Calculo IV - Semana 7 - Atividade Avaliativa Cálculo- NT-10

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Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa 
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A transformada de Laplace é uma função definida por
𝓛 ( f ) = Y ( s) = ∫
0
∞
f ( t) e −stdt , com t ≥ 0 para todos os
valores de s, em que a integral imprópria é convergente. 
Nesse contexto, avalie as afirmativas a seguir.
I. A transformada de Laplace para a função constante
f ( t) = π é 𝓛 ( f ) =
1
πs
, para s > 0.
II. A transformada de Laplace para a função f ( t) = 3t é
ℒ ( f ) =
3
s 2
, para s > 0.
III. Sendo c uma constante, com c ∈ R, 𝓛 (cf ) =c . 𝓛 ( f )
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 Estado de Conclusão da Pergunta:
08/03/2025, 20:08 Fazer teste: Semana 7 - Atividade Avaliativa – Cálculo ...
https://ava.univesp.br/webapps/assessment/take/launch.jsp?course_assessment_id=_201073_1&course_id=_13835_1&new_attempt=1&content… 1/4
, , ( f ) ( f )
.
IV. 𝓛 (y ' ' ( t) ) = s 2𝓛 (y ( t) ) − sy ( 0) − y ' ( 0) , sendo
lim
t → ∞
y ( t) e −st = 0 e lim
t → ∞
y ' ( t) e −st = 0.
Está correto o que se afirma em:
a. II, III e IV, apenas.
b. I, III e IV, apenas;
c. I, II, III e IV;
d. III e IV, apenas;
e. I, II e III, apenas;
Um dos métodos utilizados para resolver equações diferenciais
ordinárias lineares não homogêneas de ordem maior ou igual a 2
refere-se às Transformadas de Laplace. Saber aplicar a
Transformada de Laplace em uma equação diferencial é o primeiro
passo para a resolução.
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a
Transformada de Laplace aplicada na seguinte equação
diferencial: y ' − y = t + 3.
a.
sY − y ( 0) =
1
s 2
+
1
s
.
b.
s 2Y − y ( 0) =
1
s 2
+
1
s − 1
.
c.
Y ( s − 1) − y ( 0) =
1
s 2
+
3
s
.
d.Y ' − y = s + 3.
e.
( s 2− 1) Y − y ( 0) =
1
( s − 1) 2
+
1
s
.
PERGUNTA 2 2 pontos   Salva
Considere o seguinte sistema de equações diferenciais de
primeira ordem e sua representação matricial:
⎧
⎪
⎪
⎪
x
1
' = − 2x
1 ( )t + 4x
2
( t) ⎡
⎢
⎤
⎥
x
1
'
⎡
⎢
⎤
⎥
− 2 4
⎡
⎢
⎤
⎥
x
1
( t)
PERGUNTA 3 2 pontos   Salva
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⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
1 1 ( ) 2
x
2
' = 3x
1 ( )t + x
2
( t)
⇒ ⎢
⎢
⎢
⎣
⎥
⎥
⎥
⎦
1
x
2
'
= ⎢
⎢
⎣
⎥
⎥
⎦
2 4
3 1
·
⎢
⎢
⎢
⎣
⎥
⎥
⎥
⎦
1
x
2
( t)
Agora, assinale a alternativa que apresenta corretamente os
autovetores da matriz dos coeficientes de um sistema de
equações diferenciais de primeira ordem.
a.
B
1
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
1
1
e B
2
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
− 4
3
.
b.
B
1
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
1
1
e B
2
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
4
3
.
c.
B
1
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
1
1
e B
2
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
2
3
.
d.
B
1
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
2
1
e B
2
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
4
3
.
e.
B
1
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
2
1
e B
2
=
⎡
⎢
⎢
⎣
⎤
⎥
⎥
⎦
2
3
.
Para resolver problemas reais, é muito utilizado o método de
modelagem matemática, que muitas vezes resulta em sistemas
de equações diferenciais ordinárias. Um dos métodos utilizados
para resolver equações diferenciais ordinárias lineares não
homogêneas de ordem maior ou igual a 2 é por meio das
transformadas de Laplace. 
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a
solução geral da seguinte equação diferencial:
y ' ' ( t) + 2y ' ( t) − 3y ( t) = t · e 2t , sujeita às condições
y ' ( 0) = 0 e y ( 0) = 0.
a.
y ( t) =
1
2
e −t −
1
20
e 3t +
1
25
t · e 5t −
6
35
e 7t .
b.
y ( t) =
1
10
e −t −
1
60
e −3t +
1
35
t · e 5t −
6
65
e 5t .
c.
y ( t) =
1
15
e t −
1
50
e −2t +
1
5
t · e 3t −
6
85
e 3t .
d.
y ( t) =
1
e t −
1
e −3t +
1
t · e 2t −
6
e 2t
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y ( t)
4
e
100
e +
15
t e
5
e .
e.
y ( t) =
1
8
e −2t −
1
10
e 3t +
1
25
t · e 4t −
6
55
e 4t .
Para resolver situações de engenharia, muitas vezes, é preciso
modelar, matematicamente, o problema real, resultando em
sistemas de equações diferenciais ordinárias. Há diferentes
métodos para resolver um sistema de equações desse tipo.
Nesse contexto, considere o seguinte sistema de equações
diferenciais ordinárias, sujeito às condições
x ( 0) = 0, x ' ( 0) = 0 e y ( 0) = 0:
⎧
⎪
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎪
⎩
x ' ( t) + x ( t) − y ( t) = 0
2x " ( t) + 2x ' ( t) − 2x ( t) − y ' ( t) = t
Assinale a alternativa que apresenta, corretamente, a
solução desse sistema de equações.
a.
x ( t) = 2 e −t − 3 e 2t − t + 4, y ( t) = 2 e −2t −
1
15
e t −
1
3
t +
4
3
.
b.
x ( t) = 3 e −t − 6 e 2t − t + 5, y ( t) =e t + e 2t + t + 2.
c. x ( t) = 2 e 2t − 3 e 3t − 2 t 2+ 3, y ( t) = 3 e 2t − 4 e −3t − 2 t + 3.
d.
x ( t) =e 3t − e −3t + 2, y ( t) = 3 e t − 5 e −3t − 2 t + 3.
e.
x ( t) =
1
3
e t −
1
12
e −2t −
1
2
t +
2
3
, y ( t) =
2
3
e t −
1
12
e −2t −
1
2
t +
2
3
.
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