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Lista DE Exercícios Geometria Analítica E Algebra Linear
geometria analitica (Centro Universitário Maurício de Nassau)
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LISTA DE EXERCÍCIOS GEOMETRIA ANALÍTICA E ALGEBRA LINEAR 
1 
 
UNIDADE 1 
Pergunta 1 
Sendo A = (-1, 2, 3) e B = (1, -1, -3), extremidades de um segmento de reta orientado. 
Determine a alternativa que apresenta o módulo do vetor determinado por esses dois pontos. 
a) 7. 
b) 4. 
c) 2. 
d) 9. 
e) 6. 
Pergunta 2 
Duas estacas alinhadas, na mesma direção, estão localizadas, respectivamente, nos pontos A e 
B. A estaca A está localizada no ponto (7, 3, 4). A segunda estaca está situada no ponto B = (1, 
0, 6). Qual seria a medida do segmento orientado, compreendido entre as duas estacas? 
a) 10 unidades de comprimento. 
b) 20 unidades de comprimento. 
c) 5 unidades de comprimento. 
d) 7 unidades de comprimento. 
e) 25 unidades de comprimento. 
Pergunta 3 
Determine o volume do cubo mágico em que as dimensões estão determinadas pelos vetores 
(1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). 
a) 2 u.v 
b) 1 u.v 
c) 3 u.v 
d) 4 u.v 
e) 6 u.v 
Pergunta 4 
Sendo A = (-1, 2, 3) e B = (1, -1, 9), extremidades de um segmento de reta orientado. 
Determine a alternativa que apresenta, o módulo do vetor, determinado por esses dois pontos. 
a) 5. 
b) 4. 
c) 8. 
d) 6. 
e) 7. 
Pergunta 5 
Sendo os vetores u = (x + 1, 4) e v = (5, 2y - 6), determine os valores de x e y para que os 
vetores u e v sejam iguais. Em seguida, assinale a alternativa que corresponde ao resultado. 
a) x = 3, y = 5. 
b) x = 4, y = 5. 
c) x = 1, y = 5. 
d) x = - 4, y = - 6. 
e) x = 5, y = 4. 
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Pergunta 6 
Uma caixa de presente apresenta o formato de um paralelepípedo. Sabendo que suas medidas 
estão representadas pelos vetores u = (3, -1, 4), v = (1, 0, -1) e w = (2, -1, 0), determine o 
volume da caixa. Em seguida, assinale a alternativa correta que representa o resultado em 
unidades de volume. 
a) 10 u.v 
b) 7 u.v 
c) 5 u.v 
d) 4 u.v 
e) -5 u.v 
Pergunta 7 
Dados três vetores 𝑢→, 𝑣→ 𝑒 𝑤→ o resultado do produto misto entre eles é o resultado do 
cálculo do produto escalar entre 𝑢→ e o vetor resultante do produto vetorial entre , 𝑣→ 𝑒 𝑤→, ou 
seja, 𝑣→ = 𝑣→ 𝑥 𝑤→ . O resultado de um produto misto, assim como o resultado do produto 
escalar, é um número real. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre 
produto misto, analise as afirmativas a seguir: 
I. O produto misto é uma operação equivalente ao produto escalar, já que ambos resultam em 
um número real; 
II. Ao realizar uma permutação entre os vetores, o resultado do produto misto tem seu valor 
invertido; 
III. O produto misto pode ser utilizado para o cálculo do volume de um paralelepípedo; 
IV. O resultado de um produto misto será igual a zero se os três vetores forem paralelos. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas os itens corretos. 
a) II, III e IV. 
b) I, III e IV. 
c) II e IV. 
d) I, II e III. 
e) II e III. 
Pergunta 8 
Apresente com base na forma algébrica, a resultante proposta. Para tal, utilize os vetores 
representados a seguir: 
 
a) (-3, -2). 
b) (0, -2). 
c) (2, -2). 
d) (1, - 2). 
e) (1, -1). 
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Pergunta 9 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o módulo da resultante da soma entre os 
dois vetores, u e v, cujas componentes são dadas por u = (12, 5) e v = (-9, -1). 
a) 25. 
b) 3. 
c) 5. 
d) 4. 
e) 16. 
Pergunta 10 
O ângulo formado entre dois vetores não-nulos pode variar entre 0° e 180°. Quando temos os 
casos particulares em que o ângulo é igual a 0°, 90° ou 180°, é possível tirar algumas 
conclusões quanto à relação entre esses dois vetores. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre ângulos entre vetores, analise 
as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 0°, então os vetores têm o mesmo 
sentido. 
II. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 180°, então os vetores têm a mesma 
direção. 
III. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 90°, então os vetores são paralelos. 
IV. ( ) Se o ângulo formado entre dois vetores é igual a 0°, esse vetores são ortogonais. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) F, F, V, V. 
b) V, F, F, V. 
c) F, V, F, V. 
d) F, F, V, F. 
e) V, V, F, F. 
 
Pergunta 11 
Utilizando o princípio da determinação das coordenadas de um vetor por dois pontos e adição 
entre vetores, determine as coordenadas do vetor QP mais o vetor v, sabendo que: P= (1, 3, -
3), Q= (-2, -1, 4) e v= (-1, 4, 0). 
Agora, assinale a alternativa que corresponde ao resultado. 
a) (2, 8, -7). 
b) (-3, 4, -7). 
c) (0, 7, -3). 
d) (4, 8, -7). 
e) (2, 1, 4). 
 
 
 
 
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Pergunta 12 
Um paralelepípedo é um sólido geométrico definido no espaço tridimensional, que pode ser 
descrito como um hexaedro com três pares de faces paralelas, sendo cada uma dessas faces 
um paralelogramo. As suas arestas são segmentos de reta ligados pelos vértices das faces. 
Assim, observe a seguinte figura que exemplifica um paralelepípedo: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as definições e tipos de vetores, 
analise as afirmativas a seguir sobre os vetores formados pelos vértices do paralelepípedo e 
assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
 I. ( ) 𝐷𝐻→ = 𝐵𝐹→ 
II. ( ) 𝐴𝐶→ , 𝐷𝐵→ e 𝐵𝐶→ são coplanares; 
III. ( ) 𝐴𝐵→ é ortogonal ao plano BCG; 
IV. ( ) 𝐵𝐺→ // 𝐸𝐷→ 
a) V, V, F, F. 
b) V, V, V, F. 
c) F, F, V, V. 
d) V, F, V, F. 
e) F, V, F, V. 
Pergunta 13 
Diante dos produtos que podem ser realizados entre vetores, utilize o mais adequado e 
determineum vetor que seja ortogonal aos vetores u e v ao mesmo tempo. Sendo u e v: 
u = (1, −1, 4) e v = (3, 2, −2). 
a) (10, -10, 5) ou qualquer múltiplo desse vetor. (o resultado do cálculo é (- 6, 14, 5)) 
b) (5, -5, 3), apenas. 
c) (-1, 1, 1), apenas. 
d) (3, -3, 3) ou qualquer múltiplo desse vetor. 
e) (10, 2, 5), apenas. 
Pergunta 14 
Sejam os pontos A = (-1, 0, 2), B = (1, 1, 1) e C = (1, 0, 1), vértices de um triângulo retângulo, 
assinale a alternativa que apresenta o produto escalar entre os vetores AB e BC desse 
triângulo. 
a) 4. 
b) 1. 
c) 0. 
d) -1. 
e) 3. 
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Pergunta 15 
Quando é mencionada a operação de subtração entre vetores, estamos nos referindo à 
operação de adição de um vetor ao vetor oposto de um outro. Então, define-se a diferença 
entre dois vetores 𝑢→ e 𝑣→ como a adição 𝑢→ + 𝑣→. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre operações entre vetores, dados 
os vetores 𝑢→ = (2,6) e 𝑣→ = (5,3) é correto afirmar que as coordenadas dos vetores 
resultantes de 𝑢→ e 𝑣→ são, respectivamente: 
a) (7,3) e (3,-9). 
b) (3,3) e (-7,9). 
c) (-3,3) e (7,-9). 
d) (7,9) e (-3,3). 
e) (-7,-3) e (9,3). 
 
UNIDADE 2 
Pergunta 1 
Imagine que você trabalhe na secretaria de trânsito de sua cidade. Foi solicitado um 
levantamento de quantos automóveis e quantos caminhões transitam em uma determinada 
avenida no decorrer do dia durante duas semanas. Dessa forma, você gera uma tabela semanal 
que controla o tráfego de veículos naquela via, assim, após duas semanas, que apresenta os 
seguintes dados: 
 
 Para definirmos ao longo de duas semanas quantos carros e quantos caminhões transitaram 
na avenida, podemos utilizar os conceitos de soma de matrizes. Sendo assim, nosso primeiro 
passo nesta análise é separar a tabela em duas matrizes, A e B, 2 x 2, sendo cada uma delas 
representativa dos dados obtidos em cada semana. Nestas matrizes, as linhas representam os 
dois tipos de veículos e as colunas representam os dois períodos dos dias: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre soma de matrizes e 
multiplicação escalar, analise os procedimentos a seguir e ordene-os de acordo com a 
sequência necessária de execução para terminar de resolver este problema: 
I. ( ) definir que a soma das matrizes deve se processar da seguinte maneira: A+ B= C; 
II. ( ) O resultado da soma das matrizes será 
III. ( ) para definir o valor do elemento c11 na matriz C, devemos prosseguir da seguinte forma: 
c11 = a11 + b11. 
IV. ( ) dispor os elementos calculados na matriz C, que é a nossa resposta. 
V. ( ) repetir para os demais elementos de C, o procedimento realizado para definir o elemento 
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c11. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
a) 1, 5, 2, 4, 3. 
b) 1, 2, 3, 5, 4. 
c) 1, 3, 5 4, 2. 
d) 5, 1, 4, 2, 3. 
e) 5, 1, 4, 2, 3. 
Pergunta 2 
Utilizando a matiz ampliada de um sistema 3x3, apresente o vetor solução, utilizando o método 
de Eliminação de Gauss. 
 
 Agora, assinale a alternativa correta. 
a) (0 1 1). 
b) (1 1 1). 
c) (1 0 -1). 
d) (-2 1 1). 
e) (-1 1 1). 
Pergunta 3 
Seja a matriz A de ordem 3, calcule o determinante de A: 
 
 Agora, assinale a alternativa correta. 
a) 156. 
b) 60 
c) 216. 
d) 276. 
e) 90. 
Pergunta 4 
Assinale a alternativa que representa a equação geral do plano determinado pelos pontos A (-
1, 2, 0), B (2, -1, 1) e C (1, 1, -1) (sugestão: produto vetorial). 
a) x + y + z - 7 = 0. 
b) 4x + y + z - 6 = 0. 
c) x + y + z - 7 = 0. 
d) 4x + 5y + 3z - 6 = 0. 
e) x + 5y + 3z – 7 = 0. 
 
 
 
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Pergunta 5 
Analise a seguinte matriz: 
 
De acordo com os tipos especiais de matrizes, qual é o tipo de matriz representada acima? 
a) Matriz coluna. 
b) Matriz triangular inferior. 
c) Matriz triangular superior. 
d) Matriz linha. 
e) Matriz identidade. 
Pergunta 6 
As equações de um objeto matemático são úteis para inúmeros fins, tais como: manipulações 
algébricas, identificação de objetos matemáticos e verificação de pertencimento de pontos. 
Essa última pode ser realizada com base, por exemplo, na equação simétrica da reta. Tome a 
reta r a seguir, definida por sua equação simétrica, como exemplo: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações simétricas, pode-se 
dizer que o ponto (0,0,0) pertence à reta porque: 
a) ao substituir esse ponto na equação simétrica da reta, todos os termos da equação 
serão iguais. 
b) se trata de um vetor nulo, ou seja, um vetor com todas suas componentes sendo 0. 
c) a partir desse ponto, é possível definir a equação paramétrica da reta em questão. 
d) esse ponto refere-se às coordenadas do vetor que pertence a essa reta. 
e) esse ponto é utilizado para definir as coordenadas do vetor presente na equação 
paramétrica da reta 
Pergunta 7 
Considere as seguintes matrizes: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a definição e notações de 
matrizes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para(s) falsa(s): 
I. ( ) o elemento a12 da matriz A é igual ao elemento b11 da matriz B. 
II. ( ) a matriz A apresenta três elementos nulos. 
III. ( ) a matriz A é uma matriz de ordem 3 x 2. 
IV. ( ) a matriz B é uma matriz de ordem 3 x 3. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
a) F, F, F, V. 
b) F, V, V, F. 
c) V, F, F, V. 
d) F, V, F, F. 
e) V, F, V, V. 
 
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Pergunta 8 
De acordo com o que foi estudado sobre as retas e planos, apresente uma equação vetorial da 
reta que passa por A = (1, 2, 3) e é perpendicular ao plano π: 2x + y − z = 2. 
a) P = (3, 2, 3) + t . (2, 1, −1) 
b) P = (1, 2, 3) + t . (2, 1, −1). 
c) P = (1, - 2, -3) + t . (2, 1, −1). 
d) P = (1, 1, 3) + t . (2, 1, −1). 
e) P = (1, 2, 3) + t . (2, 1, 1). 
Pergunta 9 
As equações paramétricas de qualquer objeto matemático consideram um parâmetro de 
referência que pode reescrever todas as variáveis relacionadas àquele objeto. A equação 
paramétrica de uma reta em R³ pode ser escrita da seguinte forma: 
 
 
 Considerando essas informações, o conteúdo estudado sobre as equações da reta e que a≠0, 
b≠0 e c≠0, explique a razão pela qual é possível delimitar a equação simétrica da reta. 
a) O parâmetro x1 será positivo, possibilitando a determinação dos termos da equação 
simétrica. 
b) Os denominadores dos termos da equação simétrica são diferentes de 0. 
c) Sua equação vetorial da reta é linearmente independente em relação aos seus termos. 
d) O parâmetro t será positivo, possibilitando a determinação dos termos da equação 
simétrica. 
e) Os termos que a compõem são linearmente dependentes. 
Pergunta 10 
Os sistemas de Equações Lineares podem ser representados por um produto entre duas 
matrizes. Sendo assim, analise as proposições a seguir: 
I. a matriz produto é a matriz dos termos independentes do sistema. 
II. a matriz dos termos independentes representa as variáveis do sistema. 
III. uma das matrizes que faz parte da representação matricial do Sistema de Equações 
Lineares é a matriz das variáveis. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmações corretas sobre os sistemas de 
equações lineares 
a) I e III. 
b) I, II e III. 
c) II, apenas. 
d) I, apenas. 
e) III, apenas. 
 
 
 
 
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Pergunta 11 
Dadas as matrizes A e B (representadas abaixo), determine os valores de m e n para que as 
matrizes sejamiguais. 
 
 Agora, assinale a alternativa que contém a resposta correta. 
a) n = 5 e m = -6. 
b) n = 3 e m = 2. 
c) n = -6 e m = 5. 
d) n = 8 e m = -6. 
e) n = 3 e m = -6. 
 
Pergunta 12 
Analise os seguintes itens e classifique a posição relativa de duas retas de acordo com os 
vetores diretores: 
1. Se o vetor de uma delas for igual a um múltiplo do vetor da outra; 
2. Se e somente se, o conjunto de vetores (� ,� ,𝐴� ), sendo A pertencente a reta r e B 
pertencente a reta s, forem linearmente independentes, ou seja, se o determinante for 
diferente de zero; 
3. Se, e somente se, forem coplanares (pertencerem a um mesmo plano) e não paralelas. 
( ) retas reversas; 
( ) retas concorrentes; 
( ) retas paralelas. 
Agora, de acordo com o que foi estudado sobre classificação de duas retas quanto a posição, 
assinale a alternativa que contém a sequência correta. 
a) 1, 2, 3. 
b) 3, 2, 1. 
c) 2, 3, 1. 
d) 1, 3, 2. 
e) 3, 1, 2. 
 
Pergunta 13 
Determine a equação geral do plano, sendo o vetor normal resultante do produto entre os 
vetores u = (5, 4, 3) e v = (1, 0, 1). Depois, marque a alternativa correta. 
a) x – 2y – z + d = 0. 
b) x – y – 4z + d = 0. 
c) 4x – 2y – 4z + d = 0. 
d) 4x + 2y + 4z + d = 0. 
e) x – y – 4z + d = 0. 
 
 
 
 
 
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Pergunta 14 
Vetores são tipos específicos de matrizes que possuem um papel muito importante dentro das 
aplicações em conceitos da álgebra linear, e servem para solucionar os mais diversos 
problemas matemáticos. Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre 
vetores, analise as afirmativas a seguir: 
I. Um vetor n x1, sendo n diferente de 1, pode ser interpretado como um tipo específico de 
matriz coluna. 
II. A transposta de um vetor linha (ou seja, 1x n) é um vetor coluna (ou seja, n x1). 
III. Vetores n x 1 com n ≠ 1 podem ser multiplicados por outros vetores do mesmo tamanho. 
IV. O determinante de vetores n x1 com n ≠ 1 é igual ao produto de todos os elementos 
contidos nele. 
V. A multiplicação de uma matriz qualquer por um vetor coluna resulta em um vetor coluna. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas verdadeiras. 
a) II e III. 
b) III e IV. 
c) II e IV. 
d) I, II e V. 
e) III e IV. 
Pergunta 15 
Em um projeto de arquitetura, os objetos estavam registrados por meio das suas 
representações algébricas, como, por exemplo, o tampo de uma mesa. A mesma estava 
representada através de uma equação geral do plano. Nas informações constavam o ponto que 
passava o plano e o vetor normal ao mesmo. Determine a equação do plano presente nesse 
projeto, sabendo que P = (1, 2, 3) e o vetor u = 4i + 2j - 3k. Em seguida, assinale a alternativa 
correta. 
a) 4x + y + 3z + 9 = 0. 
b) 4x + 2y - 3z + 9 = 0. 
c) 4x + 2y - 3z + 3 = 0. 
d) x + y - 3z + 9 = 0. 
e) x + 2y + 3z + 9 = 0. 
 
UNIDADE 3 
Pergunta 1 
Um engenheiro mecânico apresentou os vetores que representam as forças sobre uma 
determinada estrutura através da combinação linear dos vetores u= (1, 0, -1), v= (1, 2, 1) e t= 
(0,-1, 0) do R³. Sendo assim, marque a alternativa que mostra a combinação que demonstra 
que B= {(u, v, t)} é uma base do R³, ou seja, que escreve todos os vetores força através da 
combinação linear: 
a) m=x/2 , n= (x+z)/2, p =(2X+ 2Y+2Z) 
b) m= (2X+ 2Y+2Z), n=(x-z)/2, p= (x+z)/2 
c) m= (2X+ 2Y+2Z), n=(x-z)/2, p= (x+z)/2 
d) m=x-z, n= x+z, p=(2X- 2Y-2Z)/2 
e) m=(x-z)/2, n=(x+z)/2, p=(2X- 2Y+2Z)/2 
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Pergunta 2 
Sendo T uma transformação linear do espaço dos polinômios de grau, menor ou igual a 2, ou 
seja, . Com variável em x, definido em si por: T(1)= 1+x ; T(x)= 3-x² ; T(x²)= 4+2x - 3x². 
Determine T( 2-2x + 3x²). 
a) P = -6+8x -7x² 
b) P= 8+8x -7x² 
c) P =2+8x -7x² 
d) P=6+8x -9x² 
e) P= 8+12x -7x² 
Pergunta 3 
Qual a transformação linear T:R³ → R² tal que S(3,2,1) = (1,1), S(0,1,0) = (0,-2) e S(0,0,1) = (0,-1)? 
a) (z, -2y+5z) 
b) (-z, -2y+5z) 
c) (-2y+x, y) 
d) (-2y+ 5z, z) 
e) (-z, 2y+5z) 
Pergunta 4 
Determine a transformação linear T: R² R³, tal que T(-1 , 1) = (3, 2, 1) e T(0, 1) = (1, 1, 0). 
Assinale a alternativa correta. 
a) T(X, Y)= (-2X, -2Y, -X) 
b) T(X, Y)= (X, -X + 2Y, -X + Y) 
c) T(X, Y)= (-2X, 2Y, -X) 
d) T(X, Y)= (-2X, -X + 2Y, -X) 
e) T(X, Y)= (-2X + Y, -X + Y, -X) 
Pergunta 5 
Considere a transformação linear T: R 2 --> R 2 ,tal que T(1, 0) = (-1, 1) e T(0, 1) = (4, 2). 
Apresente a alternativa que representa, respectivamente, o Operador Linear de T e T(0,-3) 
nesse operador: 
a) T(x,y)=( - x +4y, x+2y), (-12,-6) 
b) T(x,y)=(x, x-2y), (0, -6) 
c) T(x,y)=(x +4y, x+2y), (12, -3) 
d) T(x,y)=(x, x+2y),(0, -3) 
e) T(x,y)=(-x, -x-2y), (5, 13) 
Pergunta 6 
Seja V um espaço de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear, então, a dim N(T) 
+dim Im(T) = dim V. Sendo assim, determine a dimensão do núcleo da T: R³ → R², T (x, y, z) ={ x-
z, 2x+y+3z} Em seguida, assinale a alternativa correta 
a) N(T)= 1. 
b) N(T)= 2. 
c) N(T)= 3. 
d) N(T)= 0. 
e) N(T)= 4 
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Pergunta 7 
Os autovetores e autovalores, ocorrem em transformações no mesmo espaço vetorial. Dada a 
transformação linear do R² para o R², determine os autovetores e autovalores associados a T:IR² →IR², T(x,y) = (x+2y, -x+4y) 
a) 
b) 
c) 
d) 
 
e) Não existem 
Pergunta 8 
Uma imagem está sendo gerada no espaço R², por vetores pertencentes ao subespaço vetorial, 
S= {( x,y ) R²/ X + y = 0}. Apresente uma base para o subespaço S gerador. 
a) (1, 0) 
b) (0, -1) 
c) (-1, -1) 
d) (1, 1) 
e) (1, -1) 
Pergunta 9 
Determine uma base para o subespaço S= {(x,y,z) є R³/ y=2x}, e assinale a alternativa correta. 
a) { (1, 1/2, 0),(0, 0, 1)} 
b) { (0, 0, 1)} 
c) { (1, 2, 0)} 
d) { (1, 2, 0),(0, 0, 1)} 
e) { (1, 2, 1),(0, 1, 1)} 
Pergunta 10 
O núcleo de uma transformação linear é um subconjunto contido no espaço vetorial, que é o 
domínio da transformação. Considerando as transformações T(x, y, z) = (2x-y, 3x-2y + z) e U(x, y, 
z) = (x+y-z, y-2z), determine o núcleo da transformação de T+U. Em seguida, assinale a 
alternativa correta. 
a) {(x, 0, 3x) / x ∈ R} 
b) {(-2x, 0, 3x) / x ∈ R} 
c) {(0, 0, 3x) / x ∈ R} 
d) {(x, y, 3x) / x ∈ R} 
e) {(x, 0, 2x) / x ∈ R} 
 
 
 
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Pergunta 11 
Sendo T uma transformação linear no plano R² R², e T(x,y)= (2x+y, x+4y), utilizando as ideias de 
autovetores e autovalores, apresente os autovalores associados a matriz da transformação. 
a) 
b) 
c) 
d) 
e) 
 
Pergunta 12 
Subespaços são subconjuntos contidos nos Espaços Vetoriais que atendem aos axiomas da 
adição e multiplicação por um escalar. Sendo assim, verifique se os subconjuntos a seguir são 
subespaços do Espaço Vetorial M2x2 e marque a alternativa correta: 
 
a) S e W não são subespaços de M 2x2 , mas T 
b) S é subespaço de M 2x2 , mas W e T, não. 
c) S e T não são subespaços de M 2x2 , mas W sim. 
d) S , W e T são subespaços de M 2x2 . 
e) S não é subespaço de M 2x2 , mas W e T, 
sim. 
Pergunta 13 
Dado o vetor a= (4, 3) do R² , é uma combinação linear dos vetores c = (1, 1) e d= (0,1), com os 
escalares λ e K. Assinale a alternativa que apresenta a combinação correta λ c+ K d que escreve 
o vetor a. 
a) λ = 3 , K= 4 
b) λ= 4 , K= -1 
c) λ = 3 , K= -1 
d) λ = 4 , K= 1 
e) λ = 4 , K= 3 
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Pergunta 14 
Seja V um espaço de dimensão finita e T: V → W uma transformação linear, então, a dim N(T) 
+dim Im(T) = dim V. Sendo assim, determinea dimensão da imagem do operador linear 
T: R³ →R², T (x, y, z) ={ x-z, 2x+ y+3z). 
Em seguida, assinale a alternativa correta. 
a) Im(T)= 0. 
b) Im(T)= 3. 
c) Im(T)= 4. 
d) Im(T)= 1. 
e) Im(T)= 2. 
 
Pergunta 15 
Vetores foram gerados a partir do subespaço vetorial, M= {( x,y,z) R³/X=3Y e Z= - Y}.Apresente 
uma base para o subespaço S gerador. 
a) (-3, -1, -1) 
b) (3, 1, 1) 
c) (0, 1, -1) 
d) (3/2, 1, -1) 
e) (3, 1, -1) 
 
 
UNIDADE 4 
 
Pergunta 1 
O estudo das cônicas consiste em um estudo geométrico de interseções, sendo elas, figuras 
geométricas definidas pela interseção de um plano com um cone, por isso, possuem este 
nome. A elipse é um exemplo desse tipo de figura geométrica advinda dessa interseção, 
porém, ela não é a única. Existem equações algébricas para cada uma das formas geométricas 
pertencentes a essa classe de objetos. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, pode-se afirmar que 
existem vários tipos de cônicas porque: 
a) Trata-se de um critério arbitrário adotado pelos geômetras, que possui um sentido 
matemático prático. 
b) Elas definem o mesmo objeto matemático, porém, em contextos geométricos 
diferentes. 
c) As equações algébricas dessas figuras são bem definidas, sendo um critério abstrato 
que as diferenciam. 
d) Os planos possuem equações bem definidas, diferentemente das superfícies cônicas 
em questão. 
e) Uma superfície cônica pode se intersecionar com um plano de inúmeras maneiras. 
 
 
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Pergunta 2 
As hipérboles são representações cônicas que são geradas pela secção de uma superfície 
cônica por um plano, e esse plano, por sua vez, corta as duas metades do cone. Esse tipo de 
representação geométrica é descrito por determinados elementos matemáticos relevantes no 
contexto da Geometria Analítica, logo, é fundamental conseguir identificá-los. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da hipérbole, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. Dois elementos importantes que compõe a hipérbole são seus focos. 
II. O eixo real de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro a. 
III. A distância focal de uma hipérbole tem relação com seu parâmetro c. 
IV. A excentricidade de uma hipérbole assume valores reais sem restrições. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas verdadeiras. 
a) I, II e IV. 
b) I e IV 
c) I e II. 
d) II e IV. 
e) I, II e III. 
Pergunta 3 
Uma elipse é uma figura geométrica que surge da interseção de um plano com uma superfície 
cônica. A definição algébrica de elipse considera num plano π dois pontos 
 
 , que distam 2c > 0 entre si, sendo a > c, e um ponto P pertencente ao plano π de tal modo 
que: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equação da elipse de centro na 
origem do sistema, assinale a alternativa que explica: por que 
 
, também pode representar uma elipse? 
a) Os focos da elipse são alterados pela manipulação algébrica, mas mantêm suas 
características. 
b) X e y resultam em números positivos, enquanto a e b referem-se a números inteiros 
negativos. 
c) É uma equação que mantém as condições estabelecidas na definição algébrica. 
d) A, b e c são números reais, o que permite com que seja escrita dessa forma. 
e) A razão entre as incógnitas x e y e seus respectivos denominadores resulta em um 
número positivo. 
 
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Pergunta 4 
Quando um plano interseciona uma superfície cônica, e ele o faz de uma maneira que passa 
apenas por uma das folhas e não paralelamente à geratriz do cone, temos uma figura 
geométrica de nome elipse. É importante estudar esse tipo de representação algébrica, pois 
ela é definida por alguns elementos particulares que são muito úteis no estudo da Geometria 
Analítica. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, analise as seguintes 
afirmativas e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s): 
I. ( ) Dois elementos importantes que compõem a elipse são seus focos. 
II. ( ) A excentricidade de uma elipse é dada na forma 2a. 
III. ( ) A distância entre os dois focos de uma elipse é igual a 2c. 
IV. ( ) A expressão algébrica de uma elipse possui forma reduzida. 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta. 
a) V, V, F, F. 
b) V, F, F, V. 
c) F, V, F, V. 
d) V, V, F, V. 
e) V, F, V, V. 
 
Pergunta 5 
A elipse é uma representação que advém de uma seção de uma superfície cônica. Ela é um 
objeto algébrico muito importante, pois possui elementos fundamentais para o estudo de 
Geometria Analítica. Dois dos elementos que compõem uma elipse são seus eixos maiores e 
menores. A partir deles, é possível entender algumas particularidades desse objeto 
matemático. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a elipse, por qual razão pode-se 
afirmar que os eixos auxiliam no entendimento, por exemplo, de uma circunferência? 
 
a) A circunferência e a elipse são figuras que têm os mesmos eixos quando secionadas 
por um plano. 
b) Pode-se abstrair uma relação pitagórica que envolve os eixos maiores e menores e a 
área de uma circunferência. 
c) Ela é uma representação geométrica que é um caso particular de uma elipse, 
envolvendo o tamanho dos eixos. 
d) Os eixos maiores e menores alteram a relação entre o perímetro de uma circunferência 
e sua área. 
e) Os eixos auxiliam no cálculo da área da circunferência, o que torna o processo menos 
complexo. 
 
 
 
 
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Pergunta 6 
Um dos objetos de estudo em Geometria Analítica são as figuras geométricas denominadas 
cônicas. Elas são representações geométricas advindas de um tipo especial de interseção. 
Quando um plano encontra uma superfície cônica, diz-se que são geradas as figuras 
geométricas cônicas, também conhecidas pelo nome de seção cônica. Considerando essas 
informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, analise as afirmativas a seguir: 
I. A elipse é um dos tipos de seção cônica. 
II. A hipérbole é um dos tipos de seção cônica. 
III. A parábola é um dos tipos de seção cônica. 
IV. O quadrado é um dos tipos de seção cônica. 
 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. 
a) II e IV. 
b) I e IV. 
c) I e II. 
d) I, II e III. 
e) I, II e IV. 
 
Pergunta 7 
As cônicas são representações geométricas que surgem de uma interseção do plano com uma 
superfície cônica. Em um contexto geométrico, a distinção entre as cônicas é efetuada de 
maneira simples, porém, em um contexto algébrico, é necessário um cuidado para avaliar de 
qual objeto está se tratando uma certa representação. Considere as equações reduzidas: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equações da hipérbole de 
centro na origem do sistema, assinale a alternativa que explica que as representações tratam 
de objetos diferentes corretamente. 
a) Os parâmetros a e b em cada uma das equações referem-se a parâmetros distintos. 
b) A primeira equação refere-se a um objeto que tem como referência o eixo x, e outro 
que tem como referência o eixo y. 
c) Os objetos possuem a mesma natureza geométrica, sendo a primeira equação 
referente a uma elipse e a segunda a uma hipérbole. 
d) Ambos são objetos geométricos de mesma natureza, mas com posições geométricas 
distintas. 
e) Os objetos possuem naturezas distintas, sendo a primeira equação referente a uma 
elipse e a segunda a uma hipérbole. 
 
 
 
 
 
 
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Pergunta 8 
As parábolas são figuras geométricas advindas de uma interseção entre um planoe uma 
superfície cônica realizada de uma determinada maneira. Esse objeto geométrico possui 
diversas características particulares, tal como a existência de um vértice, foco, reta diretriz, um 
eixo ‘e’. Uma das principais características da parábola tem relação com a simetria. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da parábola, 
pode-se afirmar que existem duas características acerca da simetria na parábola porque: 
a) as equações que definem a reta diretriz e a parábola são simétricas, respeitando suas 
características. 
b) os elementos referentes ao vértice e ao foco de uma parábola são simétricos, uma vez 
que a reta diretriz é paralela ao eixo ‘e’. 
c) a reta diretriz e o eixo ‘e’ são paralelos, logo, as simetrias se dão entre esses dois 
objetos matemáticos. 
d) a distância focal de uma parábola é definida pelo parâmetro p de simetria geométrica. 
e) uma se refere à distância entre os pontos e a reta diretriz e o foco; enquanto a outra 
se refere ao comportamento, tendo como referência o eixo ‘e’. 
 
Pergunta 9 
A interseção de um plano com uma superfície cônica define algumas figuras geométricas 
conhecidas como cônicas, são elas: hipérboles, parábolas e elipses. Cada maneira singular que 
o plano seciona uma superfície cônica dá origem a cada uma dessas representações 
geométricas. Considere, a seguir, três representações algébricas dessas cônicas: 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, analise as afirmativas a 
seguir: 
I. O objeto geométrico da primeira equação tem seus focos no eixo x. 
II. A segunda equação refere-se a uma parábola. 
III. A primeira e a terceira equação referem-se ao mesmo objeto geométrico. 
IV. A segunda equação refere-se a um objeto com concavidade para baixo. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. 
a) II e IV. 
b) I e II. 
c) I, II e IV. 
d) I, II e IV. 
e) I e IV. 
 
 
 
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Pergunta 10 
Uma superfície cônica pode ser secionada por um plano de diversas maneiras. Uma dessas 
maneiras é secionar a superfície cônica com o plano paralelo à reta geratriz do cone, dando 
origem a uma parábola. Essa representação geométrica possui características particulares, 
importantes para o estudo de Geometria Analítica. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre os elementos da parábola, 
analise as afirmativas a seguir: 
I. A parábola possui uma característica de simetria com relação à distância. 
II. Existe uma reta diretriz que compõe a parábola. 
III. A parábola possui dois focos F1 e F2 
IV. O parâmetro p é definido com relação ao foco F da parábola. 
Agora, assinale a alternativa que contém apenas as afirmativas corretas. 
a) I, II e IV. 
b) I, III e IV. 
c) II e IV. 
d) I e IV. 
e) I e II. 
 
Pergunta 11 
As hipérboles e elipses são representações geométricas distintas e isso fica evidente quando se 
observa os gráficos das duas representações. Algebricamente, esses objetos geométricos 
também se diferem. Eles possuem equações gerais distintas, mesmo tomando como base 
alguns parâmetros semelhantes e equações reduzidas distintas, apesar de muito parecidas. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre hipérboles e elipses, as duas 
formas geométricas se distinguem, também, por sua origem geométrica? Assinale a alternativa 
que justifica corretamente. 
a) Uma hipérbole é um caso particular de uma elipse, logo, a distinção se dá de maneira 
visual. 
b) As funções que as descrevem são diferentes, por tratarem de parâmetros geométricos 
distintos. 
c) Sua forma representativa é diferente, tal como um quadrado e uma circunferência se 
diferem. 
d) O ângulo de inclinação de cada uma delas com relação ao plano xy é diferente. 
e) São geradas por tipos diferentes de interseções dos planos com as superfícies 
cônicas. 
 
 
 
 
 
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Pergunta 12 
A elipse é uma figura geométrica cônica muito estudada no campo da geometria analítica. Essa 
figura, como qualquer outra figura cônica, advém da interseção de um plano com uma 
superfície cônica. Ela contém alguns elementos particulares a ela, tais como: focos, distância 
focal, eixo maior, eixo menor, centro, vértices e segmento focal. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, afirma-se que se o 
plano intersecionasse a superfície cônica, paralelamente, à reta geratriz, a figura formada 
deixaria de ser uma elipse porque: 
a) A reta geratriz definiria outra figura, diferentemente de uma superfície cônica. 
b) A figura formada seria uma parábola, com características geométricas particulares 
diferentes. 
c) O centro da elipse seria deslocado, de modo a perder as características particulares 
que a define. 
d) Os eixos maiores e menores se encontrariam, definindo apenas um ponto pertencente 
ao plano e a superfície cônica. 
e) A equação do plano seria equivalente à do plano que secionasse a superfície cônica, 
perpendicularmente, à sua reta geratriz. 
 
Pergunta 13 
As representações geométricas conhecidas como elipses são definidas, algebricamente, por 
algumas relações. Uma das possíveis relações que as definem refere-se à sua equação na forma 
reduzida. Porém, para se escrever a equação na forma reduzida, é necessário o conhecimento 
acerca dos valores de a e b. Tome como referência a equação da elipse de forma reduzida: 𝑥²𝑎² + 𝑦²𝑏² = 1 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre equação da elipse de centro na 
origem do sistema, pode-se encontrar a equação da forma reduzida de uma elipse com focos F1 = (-4, 0) e F2 = (4, 0) 
, tendo como tamanho do eixo maior 12, e centrada em (0,0), porque: 
a) é possível encontra o valor resultando da operação entre todos os termos da forma 
reduzida, resultando em 15. 
b) toma-se como base as razões de 
𝑥²𝑎² + 𝑦²𝑏² = 1 como números inteiros, resultando em 1. 
c) a partir desses dados, define-se os parâmetros x = 6 e y = 20, que são utilizados na 
equação da forma reduzida. 
d) a partir desses dados, define-se os parâmetros a² = 36 e b² = 20, que são utilizados na 
equação da forma reduzida. 
e) realiza-se um sistema de equações com x² e y², para que se determine os valores de a e 
b. 
 
 
 
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Pergunta 14 
Os objetos geométricos possuem diversas equações algébricas que os representam nos mais diversos 
contextos. A parábola, por exemplo, possui algumas equações que descrevem seu comportamento, 
sendo ela centrada na origem. Tome como referência as duas equações parabólicas reduzidas: x² = 4py e x² = -4py 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre as equações reduzidas da parábola, por 
que as parábolas representadas pelas equações supracitadas se diferem no contexto geométrico? 
a) A primeira equação refere-se a uma parábola com concavidade voltada para cima, 
enquanto a segunda tem concavidade voltada para baixo. 
b) A reta diretriz da primeira equação é paralela à parábola, enquanto na segunda 
equação ela é perpendicular. 
c) O foco da parábola da primeira equação está na parte negativa do eixo y, enquanto na 
segunda equação encontra-se na positiva. 
d) A primeira equação trata de uma parábola sem foco, enquanto a segunda trata de uma 
parábola com foco. 
e) A primeira equação descreve uma parábola sem simetria ao redor do eixo ‘e’, enquanto 
a segunda descreve uma parábola com simetria. 
Pergunta 15 
A interseção entre um plano e uma superfície cônica faz gerar outros tipos de objetos 
geométricos muito estudados na Geometria Analítica, por conterem particularidades 
representativas. Cada maneira que se varia o corte da superfíciecônica pelo plano altera-se o 
objeto geométrico advindo desse corte, tal como suas características. Analise a representação 
da cônica a seguir, advinda dessa interseção geométrica supracitada. 
 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre cônicas, afirma-se que essa 
representação geométrica se refere a uma elipse porque: 
a) A reta geratriz do cone interseciona a figura geométrica supracitada, característica 
particular de uma elipse. 
b) A interseção do plano com a superfície cônica, de maneira inclinada, dá origem a uma 
elipse. Caso fosse paralela, a base seria uma hipérbole. 
c) O plano interseciona a superfície cônica em apenas uma de suas folhas, e não é 
paralelo à geratriz. 
d) A área da figura formada pela interseção é equivalente à área dada pela superfície do 
sólido apresentado. 
e) A figura geométrica formada está inscrita no cone, característica apresentada por uma 
elipse. 
BOA SORTE! 
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