1ºEE -S_1_S2_S6

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE PERNAMBUCO
A´lgebra Linear
Primeiro exerc´ıcio escolar
Turmas S1 e S2
Professor: Leonardo Abath
21 de junho de 2013
1o Questa˜o (2.5 pts) Seja o seguinte sistema linear homogeˆneo:
2x + 4y − 5z + 3t = 0
3x + 6y − 7z + 4t = 0
5x + 10y − 11z + 6t = 0
(a) Exiba uma base e determine a dimensa˜o do subespac¸o gerado pelo conjunto-soluc¸a˜o do
sistema acima.
(b) Calcule o posto e a nulidade da matriz dos coeficientes.
2o Questa˜o (2.5 pts) Seja V um espac¸o vetorial. Prove que:
(a) Se (v1, . . . , vn) gera V, enta˜o (v1 − v2, v2 − v3, . . . , vn−1 − vn, vn) tambe´m gera V.
(b) Se (v1, . . . , vn) e´ L.I em V, enta˜o (v1 − v2, v2 − v3, . . . , vn−1 − vn, vn) tambe´m e´ L.I em
V.
3o Qesta˜o (2.5 pts) Sejam U e W subespac¸os vetoriais de R5 , tais que:
U =
{
(x1, x2, x3, x4, x5) ∈ R5 : x1 = 3x2, x3 = 7x4
}
W = [ (1, 1, 0, 0, 0), (0, 0, 0, 1, 1) ]
(a) Encontre uma base para U+W.
(b) A soma e´ direta? Justifique !
(c) U+W = R5? Justifique!
4o Questa˜o (2.5 pts) Considere a base de P3 dada por β =
{
1, 1− t, (1− t)2, 1− t3}.
(a) Calcule as coordenadas [p(t)]β do polinoˆmio p(t) = 1 + 2t+ 3t
2 − 5t3 em relac¸a˜o a` base
β.
(b) Com respeito a` base α =
{
1, t, t2, t3
}
,calcule a matriz mudanc¸a de base [I]αβ .
Boa Prova!