Ficha 2- Aula 3, 4 e 5 - interpolacao

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Docente: Abel Miguel Página 1 
 
 
Universidade Zambeze 
Faculdade de Ciências e Tecnologia 
Disciplina de Métodos Numéricos 
Aula Teórica – 3, 4 e 5 
Curso: Eng. Mecatronica e Eng. De Processos Industriais 
Tema 2: Interpolação 
Sumário 
 Introdução ao estudo da interpolação; 
 Interpolação Linear; 
 Interpolação de Lagrange; 
 Interpolação de Newton com diferenças divididas; 
 
 
Introdução à interpolação 
 
Interpolação: é um processo de estimar os valores de uma função para valores de diferentes 
de conhecendo – se apenas os valores de nos pontos . 
 
Interpolação linear 
Dados pontos, , e uma função , tal que 
 que passa por todos os pontos. Pretendemos aproximar a função , por um 
polinómio , do primeiro grau que passa por dois pontos, , 
 . 
A função designa – se função interpoladora, os valores designam – se nós de 
interpolação e e designam –se valores nodais. 
Consideremos o seguinte problema: 
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Seja dada na seguinte tabela: 
 ........ 
 ........ 
 Onde . 
Determinar uma aproximação para onde . Neste caso substituímos por 
 , onde é uma recta ou um polinómio do primeiro grau que passa pelos pontos 
 . 
A equação da recta que passa pelos pontos e é: 
 
 
 
 
 
 
 
. 
 
Exemplo 1: 
Usando a tabela 
 3 
 1.25 
 
a) Calcular arctg(1.5) usando interpolação linear; 
 
Resolução: 
 
 , . . 
 
A equação da recta é: 
 
 
 
, então 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Erro cometido na aproximação da interpolação linear 
 | | para alguma constante M2 
| | 
 
 
 
 , 
onde | | . 
 
b) Calcule o erro cometido nesta interpolação. 
 
 
 
 
 
 
 
 | | |
 
 
| 
 
 
 
Então, | | 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
Conclusões: 
 
 
 
 
| | 
 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Interpolação de Lagrange e o seu Erro 
 
Dados pontos onde . Encontrar um polinómio interpolador 
 de grau que passa por todos os pontos distintos . 
A fórmula de Lagrange representa o polinómio interpolador directamente a partir dos pontos 
originais. 
O polinómio de Lagrange é dado pela seguinte fórmula: ∑ 
 
 , isto é 
 
Onde ∏
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Consideremos a seguinte tabela 
 
Onde . 
Os pontos desta tabela determinam um polinómio de terceiro grau descrito da seguinte forma: 
 , 
onde: 
 
 
, 
 
 
, 
 
 
 
, 
 
 
 
O erro cometido na aproximação de Lagrange é dado por 
| | ∏ 
 
 
 
 , onde | | , . 
 
 
 
 
 
 
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Exemplo 2: Seja 
x 
 
 
Determinar por meio do Polinómio Interpolador de Lagrange e o respectivo erro de 
aproximação. 
Resolução: 
Como , isto é, vamos estimar por um polinómio do terceiro grau. 
 , 
Onde: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Para calcular o erro de aproximação temos que estudar a quarta derivada da função . 
 , , , , 
 
| | ∏ 
 
 
 
 
 
| | 
 
 
 
| | 
 
Conclusões: 
O polinómio de Lagrange é dado por , 
onde ∏
 
 
 
 , . Os polinómios são chamados de polinómios de 
Lagrange, e o polinómio é chamado 
polinómio interpolador de Lagrange. 
| | ∏ 
 
 
 
 , onde | | , . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Interpolação de Newton com diferenças divididas 
Seja uma função tabelada em pontos distintos . 
O operador de diferenças divididas é definido por 
 - Ordem zero 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 – 
 
 -ordem um. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 - Ordem dois. 
 
 
 
 – ordem três. 
 
 
 
 – ordem . 
Podemos tabelar as diferenças divididas para . 
 
Exemplo3: determine a tabela dos operadores de diferenças divididas e o polinómio interpolador 
de Newton para a tabela a baixo: 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
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 , 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A forma geral de Newton para o polinómio interpolador com os operadores de diferenças 
divididas é dada por 
 
 
Para o exemplo anterior temos daí que 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 . 
 
O erro cometido na aproximação de Newton é o mesmo que o da interpolaçãode Lagrange e é 
dado por: 
| | ∏ 
 
 
 
 , onde , . 
 
Por exemplo: se quisessemos achar aproximadamente teriamos 
 
 
 
 
 
 
E o erro cometido seria | | ∏ 
 
 
 
 | | 
 
 
 
 
 
 
 | | 
 
 
.