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2a Lista de Exerc´ıcios -MA-141
TRANSLAC¸A˜O NO PLANO-COˆNICAS-COORDENADAS POLARES
20. Tome x′y′ o sistema de eixos do plano que e´ a translac¸a˜o do sistema xy para a nova
origem O′ = (1, 1), isto e´, x′ = x− 1 e y′ = y − 1.
(a) Dado o ponto P = (1, 4) no sistema xy, encontre as coordenadas de P no
sistema x′y′.
R:P = (0, 3).
(b) Dado o ponto A = (2, 1) no sistema x′y′, encontre as coordenadas de A no
sistema xy.
R:A = (3, 2).
(c) Dada a equac¸a˜o x2 − 4x + y2 − 6y = 12 no sistema xy, encontre tal equac¸a˜o
nas varia´veis x′y′.
R: x′2 − 2x′ + y′2 − 4y′ = 20.
21. Encontre os ve´rtices (ou ve´rtice), os focos (ou foco) e a excentricidade de cada uma
das coˆnicas. E esboce o gra´fico.
(a) 4x2 + 9y = 144.
R: Temos,
4x2 + 9y = 144⇒ x2 = 4
(−9
16
)
(y − 16),
que e´ uma para´bola. E neste caso, na˜o tem excentricidade.
Foco: F =
(
0, 16− 9
16
)
.
Ve´rtice: V = (0, 16).
1
2
(b) 49x2 − 9y2 = 441.
R: Temos,
49x2 − 9y2 = 441⇒ x
2
32
− y
2
72
= 1,
que e´ uma hipe´rbole. E,
b =
√
c2 − a2 ⇒ c = ±
√
58.
Assim, obtemos
Focos: F1 = (−
√
58, 0), F2 = (
√
58, 0).
Excentricidade: e =
√
58
3
.
Ve´rtices: A1 = (−3, 0), A2 = (3, 0).
(c) 3x2 − 14y = 0.
R: Temos,
3x2 = 14y ⇒ x2 = 4
(
7
6
)
y,
que e´ uma para´bola, e portanto na˜o tem excentricidade.
Foco: F =
(
0, 7
6
)
.
Ve´rtice: V = (0, 0).
22. Para cada uma das equac¸o˜es abaixo decida se a coˆnica C determinada pela equac¸a˜o
e´ degenerada ou na˜o. Nos casos em que na˜o sa˜o degeneradas encontre os ve´rtices(ou
ve´rtice), os focos (ou foco) e esboce o gra´fico.
(a) 9x2 − 18x + 9y2 − 6y = 10
R:A coˆnica e´ um circulo de raio
√
20
3
e centro (1, 1
3
), cuja equac¸a˜o reduzida e´:
(x− 1)2 + (y − 1
3
)2 = (
√
20
3
)2.
(b) 4x2 − 4x + 9y2 − 18y = 26
R: Temos uma elipse de equac¸a˜o reduzida
(x− 1
2
)2
32
+ (y−1)
2
22
= 1.
Focos: F1 = (
1−2√5
2
, 1), F2 = (
1+2
√
5
2
, 1).
3
Ve´rtices: A1 = (−32 , 1), A2 = (52 , 1).
(c) 4y2 − 4y − 24x + 9 = 0
Equac¸a˜o reduzida: (y − 1
2
)2 = 4.3
2
(x− 1
3
).
Temos uma para´bola de foco F = (11
6
, 1
2
), ve´rtice V = (1
3
, 1
2
) e reta diretriz r:
x = −7
6
.
(d) 36x2 − 24x + 36y2 − 36y + 14 = 0
Equac¸a˜o reduzida: −36(x− 1
3
)2 − 36(y − 1
2
)2 = 1.
O conjunto vazio e´ o conjunto soluc¸a˜o dessa equac¸a˜o.
(e) 4x2 − 8x− 9y2 + 6y − 68 = 0
Equac¸a˜o reduzida: (x−1)
2(√
71
2
)2 − (y− 13)2(√
71
3
)2 = 1.
Temos uma hipe´rbole cujos focos e ve´rtices sa˜o:
Focos: F1 =
(
6−√923
6
, 1
3
)
, F2 =
(
6+
√
923
6
, 1
3
)
.
Ve´rtices: A1 =
(
2−√71
2
, 1
3
)
, A2 =
(
2+
√
71
2
, 1
3
)
.
(f) 9y2 − 9x2 + 6x = 1
Equac¸a˜o reduzida: 9y2 − 9 (x− 1
3
)2
= 0.
Temos uma coˆnica degenerada.