Aula5InterpolacaoPolinomiala267145

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Prof. Duarte Aula 5 –página 1 
 Cálculo Numérico – Aula 5 Prof.: Duarte 
 
 
1 – Interpolação Polinomial 
 
Suponha que você esteja fazendo o estudo experimental de um movimento e obteve, através de medidas, os pontos da 
tabela abaixo. 
ti (s) 1,0 2,0 3,0 4,0 
xi (m) 9,0 14 37 90 
 
Podemos, a partir dessa tabela, obter uma função x = f(t) que represente a dependência entre as variáveis t e x. Essa 
função será chamada de Polinômio Interpolador s(x) e, com ele, podemos calcular o valor de x para qualquer t e vice-
versa. 
Se determinarmos o polinômio interpolador para a tabela acima obtida experimentalmente encontraremos: 
10t3t2)t(x 23  
Essa é a equação x = f(t) (equação horária) do movimento que você está estudando. Com ela podemos determinar a 
posição x do móvel em um instante qualquer. Por exemplo, vamos calcular a posição do móvel no instante t = 2,3 s. 
Para isso basta substituir t por 2,3 na equação horária. 
 10t3t2)t(x 23
 10)3,2(3)3,2(2)3,2(x 23 m 464,18)3,2(x  
Portanto no instante t = 2,3 s teremos o móvel em estudo na posição x = 18,464 m da origem. 
Percebeu? Você estava fazendo um estudo de um movimento que você nem tem ideia de qual é, no entanto com 4 
pontos medidos experimentalmente, deu para se obter a equação do espaço em função do tempo do movimento! 
 
1.1 Polinômio Interpolador de Lagrange 
 
1.1.1 Para três pontos tabelados. 
 
 
Seja dada a tabela: 
 
 
Lagrange encontrou uma fórmula para se obter o polinômio interpolador. 
 
Para resolver problemas inicialmente devemos construir a matriz de Lagrange. 













21202
21101
20100
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx
 
 
Observe que a variável independente x só aparece na diagonal principal. Os demais elementos são números não nulos 
e, além disso, y não aparece na matriz. 
O polinômio de Lagrange é calculado pela soma das 3 frações: 
 
   
   
   
   
   
    2
1202
10
1
2101
20
0
2010
21 y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
y
xxxx
xxxx
)x(P








 
 
Para facilitar a resolução de exercícios é melhor trabalhar separadamente com as frações: 
210 FFF)x(P  onde 
   
    0
2010
21
0 y
xxxx
xxxx
F


 ; 
   
    1
2101
20
1 y
xxxx
xxxx
F


 e 
   
    2
1202
10
2 y
xxxx
xxxx
F


 
 
 
xi x0 x1 x2 
yi y0 y1 y2 
 Prof. Duarte Aula 5 –página 2 
Exercícios: 
 
1) Achar o polinômio interpolador de Lagrange que se adapte a tabela abaixo e obter o valor de y para x = 2,25. 
 
 
 
 
Primeiro determinamos a matriz de Lagrange. 














21202
21101
20100
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxx














2x02)1(2
200x)1(0
2101)1(x













2x23
2x1
311x
 
 
   
   



 0
2010
21
0 y
xxxx
xxxx
F
 
 



 4
31
2xx
F0 

 4
3
x2x
F
2
0
3
x8x4
F
2
0

 
   
   



 1
2101
20
1 y
xxxx
xxxx
F
   
 



 1
21
2x1x
F1 



2
2xx2x
F
2
1
2
2xx
F
2
1


 
   
   



 2
1202
10
2 y
xxxx
xxxx
F
   
 
 


 1
23
x1x
F2
6
xx
F
2
2

 
Como 210 FFF)x(P  temos: 








6
xx
2
2xx
3
x8x4
)x(P
222      



6
xx2xx3x8x42
)x(P
222
 



6
xx6x3x3x16x8
)x(P
222



6
6x14x4
)x(P
2
1x
3
7
x
3
2
)x(P 2  
Para x = 2,25 temos:  1)25,2(
3
7
)25,2(
3
2
)25,2(P 2 875,0)25,2(Py  
 
2) Determine o polinômio de Lagrange do exercício anterior como um sistema linear. O polinômio é de grau n  2. 
 
Temos que o polinômio interpolador é da forma: 
21
2
0 axaxa)x(P  
 
    4a1a1a)1(f)x(f)x(P 21
2
000  
    1a0a0a)0(f)x(f)x(P 21
2
011  
    1a2a2a)2(f)x(f)x(P 21
2
022  
 









1aa2a4
1aa0a0
4aaa
210
210
210
1a2  
 
Substituindo a2 






11a2a4
41aa
10
10






2a2a4
3aa
10
10
Multiplicando por 2 a primeira equação: 





2a2a4
6a2a2
10
10
 
 
Somando as duas equações:  4a6 0
3
2
a0  ;  3aa 10  3a
3
2
1  1a3
3
2
3
7
a1  
1x
3
7
x
3
2
)x(P 2  
xi 1 0 2 
yi 4 1 1 
 Prof. Duarte Aula 5 –página 3 
1.1.2 Para quatro pontos tabelados. 
 
Neste caso a matriz interpoladora de Lagrange será: 
















3231303
3221202
3121101
3020100
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
 
 
Novamente observe que a variável independente x só aparece na diagonal principal. 
O polinômio de Lagrange também será calculado pela soma, mas agora de quatro frações: 
     
     
     
     
     
     
     
      3
231303
210
2
321202
310
1
312101
320
0
302010
321 y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
y
xxxxxx
xxxxxx
)x(P











 
Cada uma das frações será: 
     
      0
302010
321
0 y
xxxxxx
xxxxxx
F


 ; 
     
      1
312101
320
1 y
xxxxxx
xxxxxx
F


 ; 
     
      2
321202
310
2 y
xxxxxx
xxxxxx
F


 e 
     
      3
231303
210
3 y
xxxxxx
xxxxxx
F


 . 
 
Para calcular o polinômio interpolador de Lagrange usaremos: 3210 FFFF)x(P  
 
 
Exercícios: 
3) Achar o polinômio interpolador de Lagrange que se adapte a tabela abaixo. Obtenha o valor de y para x = 1,2. 
 
 
 
 
 
A matriz de Lagrange é: 
 

















3231303
3221202
3121101
3020100
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx
xxxxxxxx

















3x231303
322x1202
31211x01
3020100x
















3x123
12x12
211x1
321x
 
 
     
     



 00 y
321
3x2x1x
F
   



 4
6
3x2x1x2x
F
2
0
   



 4
6
3x2x3x
F
2
0



 4
6
6x2x9x3x3x
F
223
0 4
6
6x11x6x
F
23
0 


 
 
     
     



 11 y
211
3x2xx
F
   


 6
2
3xx2x
F
2
1 

 6
2
x6x2x3x
F
223
1 6
2
x6x5x
F
23
1 

 
 
     
     



 22 y
112
3x1xx
F
   



 10
2
3xxx
F
2
2 


 10
2
x3xx3x
F
223
2 10
2
x3x4x
F
23
2 


 
 
     
     



 33 y
123
2x1xx
F
   


 22
6
2xxx
F
2
3 

 22
6
x2xx2x
F
223
3 22
6
x2x3x
F
23
3 

 
xi 0 1 2 3 
yi 4 6 10 22 
 Prof. Duarte Aula 5 –página 4 
 3210 FFFF)x(P 









 22
6
x2x3x
10
2
x3x4x
6
2
x6x5x
4
6
6x11x6x
)x(P
23232323
 
 
                       



6
x2x3x221x3x4x103x6x5x636x11x6x41
)x(P
23232323
 
 
       



6
x44x66x22x90x120x30x108x90x1824x44x24x4
)x(P
23232323
 



6
24x18x12x6
)x(P
23
4x3x2x)x(P 23  
Para x = 1,2 temos:        42,132,122,1)2,1(P
23
448,6)2,1(Py  
 
 
4) Encontre a Fórmula Geral do somatório: 1 + 2 + 3 + 4 + ......... + n, onde n é o número de parcelas do somatório. Faça 
para n = 4 
 
 
 
 

















3231303
3221202
3121101
3020100
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn
nnnnnnnn

















4n342414
433n2313
42322n12
4131211n
















4n123
13n12
212n1
3211n
 
 
     
     



 1
321
4n3n2n
F0
   




6
4n6n2n3n
F
2
0
   




6
4n6n5n
F
2
0




6
24n6n20n5n4n
F
223
0
6
24n26n9nF
23
0


 
 
     
     



 3
211
4n3n1n
F1
   


 3
2
4n3nn3n
F
2
1
   


 3
2
4n3n4n
F
2
1


 3
2
12n3n16n4n4n
F
223
1 3
2
12n19n8n
F
23
1 

 
 
     
     



 6
112
4n2n1n
F2
   
 



 6
2
4n2nn2n
F
2
2
   



 6
2
4n2n3n
F
2
2



 6
2
8n2n12n3n4n
F
223
2 6
2
8n14n7n
F
23
2 


 
 
n 1 2 3 4 
P(n) 1 3 6 10 
 Prof. Duarte Aula 5 –página 5 
     
     



 10
123
3n2n1n
F3
   


 10
6
3n2nn2n
F
2
3
   


 10
6
3n2n3n
F
2
3


 10
6
6n2n9n3n3n
F
223
3 10
6
6n11n6n
F
23
3 

 
 
 3210 FFFF)n(P 
10
6
6n11n6n
6
2
8n14n7n
3
2
12n19n8n
6
24n26n9n
)n(P
23232323










 
           
6
6n11n6n108n14n7n6312n19n8n3324n26n9n1
)n(P
23232323 
 
       
6
60n110n60n10144n252n126n18108n171n72n924n26n9n
)n(P
23232323 
 



6
n3n3
)n(P
2



2
nn
)n(P
2  
2
1nn
)n(P

 
 
Exercícios: 
Determine, nos exercícios abaixo, o polinômio interpolador de Lagrange e calcule y para x = 1,5 
 
 
 
5) 
 
 4x3x2)x(Py 2  
 
 
6) 
 
 8x2x)x(Py 3  
 
 
7) 
3x5,2x)x(Py 2  
 
 
 
 4x4x3x2)x(Py 23  8) 
 
 
 
 
9) Encontre a Fórmula Geral do somatório: 12 + 22 + 32 + 42 + ......... + n, onde n é o número de parcelas somatório. 
Faça para n = 4 
6
)1n2()1n.(n
)n(P

 
xi 1 3 4 
yi 1 23 40 
xi 2 1 0 2 
yi 4 5 8 20 
xi 0 1 2 3 
yi 3,0 6,5 1,0 19,5 
xi 0 0,5 1 1,5 
yi 4,0 2,5 1,0 2,0 
xi 1 2 3 4 
yi 1 5 14 30