EXERCICIO 04- Geometria Analítica e Álgebra LineaR

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1) Os objetos geométricos possuem diversas equações algébricas que os representam nos mais diversos 
contextos. A parábola, por exemplo, possui algumas equações que descrevem seu comportamento, 
sendo ela centrada na origem. Tome como referência as duas equações parabólicas reduzidas: 
X²=4PY e X²= -4PY 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as equações reduzidas da parábola, por 
que as parábolas representadas pelas equações supracitadas se diferem no contexto geométrico? 
A. A reta diretriz da primeira equação é paralela à parábola, enquanto na segunda equação ela é 
perpendicular. 
B. A primeira equação refere-se a uma parábola com concavidade voltada para cima, enquanto a segunda 
tem concavidade voltada para baixo. 
C. O foco da parábola da primeira equação está na parte negativa do eixo y, enquanto na segunda equação 
encontra-se na positiva. 
D. A primeira equação descreve uma parábola sem simetria ao redor do eixo ‘e’, enquanto a segunda 
descreve uma parábola com simetria. 
E. A primeira equação trata de uma parábola sem foco, enquanto a segunda trata de uma parábola com 
foco. 
2) Quando um plano interseciona uma superfície cônica, e ele o faz de uma maneira que passa 
apenas por uma das folhas e não paralelamente à geratriz do cone, temos uma figura 
geométrica de nome elipse. É importante estudar esse tipo de representação algébrica, pois 
ela é definida por alguns elementos particulares que são muito úteis no estudo da Geometria 
Analítica. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, analise as seguintes 
afirmativas e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Dois elementos importantes que compõem a elipse são seus focos. 
II. ( ) A excentricidade de uma elipse é dada na forma 2a. 
III. ( ) A distância entre os dois focos de uma elipse é igual a 2c. 
IV. ( ) A expressão algébrica de uma elipse possui forma reduzida. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
A. F, V, F, V. 
B. V, V, F, V. 
C. V, V, F, F. 
D. V, F, V, V. 
E. V, F, F, V 
3) As parábolas são figuras geométricas advindas de uma interseção entre um plano e uma 
superfície cônica realizada de uma determinada maneira. Esse objeto geométrico possui 
diversas características particulares, tal como a existência de um vértice, foco, reta 
diretriz, um eixo ‘e’. Uma das principais características da parábola tem relação com a 
simetria. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da parábola, 
pode-se afirmar que existem duas características acerca da simetria na parábola porque: 
A. uma se refere à distância entre os pontos e a reta diretriz e o foco; enquanto a outra se refere ao 
comportamento, tendo como referência o eixo ‘e’. 
A. as equações que definem a reta diretriz e a parábola são simétricas, respeitando suas características. 
B. os elementos referentes ao vértice e ao foco de uma parábola são simétricos, uma vez que a reta diretriz é 
paralela ao eixo ‘e’. 
C. a distância focal de uma parábola é definida pelo parâmetro p de simetria geométrica 
D. a distância focal de uma parábola é definida pelo parâmetro p de simetria geométrica. 
E. a reta diretriz e o eixo ‘e’ são paralelos, logo, as simetrias se dão entre esses dois objetos matemáticos. 
 
 
 
 
4 As hipérboles são representações cônicas que são geradas pela secção de uma superfície cônica por 
um plano, e esse plano, por sua vez, corta as duas metades do cone. Esse tipo de representação 
geométrica é descrito por determinados elementos matemáticos relevantes no contexto da Geometria 
Analítica, logo, é fundamental conseguir identificá-los. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da hipérbole, analise as 
afirmativas a seguir: 
I. Dois elementos importantes que compõe a hipérbole são seus focos. 
II. O eixo real de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro a. 
III. A distância focal de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro c. 
IV. A excentricidade de uma hipérbole assume valores reais sem restrições. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas verdadeiras. 
A. I, II e IV. 
B. I e IV 
C. II e IV. 
D. I e II. 
E. I, II e III. 
5) A elipse é uma representação que advém de uma seção de uma superfície cônica. Ela é um 
objeto algébrico muito importante, pois possui elementos fundamentais para o estudo de 
Geometria Analítica. Dois dos elementos que compõem uma elipse são seus eixos maiores 
e menores. A partir deles, é possível entender algumas particularidades desse objeto 
matemático. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, por qual razão 
pode-se afirmar que os eixos auxiliam no entendimento, por exemplo, de uma 
circunferência? 
A. Os eixos maiores e menores alteram a relação entre o perímetro de uma circunferência e sua área. 
B. A circunferência e a elipse são figuras que têm os mesmos eixos quando secionadas por um plano. 
C. Pode-se abstrair uma relação pitagórica que envolve os eixos maiores e menores e a área de uma 
circunferência. 
D. Ela é uma representação geométrica que é um caso particular de uma elipse, envolvendo o tamanho dos 
eixos. 
E. Os eixos auxiliam no cálculo da área da circunferência, o que torna o processo menos complexo. 
 
6) A interseção entre um plano e uma superfície cônica faz gerar outros tipos de objetos geométricos 
muito estudados na Geometria Analítica, por conterem particularidades representativas. Cada 
maneira que se varia o corte da superfície cônica pelo plano altera-se o objeto geométrico advindo 
desse corte, tal como suas características. Analise a representação da cônica a seguir, advinda 
dessa interseção geométrica supracitada. 
 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, afirma-se que essa 
representação geométrica se refere a uma elipse porque: 
A. A figura geométrica formada está inscrita no cone, característica apresentada por uma elipse. 
B. A área da figura formada pela interseção é equivalente à área dada pela superfície do sólido 
apresentado. 
C. A interseção do plano com a superfície cônica, de maneira inclinada, dá origem a uma elipse. Caso 
fosse paralela, a base seria uma hipérbole. 
D. O plano interseciona a superfície cônica em apenas uma de suas folhas, e não é paralelo à geratriz. 
E. A reta geratriz do cone interseciona a figura geométrica supracitada, característica particular de uma 
elipse. 
 
7) As cônicas são representações geométricas que surgem de uma interseção do plano com 
uma superfície cônica. Em um contexto geométrico, a distinção entre as cônicas é efetuada 
de maneira simples, porém, em um contexto algébrico, é necessário um cuidado para 
avaliar de qual objeto está se tratando uma certa representação. Considere as equações 
reduzidas: 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações da hipérbole de 
centro na origem do sistema, assinale a alternativa que explica que as representações 
tratam de objetos diferentes corretamente. 
 
A. A primeira equação refere-se a um objeto que tem como referência o eixo x, e outro que tem como referência 
o eixo y. 
B. Os objetos possuem naturezas distintas, sendo a primeira equação referente a uma elipse e a segunda a uma 
hipérbole. 
C. Os parâmetros a e b em cada uma das equações referem-se a parâmetros distintos. 
D. Os objetos possuem a mesma natureza geométrica, sendo a primeira equação referente a uma elipse e a 
segunda a uma hipérbole. 
E. Ambos são objetos geométricos de mesma natureza, mas com posições geométricas distintas. 
 
 
8) A elipse é uma figura geométrica cônica muito estudada no campo da geometria analítica. Essa 
figura, como qualquer outra figura cônica, advém da interseção de um plano com uma superfície 
cônica. Ela contém alguns elementos particulares a ela, tais como: focos, distância focal, eixo 
maior, eixo menor, centro, vértices e segmento focal. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudadosobre cônicas, afirma-se que se o plano 
intersecionasse a superfície cônica, paralelamente, à reta geratriz, a figura formada deixaria de ser uma 
elipse porque: 
A. A figura formada seria uma parábola, com características geométricas particulares diferentes. 
B. Os eixos maiores e menores se encontrariam, definindo apenas um ponto pertencente ao plano e a 
superfície cônica. 
C. A reta geratriz definiria outra figura, diferentemente de uma superfície cônica. 
D. O centro da elipse seria deslocado, de modo a perder as características particulares que a define. 
E. A equação do plano seria equivalente à do plano que secionasse a superfície cônica, 
perpendicularmente, à sua reta geratriz. 
 
9) As hipérboles e elipses são representações geométricas distintas e isso fica evidente 
quando se observa os gráficos das duas representações. Algebricamente, esses objetos 
geométricos também se diferem. Eles possuem equações gerais distintas, mesmo 
tomando como base alguns parâmetros semelhantes e equações reduzidas distintas, 
apesar de muito parecidas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre hipérboles e elipses, as 
duas formas geométricas se distinguem, também, por sua origem geométrica? Assinale a 
alternativa que justifica corretamente. 
A. São geradas por tipos diferentes de interseções dos planos com as superfícies cônicas. 
B. Sua forma representativa é diferente, tal como um quadrado e uma circunferência se diferem. 
C. Uma hipérbole é um caso particular de uma elipse, logo, a distinção se dá de maneira visual. 
D. O ângulo de inclinação de cada uma delas com relação ao plano xy é diferente. 
E. As funções que as descrevem são diferentes, por tratarem de parâmetros geométricos distintos. 
 
 
 
10 As representações geométricas conhecidas como elipses são definidas, algebricamente, por 
algumas relações. Uma das possíveis relações que as definem refere-se à sua equação na 
forma reduzida. Porém, para se escrever a equação na forma reduzida, é necessário o 
conhecimento acerca dos valores de a e b. Tome como referência a equação da elipse de 
forma reduzida: 
 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equação da elipse de 
centro na origem do sistema, pode-se encontrar a equação da forma reduzida de uma 
elipse com focos 
 
, tendo como tamanho do eixo maior 12, e centrada em (0,0), porque: 
 
A. toma-se como base as razões de 
 
como números inteiros, resultando em 1. 
B. a partir desses dados, define-se os parâmetros a² = 36 e b² = 20, que são utilizados na equação da forma 
reduzida. 
C. realiza-se um sistema de equações com x² e y², para que se determine os valores de a e b. 
D. é possível encontra o valor resultando da operação entre todos os termos da forma reduzida, resultando em 
15. 
F. a partir desses dados, define-se os parâmetros x = 6 e y = 20, que são utilizados na equação da forma 
reduzida. 
 
G. As funções que as descrevem são diferentes, por tratarem de parâmetros geométricos distintos.