábricas (F1 e F2) onde produz os itens A e B e distribui para 3 clientes (C1, 
C2 e C3). As tabelas abaixo apresentam o custo de transporte entre cada fábrica e cliente, a 
capacidade de produção de cada fábrica e a demanda de cada cliente por produto. 
 
 
Custo de transporte 
Capacidade 
 
 
Demanda 
 
C1 C2 C3 
 
C1 C2 C3 
F1 50 94 23 1700 A 772 101 233 
F2 63 37 99 2300 B 460 852 849 
 
a) Apresente um modelo para determinar o plano de transporte com o menor custo. 
b) Suponha que a capacidade utilizada de cada fábrica deve ser no mínimo 50%. Reescreva as 
equações do modelo que devem ser alteradas. 
13. Uma central industrial de reciclagem usa dois tipos de sucata de alumínio, A e B, para produzir uma 
liga especial. A sucata A contém 6% de alumínio, 3% de silício e 4% de carbono. A sucata B tem 3% 
de alumínio, 6% de silício e 3% de carbono. Os custos por tonelada das sucatas A e B são $100 e $80, 
respectivamente. As especificações da liga especial requerem que 1) o teor de alumínio deva ser no 
mínimo 3% e no máximo 6%; 2) o teor de silício deva ficar entre 3% e 5%; e 3) o teor de carbono 
deva ficar entre 3% e 7%. Formule um modelo de programação linear para determinar o mix ótimo 
de sucatas que deve ser usado para produzir 1000 toneladas da liga. 
 
14. Considere o problema de planejamento da produção a seguir: 
Índices: i produtos ; t períodos 
Parâmetros: 
𝑐𝑖𝑡 custo unitário de produção do produto i no período t 
𝑒𝑖 custo unitário de estoque do produto i 
𝑏𝑖 tempo unitário de produção do produto i 
𝑑𝑖𝑡 demanda do produto i no período t 
𝑎𝑡 capacidade de produção no período t 
Variáveis de decisão: 
𝑥𝑖𝑡 quantidade a ser produzida do produto i no período t 
𝐼𝑖𝑡 quantidade a ser estocada do produto i no período t 
Modelo de programação matemática: 
min ∑ ∑(𝑐𝑖𝑡𝑥𝑖𝑡 + 𝑒𝑖𝑡𝐼𝑖𝑡)
𝑇
𝑡=1
𝑁
𝑖=1
 
𝑥𝑖𝑡 + 𝐼𝑖,𝑡−1 − 𝐼𝑖𝑡 = 𝑑𝑖𝑡 , 𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑡 = 1, … , 𝑇 
∑ 𝑏𝑖𝑥𝑖𝑡
𝑁
𝑖=1
≤ 𝑎𝑡 , 𝑡 = 1, … , 𝑇 
𝑥𝑖𝑡, 𝐼𝑖𝑡 ≥ 0 , 𝑖 = 1, … , 𝑁; 𝑡 = 1, … , 𝑇 
a) Explique o modelo detalhadamente. 
b) Considere uma fábrica que possua várias linhas de produção, com diferentes custos de fabricação 
e capacidades. Reescreva o modelo matemático considerando esta situação, incluindo e/ou 
atualizando os parâmetros se necessário. 
15. Uma empresa fabrica três produtos, A, B e C. As tabelas abaixo apresentam a demanda por produto 
em cada mês, os estoques iniciais por produto, a capacidade de tempo disponível em cada mês, o 
tempo unitário para produção de cada produto, os custos de produção por produto por mês e os 
custos de estoque por produto. 
 
 Demanda Custo de produção Tempo 
produção 
Estoque 
Inicial 
Custo de 
estoque jan fev mar jan fev mar 
A 50 94 23 5 2 6 0,25 14 36 
B 63 37 99 4 6 3 0,46 5 39 
C 95 97 92 4 2 6 0,06 5 36 
Capacidade 54 50 52 
 
 
c) Apresente um modelo para determinar o plano de produção com o menor custo total. 
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d) Considere que o produto B pode ser produzido em outra planta, com um custo de produção 20% 
maior. Reescreva as equações do modelo que devem ser alteradas. 
 
16. Uma empresa que comercializa grãos possui um armazém com capacidade de armazenamento de 
300.000 toneladas de grãos. Em cada mês ela pode comprar ou vender trigo, a preços prefixados 
pelo governo, segundo a tabela abaixo: 
mês do ano preço de venda ($/ton) preço de compra ($/ton) 
jan 5 8 
fev 7 9 
mar 7 1 
abr 3 4 
mai 4 4 
jun 6 3 
jul 6 4 
ago 2 2 
set 3 6 
out 3 5 
nov 3 4 
dez 4 2 
 
As quantidades de compra e venda têm limitações sujeitas às restrições de armazenagem e ao 
estoque inicial do mês (vendas máximas no mês i = saldo mês (i-1)). No início do mês de janeiro a 
empresa tem 5.000 toneladas de grãos de trigo. 
a) Formule um modelo de programação linear para maximizar o lucro da operação nos próximos 12 
meses, considerando um custo de 1,5% de corretagem para as operações de compra e venda. 
b) Resolva o modelo usando o Solver e faça a análise de sensibilidade em relação aos parâmetros.17. Uma fundição utiliza sucata de aço, de alumínio e de ferro fundido para produzir dois tipos de 
lingotes de metal, I e II, com limites específicos para os teores de alumínio, grafite e silício. Briquetes 
de alumínio e silício podem ser usados no processo de fundição para atender às especificações 
desejadas. As tabelas abaixo determinam as especificações do problema. 
 
Insumos 
Teores (%) 
Custo/ 
tonelada ($) 
Toneladas 
disponíveis/ 
dia 
Alumínio Grafite Silício 
Sucata de aço 10 5 4 100 1000 
Sucata de alumínio 95 1 2 150 500 
Sucata de ferro fundido 0 15 8 75 2500 
Briquete de alumínio 100 0 0 900 qualquer 
Briquete de silício 0 0 100 380 qualquer 
 
Componente 
Lingote I Lingote II 
Mínimo (%) Máximo (%) Mínimo (%) Máximo (%) 
Alumínio 8,1 10,8 6,2 8,9 
Grafite 1,5 3,0 4,1 ∞ 
Silício 2,5 ∞ 2,8 4,1 
Demanda (t/ dia) 130 250 
 
c) Determine a quantidade de insumos que deve ser fundida de forma a minimizar os custos. 
d) Resolva o modelo pelo solver e faça a análise de sensibilidade da solução ótima encontrada.