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Ca´lculo I - Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Prof. Josinaldo
Menezes e Profa.
Simone Batista
Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Ca´lculo I - Func¸o˜es Hiperbo´licas
Prof. Josinaldo Menezes e Profa. Simone Batista
Escola de Cieˆncias e Tecnologia - UFRN
7 de dezembro de 2009
Ca´lculo I - Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Prof. Josinaldo
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Simone Batista
Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Identidades
Satisfeitas pelas
Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Derivadas e
Integrais das
Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Derivadas e
Integrais das
Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Inversas
Func¸o˜es Hiperbo´licas
I Toda func¸a˜o f que seja definida em um intervalo centrado na
origem pode ser escrita como a soma de uma func¸a˜o par e de
uma func¸a˜o ı´mpar:
f (x) =
f (x) + f (−x)
2
+
f (x)− f (−x)
2
(1)
I Se considerarmos f (x) = ex , teremos
ex =
ex + e−x
2
+
ex − e−x
2
(2)
onde definimos:
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Hiperbo´licas
Identidades
Satisfeitas pelas
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Derivadas e
Integrais das
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Hiperbo´licas
Derivadas e
Integrais das
Func¸o˜es
Hiperbo´licas
Inversas
1. Func¸a˜o Cosseno Hiperbo´lico e´ parte par da func¸a˜o exponencial:
cosh x =
ex + e−x
2
(3)
2. Func¸a˜o Seno Hiperbo´lico e´ parte ı´mpar da func¸a˜o exponencial:
senh x =
ex − e−x
2
(4)
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Derivadas e
Integrais das
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Hiperbo´licas
Inversas
1. Func¸a˜o Tangente Hiperbo´lico:
tgh x =
senh x
cosh x
=
ex − e−x
ex + e−x
(5)
2. Func¸a˜o Cotangente Hiperbo´lico:
cotgh x =
cosh x
senh x
=
ex + e−x
ex − e−x (6)
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Derivadas e
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Hiperbo´licas
Inversas
1. Func¸a˜o Secante Hiperbo´lico:
sec x =
1
cosh x
=
2
ex + e−x
(7)
2. Func¸a˜o Cossecante Hiperbo´lico:
cosec x =
1
senh x
=
2
ex − e−x (8)
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Inversas
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Integrais das
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Identidades Satisfeitas pelas Func¸o˜es Hiperbo´licas
1.
cosh2 x − senh 2x = 1 (9)
2.
senh (2x) = 2senh x cosh x (10)
3.
cosh(2x) = 2 cosh2 x + senh 2x (11)
4.
cosh2 x =
cosh(2x) + 1
2
(12)
5.
tgh 2x = 1− sech 2x (13)
6.
cotgh 2x = 1 + cosech 2x (14)
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Para provar, substituimos as definic¸o˜es das func¸o˜es seno e cosseno
hiperbo´licos.
I Por exemplo, a primeira identidade e´ encontrada fazendo-se
cosh2 x + senh 2x =
(
ex + e−x
2
)2
−
(
ex − e−x
2
)2
(15)
=
1
4
(
e2x + 2 ex e−x + e−2x (16)
− e2x + 2 ex e−x − e−2x) (17)
=
1
4
(
4 ex e−x
)
(18)
= 1. (19)
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Derivadas e Integrais das Func¸o˜es Hiperbo´licas
As derivadas e integrais das func¸o˜es hiperbo´licas sa˜o obtidas
utilizando as regras ja´ conhecidas. Por exemplo,
I Seja f = senh x , enta˜o
d
dx
(senh x) =
d
dx
(
ex − e−x
2
)
(20)
=
1
2
(
ex + e−x
)
(21)
= cosh x . (22)
I Da mesma forma para f = cosech x , temos
d
dx
(cosec x) =
d
dx
(
1
senh x
)
(23)
= − cosh x
senh 2x
(24)
= −cosech x cotg x . (25)
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Inversas
Exemplo 1: Calcule ddt
(
tgh (
√
1 + t2)
)
.
I
d
dt
(
tgh (
√
1 + t2)
)
= sech 2(
√
1 + t2)
1√
1 + t2
. (26)
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Exemplo 2: Calcule
∫
cotg(5x) dx .
I ∫
cotg(5x) dx =
∫
cosh x
senh x
dx (27)
I Utilizando a substituic¸a˜o u = senh (5x) e du = 5 cosh(5x) dx ,
temos∫
1
5
u−1 du =
1
5
ln |u|+ C = 1
5
ln |senh (5x)|+ C . (28)
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Exemplo 3: Calcule
∫ 1
0
senh 2x dx .
I ∫ 1
0
senh 2x dx =
∫ 1
0
cosh(2x)− 1
2
dx (29)
=
1
2
∫ 1
0
[cosh(2x)− 1] dx (30)
=
1
2
[
senh (2x)
2
− x
]1
0
(31)
=
senh (2)
4
− 1
2
≈ 0, 40672. (32)
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Exemplo 4: Calcule
∫ ln 2
0
ex senh x dx .
I ∫ ln 2
0
ex senh x dx =
∫ ln 2
0
4 ex
(
ex − e−x
2
)
dx (33)
= 2
∫ ln 2
0
(e2x − 1) dx (34)
=
[
e2x − 2x]ln 2
0
(35)
= 4− 2 ln 2− 1 (36)
= 3− 2 ln 2 ≈ 1, 6137. (37)
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Exemplo 5: Calcule
∫ 1
0
2x dx√
3+4 x2
.
I Se tomarmos u = 2x , a =
√
3 e du = 2 dx , teremos∫
2x dx√
3 + 4 x2
=
∫
du√
a2 + u2
. (38)
I Utilizando a derivada da func¸a˜o hiperbo´lica inversa
f (x) = senh−1 x , podemos escrever∫
du√
a2 + u2
= senh−1
(u
a
)
+ C (39)
= senh−1
(
2x√
3
)
+ C (40)
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I Aplicando os limites da integral inicial∫ 1
0
2x dx√
3 + 4 x2
=
[
senh−1
(
2x√
3
)]1
0
(41)
= senh−1
(
2√
3
)
− senh−1(0) (42)
I Ou seja, ∫ 1
0
2x dx√
3 + 4 x2
≈ 0, 9865. (43)
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