APOSTILA-ESTATISTICA -ADM-RH-2014

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UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO 
UNINOVE 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO 
ESTATISTICA 
4ª edição 
 
 
 
 CURSO: ADMINISTRAÇÃO EM RECURSOS HUMANOS 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva 
 
 
São Paulo, 2013 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados – 4ª edição - Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva 
 
Métodos Quantitativos Aplicados – 4ª edição - Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva 
 
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APRESENTAÇÃO 
 
Caro(a) aluno(a), 
 
 
Ao longo de nossa vida acadêmica, são grandes as novidades e os desafios que se colocam 
diante de nós. As relações entre professores e alunos são mediadas por linguagens e regras específicas, 
diferentes daquelas que aprendemos a decifrar e a empregar em nossa vida escolar e profissional. Esse 
universo desconhecido desperta, a um só tempo, curiosidade e temor. A final será que conseguiremos 
dominar todas essa novidades e sobreviver a eles? 
 
 Esse material foi elaborado com o intuito de lhe apresentar algumas dessas normas e linguagens 
e, assim, ajudá-lo a desvendar parte desse universo desconhecido. Espero, com as dicas que seguem 
oferecer-lhe algumas ferramentas úteis para o seu desenvolvimento profissional e a acadêmico. Não 
pretendo fazer com que você domine todo esse instrumental logo de saída, longe disso. Você só 
aprenderá tudo o que aqui está contido à medida que for empregando cada uma das ferramentas. No 
início lhe parecerão complexas, com o passar do tempo você aprenderá a decodificá-las e a utilizá-las 
corretamente, de modo que elas passarão a fazer parte tanto do seu vocabulário quanto de seu 
repertório de práticas. 
 
 O objetivo deste material é preparar o discente para a vida acadêmica, despertando-lhe o desejo 
de aprimorar seus conhecimentos, de conhecer, pesquisar e investigar os mais diferentes aspectos da 
realidade em que vive ou que venha a participar socialmente. Este material tem como objetivo 
principal mostrar, de forma clara, por meio de exemplos práticos, o conceito de estatística e suas 
aplicações, e utiliza para isso uma metodologia objetiva e de fácil compreensão. 
 
 Vale salientar que este material faz parte de um conjunto de textos, baseados em livros, artigos 
de jornais e apostilas, que foram e continuam sendo aprimorados com o tempo, pelo autor. Este 
material serve como complemento para o aluno a fim de facilitar a sua compreensão, dessa forma, não 
substitui, em hipótese alguma, a pesquisa em livros específicos. 
 
 
 
O autor, 
 
 
 
Métodos Quantitativos Aplicados – 4ª edição - Elaboração: Prof. Dr. Paulo Sergio Pereira da Silva 
 
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INTROUDUÇÃO A ESTATÍSTICA 
 
A Estatística é uma parte da matemática Aplicada que fornece métodos para a coleta, 
organização, descrição, análise e interpretação de dados e para a utilização dos mesmos na tomada de 
decisões, em situações de incerteza, a partir de informações numéricas de uma amostra. 
 
População ou Universo: Conjunto de elementos (pessoas ou objetos) que interessam à pesquisa. 
 
Amostra: - Parte da população (universo) ou pequena parte de um todo (população). 
OBS.: Que seja fiel a população (amostra representativa). 
Ex.: Se o objetivo da pesquisa for verificar se houve aumento da aquisição de eletrodomésticos no ano 
de 2001 no Brasil, nas camadas populares, a amostra será composta de pessoas de baixa renda, 
preferencialmente de várias regiões do Brasil; de ambos os sexos, diversas faixas etárias, etc. 
 
Variáveis 
 
A cada fenômeno corresponde um número de resultados possíveis. Assim por exemplo: 
- para o fenômeno “sexo” são dois os resultados possíveis: sexo masculino e sexo feminino; 
- para o fenômeno “número de filhos” há um número de resultados possíveis expresso por meio 
dos números naturais: 0, 1, 2, 3, .... , n; 
- para o fenômeno “estatura” temos uma situação diferente, pois os resultados podem tomar um 
número infinito de valores numéricos dentro de um determinado intervalo. 
 
Variável - Substitui um elemento de uma série que pode assumir n valores numéricos ou não 
numéricos (é, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno). 
 
 
TÉCNICAS DE LEVANTAMENTO ESTATÍSTICO: Distribuição de Frequência 
 
 Por meio de técnicas estatísticas, é possível estudar os conjuntos de dados e, a partir de uma 
amostra, tirar conclusões válidas para conjuntos maiores (população). 
Entre as várias técnicas adotadas em estatística, abordaremos a de uma variável, concentrando-nos na 
chamada estatística descritiva, que consiste em organizar os dados coletados em tabelas de freqüência 
e exibindo o número de percentagem de observações em cada classe, podendo ser a apresentado 
através de tabelas ou gráficos correspondentes. 
 De maneira geral, as técnicas estatísticas são utilizadas em três etapas principais do trabalho de 
pesquisa: 
 
 a coleta de dados, incluindo o planejamento do trabalho e da pesquisa(questionário ou 
teste); 
 a apresentação dos dados coletados(técnicas específicas); 
 a análise dos dados coletados, com a formulação de conclusões e generalizações. 
Simultânea a segunda, pois durante a própria organização dos dados já é possível ir percebendo 
a tendência geral da pesquisa. 
 
Dados brutos 
 
Como primeiro resultado de uma pesquisa, obtêm-se dados brutos, um conjunto de números 
ainda sem nenhuma organização. Esse material é então ordenado de forma crescente ou decrescente, 
com a indicação da freqüência, dando origem ao que chamamos de rol. 
 
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Um pesquisador, por exemplo, quer saber que idades predominam entre as pessoas economicamente 
ativas de determinada cidade. Para isso, entrevistou 100 pessoas e obteve os seguintes dados brutos: 
 
Idades predominantes 
 
28 27 31 33 30 33 27 31 34 26 
30 33 33 29 32 27 34 37 30 29 
37 31 30 30 26 29 29 34 29 26 
30 27 32 24 30 27 31 30 32 29 
31 31 30 30 27 30 27 27 21 34 
30 28 33 28 36 29 32 27 24 27 
33 27 27 30 33 30 33 33 23 28 
30 39 27 27 31 31 36 28 29 30 
33 31 31 30 28 27 32 30 30 29 
29 24 33 30 33 27 30 34 36 32 
 
O rol desses dados brutos é: 
IDADE(xi) FREQUÊNCIA(fi) 
21 1 
23 1 
24 3 
26 3 
27 16 
28 6 
29 10 
30 21 
31 10 
32 6 
33 12 
34 5 
36 3 
37 2 
39 1 
Total(n) 100 
 
xi: elementos da amostra (no caso, idade); 
fi : frequência, repetições ou peso de cada valor da amostra. 
 
Tabulação de dados 
 
 Continuando com a mesma pesquisa, depois de elaborar o rol é necessário determinar quantas 
faixas etárias terá a tabela de frequência. O passo seguinte é subdividir os dados por classe ou 
categoria (no caso, a faixa etária) e determinar o número de indivíduos pertencentes a cada uma, 
resultando na frequência de classe. 
k: número de classes que a tabela de classe deverá conter 
n: número de elementos da amostra 
 Como diretriz geral, recomendamos usar entre cinco e vinte classes (k). Os conjuntos de dados 
com um número maior de observações usualmente exigem um número maior de classes. Conjuntos de 
dados com um número menor de observações podem em geral ser facilmente sintetizados com apenas 
cinco ou seis classe. 
 
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Então, se você tem uma amostra com 100 dados, pode organiza-los em uma tabela de distribuição de 
freqüência com k = 
n
 = 10 classes. 
Encontrando o valor de k, é preciso determinar o intervalo de classe, isto é, o tamanho que cada 
classe deverá ter. Chamaremos de h essa amplitude de classe, que será constante, isto é, todas as k 
classes deverão ter a mesma amplitude. Para calcular h, fazemos: 
 
 
 AT = Xmáx. - Xmín. h = AT 
 k 
h : amplitude do intervalo 
Xmáx. : o maior valor de dados 
Xmín. : o menor valor de dados 
AT. : amplitude total, isto é, a diferença entre o maior e o menor valor de dados 
Em nosso exemplo temos: 
AT = Xmáx - Xmín. = 39 - 21 = 18 
Logo, h = 18/10 = 1,8 
 
Em seguida, o pesquisador determina os limites de cada classe: o limite superior (ls) e o limite 
inferior (li), aplicando um dos quatro conceitos de intervalo que já estudamos. Escolhe um ponto de 
partida, de acordo com os interesses da pesquisa. Pode decidir, por exemplo, que o limite inferior será 
20. A partir dele, serão construídas as classes da tabela de frequência, que deverá abranger todos os 
elementos do rol. Caso não ocorra a abrangência de todos os elementos do rol deveremos aumentar a 
amplitude(h) ou o número de classes (k), aquele que melhor convier. 
 Assim, se k = 10 e h = 2, com a primeira classe iniciada por 20, temos a adição de h, a cada 
classe: 
K Classes Frequência(fi) 
 li ls 
1 20 ------| 22 1 
2 22 ------| 24 4 
3 24 -----| 26 3 
4 26 -----| 28 22 
5 28 -----| 30 31 
6 30 -----| 32 16 
7 32 -----| 34 17 
8 34 -----| 36 3 
9 36 -----| 38 2 
10 38 -----| 40 1 
 --------------------- 100 
 
Obs.: a primeira e última classe não pode ter frequência igual a zero. 
Nota: É importante observar se os elementos estão incluídos ou excluídos. 
- O passo seguinte é escolher um número para representar cada classe, em geral o ponto médio (pm), 
ou seja, a média entre os valores dos limites de classe. 
 pm = li + ls 
 2 
Em seguida , é preciso encontrar: 
- Frequência relativa (fr): Indica à proporção que cada classe representa em relação ao total (n) e é 
obtida dividindo-se cada uma das frequências absolutas (fi) pelo tamanho (n): 
 fr = fi 
 n 
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Obs.: A soma de sua coluna sempre deverá ser igual a 1. caso isso não ocorra, arredonda-se algum 
valor de modo a obter 1. 
 
- Frequência percentual (fp): Indica a porcentagem de cada classe. Para obtê-la, multiplica-se fr por 
100: 
 fp = fr . 100 
Obs.: a soma de sua coluna deverá ser igual a 100% . 
 
- Frequência acumulada (fa): Corresponde à soma das frequências absolutas(fi ) de sua classe, mais as 
anteriores caso haja: 
 fa = fiat + faant 
Obs.: i = 1,2, ..., k 
O f acumulado da última classe deverá ser igual a n. 
 
Com base em todos os cálculos relacionados acima, podemos fazer uma nova tabela de 
frequência, ainda para o exemplo das faixas etárias de pessoas ativas na cidade pesquisada. 
 Suponhamos, a gora, que queiramos iniciar o primeiro limite inferior da primeira classe em 18. 
Teremos, então, de recalcular todas as frequências absolutas. A nova tabela será: 
 
 
K 
Classes 
 
li ls 
Frequência 
(fi) 
fr = fi/n fp = fr . 100 
(%) 
Pm = (li + ls)/2 
 
fa = fiat + faant 
 1 20 ------| 22 1 0,01 1% 21 1 
 2 22 ------| 24 4 0,04 4% 23 5 
 3 24 -----| 26 3 0,03 3% 25 8 
 4 26 -----| 28 22 0,22 22% 27 30 
 5 28 -----| 30 31 0,31 31% 29 61 
 6 30 -----| 32 16 0,16 16% 31 77 
 7 32 -----| 34 17 0,17 17% 33 94 
 8 34 -----| 36 3 0,03 3% 35 97 
 9 36 -----| 38 2 0,02 2% 37 99 
10 38 -----| 40 1 0,01 1% 39 100 
 ------------- 100 1 100% -------- ------------ 
 
E X E R C I C I O S 
1) O que você entende por o termo rol? 
2) A tabela abaixo indica o número de um grupo de 1550 funcionários de determinadas faixas salariais 
de uma empresa. Complete as colunas em branco. 
 Faixa salarial Número de 
pessoas (fi) 
Frequência 
percentual (fp) 
Frequência acumulada 
(fa) 
Até 3 salários mínimos 776 
De 3 a 6 salários mínimos 387 
De 6 a 9 salários mínimos 232 
Acima de 9 salários mínimos 155 
 1550 
 
3) Para o Curso de Administração uma classe de uma escola possui as seguintes notas: 
36 40 54 31 32 34 43 49 
50 56 40 42 44 33 54 55 
56 59 65 67 50 68 51 54 
61 44 39 66 60 36 44 49 
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a) maior nota; 
b) menor nota; 
c) amplitude total; 
d) tabela contendo: as notas, frequência relativa, frequência percentual e freqüência acumulada 
(sugestão: (K = 6 e h = 6,16 usar h = 7) exemplo: 31|------|37); 
e) quantas notas estão acima de 75? 
f) quantas notas estão abaixo de 45? 
g) informe o percentual de notas entre 50 e 68 inclusive. Resposta 50% 
 
4) Os dados da amostra abaixo representam as vendas diárias de um determinado aparelho elétrico, 
durante um mês, por uma firma comercial: 
14 12 11 13 14 13 
19 14 20 14 11 12 
12 14 10 13 15 18 
21 13 16 17 14 14 
 
a) Elabore uma distribuição de frequência começando a primeira classe com o intervalo :10|----|12 
b) Faça a análise da penúltima classe da distribuição 
 
5) O corpo administrativo de um consultório médico estudou o tempo de espera dos pacientes que 
chegavam ao consultório com uma solicitação de serviço de emergência. Os seguintes dados foram 
coletados no período de um mês (os tempos de espera estão em minutos): 
2 5 10 12 4 4 5 17 11 8 9 8 12 21 6 8 7 13 18 3 
a) Construa a distribuição de frequência utilizando classes de 0|----|4, 5|----|9 etc. 
b) Que proporção de pacientes necessita de serviço de emergência enfrentam um tempo de espera de 
nove minutos ou menos? Resposta 60% 
 
6) A MKT Icont é uma empresa de consultoria em contabilidade e iniciou um trabalho de pesquisa 
para a TDI, que pretende lançar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas 
pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da população. A tabela abaixo 
mostra os dados sobre uma amostra da população pesquisada, referente à renda familiar mensal (em 
salário mínimo): 
 
Salário Mínimo Número de pesquisados 
0|-------5 734 
5|-------10 526 
10|-------15 205 
15|-------20 140 
20|-------25 60 
TOTAL 
 
Considerandoos dados acima, podemos afirmar que: 
 
a) 30% da amostra ganham 10 salários mínimos ou mais; 
b) Somente 44,08% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos; 
c) Menos de 10% da amostra ganham 15 salários mínimos ou mais; 
d) Mais de 75% da amostra ganham abaixo de 10 salários mínimos; 
e) Mais de 5% da amostra ganham 20 salários mínimos ou mais. 
Resposta: (d) - 75,67% 
 
 
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7) Complete a tabela abaixo: 
K l L Fi fr Pm ou X fa 
1 0|-------8 4 
2 8|-------16 10 
3 16|-------24 14 
4 24|-------32 9 
5 32|-------40 3 
TOTAL 
 
8) Complete os dados que faltam na distribuição de frequência: 
K l L Fi fr Pm ou X fa 
1 0|-------2 4 1 
2 2|-------4 8 12 
3 4|-------6 5 
4 |------- 27 45 
5 8|------- 15 
6 |-------12 11 
7 |-------14 10 77 
TOTAL 77 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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GRÁFICOS 
Uma vez elaborada a tabela de frequência, segue-se o desenho do gráfico, um recurso de visualização 
dos dados constantes na tabela. Os tipos de gráficos são: histograma; polígono de frequência; ogiva de 
Galton; e setograma. 
Histograma: utilizado para representar as frequencias absolutas (fi) em relação à sua classe, é 
construído assim: 
1. No eixo X (abscissas), marcamos, em escala, as classes dos dados. 
2. No eixo Y (ordenadas), marcamos as freqüências de classe(fi). 
3. Fazemos a correspondência entre cada intervalo no eixo dos X (classes) e um valor no eixo 
vertical(fi), formando um desenho que lembra um conjunto de colunas paralelas( retangulares) 
ou um conjunto de prédios. 
Polígono de frequência: utilizado para indicar o ponto médio(pm) ou representante de classe com 
suas respectivas frequências absolutas, é construído sobre o histograma. Para construí-lo, procedemos 
assim: 
1. No eixo X (abscissas), colocamos o ponto médio de cada intervalo de classe. 
2. No eixo Y (ordenadas), permanecem as frequências absolutas de classe (fi). 
3. Ligamos os pontos por segmentos de reta. 
4. Para completar o polígono, acrescentamos um ponto médio com frequência zero em cada uma 
das extremidades da escala horizontal. 
Setograma: Também conhecido como gráfico de pizza, é utilizado para representar os valores 
relativos (%). 
1. Fazemos um círculo. 
2. Cada Setor/Fatia é regido pela fórmula:  
Total
fi
Setor
.360

 
3. No círculo, distribuímos os valores das frequências percentuais. 
Ogiva de Galton: utilizado para representar as frequências acumuladas de uma distribuição, é 
construída assim: 
1. No eixo X (abscissas), colocamos as classes dos dados, como no histograma. 
2. No eixo Y (ordenadas), escrevemos uma das frequências acumuladas, marcando o ponto com 
os limites superiores (ls) de cada classe. Iniciamos com frequência zero e com limite inferior da 
1
a
 classe. 
Veja um exemplo: Numa cidade foram anotadas as idades de 64 pessoas aposentadas. Os dados 
obtidos estão dispostos no quadro a seguir: 
79 75 67 74 81 69 67 79 66 80 
64 57 67 65 90 64 77 80 58 
73 70 46 58 71 91 78 67 68 
73 71 78 72 76 43 84 47 81 
65 72 76 87 65 53 75 66 83 
95 58 90 51 73 72 78 69 78 
74 70 77 75 74 99 78 62 77 
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Pede-se: 
a) O rol. 
b) O número de classes, a amplitude total (AT) e amplitude do intervalo de classes (h). 
c) A tabela completa, com o limite inferior da primeira classe começando em 43. 
d) Os seguintes gráficos: histograma, polígono das frequências, ogiva de Galton e Setograma. 
Resolução: a) 
Idade Frequência(fi) Idade Frequência(fi) 
43 1 76 2 
46 1 77 3 
47 1 78 5 
51 1 79 2 
53 1 80 2 
57 1 81 2 
58 3 83 1 
62 1 84 1 
64 2 87 1 
65 3 90 2 
66 2 91 1 
67 4 95 1 
68 1 99 1 
69 2 TOTAL 64 
70 2 
71 2 
72 3 
73 3 
74 3 
75 3 
b) Estimaremos que a distribuição deverá ter: K= 
64
 = 8 classes, mais utilizamos 9 classes para 
inserir todos os elementos da amostra. Amplitude Total: AT = 99 – 43 = 56 - Amplitude do 
intervalo de classes: h = 56/8 = 7. 
c) 
Idade dos 
aposentados 
fi Pm fr fp fa 
 l L 
43 |----| 49 3 46 0,0468 4,68% 3 
50 |----| 56 2 53 0,0312 3,12% 5 
57 |----| 63 5 60 0,0781 7,81% 10 
64 |----| 70 16 67 0,25 25% 26 
71 |----| 77 19 74 0,2968 29,68% 45 
78 |----| 84 13 81 0,2031 20,31% 58 
85 |----| 91 4 88 0,0625 6,25% 62 
92 |----| 98 1 95 0,0156 1,56% 63 
99 |----| 105 1 102 0,0156 1,56% 64 
TOTAL 64 666 1,00 100% 
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Setograma: cada Setor/Fatia é regido pela fórmula: 
 
n
fi
Setor
.360

 
1ª classe: 43|--------| 49 >> 
o
setor = (360º . 3)/64 = 1080/64 = 16,87º 
2ª classe: 50|--------| 56 >> 
o
setor = (360º . 2)/64 = 720/64 = 11,25º 
3ª classe: 57|--------| 63 >> 
o
setor = (360º . 5)/64 = 1800/64 = 28,12º 
4ª classe: 64--------| 70 >> 
o
setor = (360º . 16)/64 = 5760/64 = 90,14º 
5ª classe: 71|--------| 77 >> 
o
setor = (360º . 19)/64 = 6840/64 = 106,87º 
6ª classe: 78|--------| 84 >> 
o
setor = (360º . 13)/64 = 4680/64 = 73,12º 
7ª classe: 85|--------| 91 >> 
o
setor = (360º . 4)/64 = 1440/64 = 22,5º 
8ª classe: 92|--------| 98 >> 
o
setor = (360º . 1)/64 = 360/64 = 5, 62º 
9ª classe: 99||--------| 105 >> 
o
setor = (360º . 1)/64 = 360/64 = 5, 62º 
SETOGRAMA/PIZZA
4,68%3,12%
7,81%
25,01%
29,69%
20,32%
6,25%
1,56%
1,56%
 
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Interpretação: Podemos notar pelo histograma, que na faixa de 64 a 77 anos há um pico, o qual indica 
a existência de maior número de aposentados nessa faixa – setograma de maior fatia. Se o objetivo do 
pesquisador é saber qual a faixa etária com mais pessoas aposentadas na cidade, há indícios de que 
será a faixa de 64 a 77 anos. 
E X E R C Í C I O S 
1) O faturamento de uma loja de brinquedos durante 40 semanas foi: 
28 27 18 15 20 19 17 18 
25 19 30 19 21 22 15 17 
25 17 20 25 23 19 25 20 
22 15 28 18 16 24 18 22 
19 20 18 15 19 19 18 19 
 
O gerente da loja deseja saber qual é a faixa do faturamento que se repete menos. Para isso determine: 
a) As classes. 
b) As frequências absolutas. 
c) As frequências acumuladas. 
d) O histograma e a ogiva. 
2) Numa fábrica foram tabulados os salários dos funcionários, resultando na tabela de distribuição de 
frequência a seguir. A amostra foi de 380 funcionários:Classe de salários mensais Número de funcionários 
 280 |------------ 320 150 
 320 |------------ 360 73 
 360 |------------ 400 40 
 400 |------------ 440 52 
 440 |------------ 480 36 
 480 |------------ 520 29 
TOTAL 380 
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13 
Pede-se : 
a) Complete o quadro acima, a partir do que foi estudado anteriormente. 
b) Elabore os quatro tipos de gráficos. 
3) Dado a tabela, construir um gráfico de setores 
 
Quantidade de vendas, em uma empresa de informática 
Tipo de vendas Percentual 
Computadores 35 
Softwares 23 
Assistência técnica 15 
Redes 14 
Outro serviços 13 
Total 100 
 
4) O gráfico abaixo representa o faturamento líquido de uma microempresa ao longo do 1º semestre de 
um ano. Entende-se por faturamento líquido o valor recebido pela empresa já descontadas todas as 
despesas. 
0
1
2
3
4
5
6
7
JAN FEV MAR ABR MAI JUN
Em
 10
00
 re
ais
 
a) Indique o mês de maior faturamento líquido e o valor correspondente. 
b) Quando ocorreu maior queda no faturamento? 
c) Indique o mês de menor faturamento líquido e o valor correspondente. 
d) Segundo o gráfico, a tendência de faturamento, após o mês de junho, da microempresa? 
 
5)(ENEM/2005) Moradores de três cidades, aqui chamadas de X, Y e Z, foram indagados quanto aos 
tipos de poluição que mais afligiam as suas áreas urbanas. Nos gráficos abaixo estão representados as 
porcentagens de reclamações sobre cada tipo de poluição ambiental. 
 
 
Considerando a queixa principal dos cidadãos de cada cidade, a primeira medida de combate a poluição 
em cada uma delas seria, respectivamente: R. (b) 
 
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14 
 X Y Z 
(A) Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle emissão de gases 
(B) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Esgotamento sanitário 
(C) Manejamento de lixo Esgotamento sanitário Controle de despejo industrial 
(D) Controle emissão de gases Controle de despejo industrial Esgotamento sanitário 
(E) Controle de despejo industrial Manejamento de lixo Controle emissão de gases 
 
6) (ENEM/2005) A escolaridade dos jogadores de futebol nos grandes centros é maior do que se 
imagina, como mostra a pesquisa abaixo, dos quatro principais clubes de futebol do Rio de Janeiro. 
 
De acordo com esses dados, o percentual dos jogadores dos quatro clubes que concluíram o Ensino 
Médio é de aproximadamente: R. (c) 
(A) 54% (B) 48% (C) 60% (D) 14% (E) 68% 
 
7)(ENEM/2005) Este gráfico representa o resultado de uma pesquisa realizada com 1.000 famílias 
com filhos em idade escolar: R. (c) 
 
Considere estas afirmativas referentes às famílias pesquisadas: 
I ) O pai participa da renda familiar em menos de 850 dessas famílias. 
II ) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar em mais de 500 dessas famílias. 
 
Então, é CORRETO afirmar que 
(A) nenhuma das afirmativas é verdadeira. 
(B) apenas a afirmativa I é verdadeira. 
(C) apenas a afirmativa II é verdadeira. 
(D) ambas as afirmativas são verdadeiras. 
 
 
 
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15 
MEDIDAS DE TENDÊNCIA CENTRAL OU MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
As médias, denominadas medidas de tendência central, são valores numéricos que representam 
o centro de um conjunto de dados ou uma seqüência numérica. Podem ser de vários tipos: média 
aritmética, média geométrica, mediana e moda. 
 
Média Aritmética Simples (dados não agrupados) 
 
É a medida utilizada com maior frequência, por implicar um cálculo extremamente simples. 
Consiste em adicionar os elementos e dividir a soma pelo número (n) de elementos adicionados. 
Numa seqüência de n elementos, temos a média, representada por 
x
 (“x barra”): x1, x2, x3, 
...xn. 
 
 
x
 = x1 + x2 + x3 + ... + xn 
 n 
 
Em notação somatório, a média é representada da seguinte forma: 
 
 
x
 = xi 
 n 
Exemplo 1: Imaginemos que, numa pesquisa sobre atividades físicas com mulheres de 5 faixas etárias, 
o resultado de uma amostra tenha sido: 
Quantos dias por semana andam a pé? 
16 a 20 anos 6 
21 a 25 anos 5 
26 a 29 anos 4 
30 a 33 anos 2 
34 a 37 anos 1 
Se, a partir da amostra, quisermos saber quantos dias por semana, em média as mulheres andam 
a pé, considerando como universo as mulheres de 16 a 37 anos, fazemos: 
 
x
 = 6 + 5 + 4 + 2 + 1 = 18 = 3,6 
5 5 
Então, em média, as mulheres de 16 a 37 anos andam a pé é 3,6 dias por semana, ou 4 dias, 
arredondando. 
 
Média Aritmética Ponderada 
Indicada por 
x
p difere da média aritmética vista anteriormente por apresentar multiplicações (que 
representam frequências, ponderações) indicando quantas vezes cada elemento se repete: 
 
x
p = (x1 . f1) + (x2 . f2) + .... + (xk . fk) 
 f1 + f2 + .... + fk 
Exemplo 2: Calcular a média aritmética ponderada das notas da turma de Administração na disciplina 
matemática, usando a amostra de 30 alunos. 
Nota (xi) 1 2 3 5 8 9 10 Total 
Número de repetições (fi) 1 6 5 2 7 3 6 30 
Xi . fi 1 12 15 10 56 27 60 181 
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16 
Note que nesta tabela de dados agrupados a soma de repetições é igual ao número total de elementos 
da amostra (n = 30). Aplicando a fórmula temos: 
 
x
p = 181 = 6,03 
 30 
Média Aritmética para dados agrupados em classes 
Quando, numa distribuição por freqüência, os dados estão agrupados em classes, são considerados 
coincidentes com os pontos médios das classes às quais pertencem. Para o cálculo da média aritmética, 
usaremos os produtos dos pontos médios pelas frequências de cada classe (pm . fi ). 
Exemplo 3: Seja a tabela que nos dá a altura (x) dos estudantes de uma classe de Ensino Fundamental: 
Altura x(cm) fi Pm 
li ls 
150 |---- 155 6 152,5 
155 |---- 160 9 157,5 
160 |---- 165 16 162,5 
165 |---- 170 5 167,5 
170 |---- 175 3 172,5 
175 |---- 180 1 177,5 
TOTAL 40 --- 
Pede-se: A partir da tabela, calcular a média aritmética. 
Solução: Completando a tabela, com a coluna Pm . fi, temos: 
Altura x(cm) fi Pm Pm . fi 
150 |---- 155 6 152,5 915,0 
155 |---- 160 9 157,5 1417,5 
160 |---- 165 16 162,5 2600,0 
165 |---- 170 5 167,5 837,5 
170 |---- 175 3 172,5 517,5 
175 |---- 180 1 177,5 177,5 
TOTAL 40 -------- 6465,0x
 = Pm . fi = 6465 = 161,625 
 fi 40 
Mediana para dados não agrupados 
 
A mediana corresponde ao valor que ocupa a posição central numa sequência de números e é 
representada por md. 
Na sequência numérica x1,x2,...xk,...xn, o elemento xk é a md se o número de elementos que o 
antecedem for igual ao número de elementos que o sucedem. 
 
Para obter a mediana, primeiro coloca a sequência numérica em ordem crescente ou 
decrescente. Depois, verificamos se a amostra é par ou ímpar e adotamos um dos procedimentos a 
seguir. 
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17 
 1
0
 caso. Se o número de elementos (n) for ímpar, a mediana corresponderá ao termo central da 
série. 
 
Exemplo 1: Calcular a mediana da sequência 2, 4, 1, 5 e 6. 
Resolução: fazemos o ordenamento: 1, 2, 4, 5 e 6 
Como o número de elementos é ímpar: Portanto, a mediana é: md = 4 
 
 2
0
 caso. Se o número de elemento (n) for par, a mediana, nesse caso, corresponde a media 
aritmética dos dois valores centrais: 
Exemplo 2 : Encontrar a mediana da seqüência 82; 79; 70; 20; 33; 46. 
Resolução: fazemos Ordenação 20; 33; 46; 70; 79; 82 
md = 46 + 70 = 58 
 2 
OBS.: Geralmente o valor da mediana é bem próximo da média aritmética, quando os valores são 
uniformes. 
 
Mediana para dados agrupados 
I – Calcula-se a ordem n/2. Como a variável é contínua, não se preocupe se n é par ou ímpar. 
II – Pela fa identifica-se à classe que contém a mediana (classe mediana). 
III – Utiliza-se à fórmula: 
 
 n 
 Md = li + 2 - faant . h 
 
 fi 
em que: li = limite inferior da classe mediana; 
 n = tamanho da amostra ou número de elementos; 
 faant = frequência acumulada anterior; 
 h = amplitude da classe; 
 fi = frequência absoluta da classe mediana. 
 
Exemplo 3: 
Dada a distribuição amostral, calcular a mediana. 
K Classes 
li ls 
fi fa 
1 35|----------45 5 5 
2 45|----------55 12 17 
3 55|----------65 18 35 a 29
o
 posição encontra-se nesta classe 
4 65|----------75 14 49 
5 75|----------85 6 55 
6 85|----------95 3 58 
 ------------------ 58 ---- 
Resolução: 
I – n/2 = 58/2 = 29o (posição) 
II – identificar a classe mediana: procura-se a posição 29o através da coluna fa. 
III – fazer o cálculo da mediana 
 
 md = 55 + (29-17) . 10 
 18 
 
 
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18 
 md = 55 + 12 . 10 
 18 
 
 md = 55+ 0,6667 . 10 
 
 md = 55 + 6,66  md = 61,66 
 
Moda para dados não agrupados 
A moda é o valor que apresenta maior frequência no conjunto de números em questão, ou seja, 
que se repete mais vezes. É representado por mo. 
 
Uma sequência de números pode não ter valor modal ou apresentar vários tipos de repetições, 
recebendo então várias denominações: 
 
 unimodal, quando um único valor se repete; 
por exemplo: { 1, 2, 3, 2}: a moda é 2 
 bimodal, quando dois valores se repetem (com a mesma freqüência); 
por exemplo: { 3, 2, 5, 4, 8, 2, 4}: a moda é 2 e 4. 
 multimodal, quando três ou mais valores se repetem (com a mesma freqüência). 
por exemplo: { 3, 6, 7, 6, 4, 5, 4, 3, 1}: a moda é 3, 4 e 6. 
 
Moda para dados agrupados 
I – Identifica-se a classe modal (aquela que possue maior frequência). 
II – encontrar os valores de 1 e 2, onde: 
 1 = fimodal – fianterior 
 2 = fimodal - fiposterior 
III – Aplica-se a fórmula: 
 
 mo = li + 1 . h 
 1 + 2 
Exemplo: 
Determine a moda para a distribuição a seguir: 
Classes fi 
0|-------1 3 
1|-------2 10 
2|-------3 17 
3|-------4 8 
4|-------5 5 
TOTAL 43 
Resolução: 
I – classe modal : 3a classe: 2 |---------3 
II - 1 = 17 – 10 = 7 
 2 = 17 – 8 = 9 
III – calculando a moda: 
 
 mo = 2 + 7 . 1 
 7 + 9 
 mo = 2 + [(7/16)] . 1 
 mo = 2 + [0,43750] . 1  mo = 2, 43750 aproximadamente 2,44 
 
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19 
E X E R C Í C I O S 
1) Calcule a média aritmética e a mediana dos elementos: 5, 3, 8,10,15. R. média = 8,2 e md = 8 
2) Calcule a média aritmética da turma de 18 alunos na prova de estatística: R. média = 7,5 
 
8,2 8,7 6,1 
7,5 5,6 7,3 
7,0 7,2 5,9 
7,8 8,0 6,5 
8,5 7,5 9,0 
9,0 7,4 7,8 
 3) A distribuição de frequência abaixo representa o número de carros que quatro revendedoras 
venderam durante 1 mês. Determine a média aritmética ponderada. R. 
x
p = 4,75 
número de carros vendidos por dia (Xi) 5 3 6 4 
fi 4 3 4 1 
4) Em 20 números, quatro são 2, três são 4, cinco é 1 e os restantes são 3. Ache: 
a) a tabela de frequência b) a média aritmética ponderada.R. 
x
p = 2,45 
5) Fornecemos a seguir uma distribuição de frequência do tempo em dias gasto por uma firma de 
contabilidade para completar auditorias de fim de ano. A distribuição de frequência dos tempos de 
auditoria está baseada em uma amostra de 20 clientes. Qual é o tempo médio, a mediana e a moda da 
amostra? R. média = 19; md = 18,75; mo = 17,85 
DISTRIBIÇÃO DE FREQUÊNCIA DOS TEMPOS DE 
AUDITORIA 
 Tempo de 
auditoria (dias) 
fi Pm Pm . fi fa 
10 |------| 14 4 
15 |------| 19 8 
20 |------| 24 5 
25 |------| 29 2 
30 |------| 34 1 
TOTAL 20 ------- ------- 
 
6) Calcule a mediana: 
a) 35; 98; 71; 2 ; 65 e 8 b) 8,2; 8,7; 4,1; 2,7; 3,3; 2,8 e 1,2 
R. md= 50 R. md = 3,3 
 
7) Ache a moda (se houver) de cada amostra: 
a) 2; 3; 6; 4 e 3 b) 2; 3; 2; 4; e 3 
R. mo = 3 R. mo = 2 e 3 
8) Considerando a distribuição abaixo, calcule a média aritmética ponderada: R. Xp = 5,4 
Xi 3 4 5 6 7 8 
fi 4 8 11 10 8 3 
9) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto é variável, mas que, ao longo de cinco 
meses, foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Calcule a média. R. média = 40 
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20 
 Classe Pm Frequência Pm . fi 
15|-----25 20 30 
25|-----35 30 45 
35|-----45 40 150 
45|-----55 50 4555|-----65 60 30 
TOTAL 
10) Os salários-hora de cinco funcionários de uma companhia são:R$75, R$90, R$83, R$142, $ 88. 
Determine: a) a média dos salários-hora; R. média = R$ 95,60 b) o salário-hora mediano. R. md = 
R$ 88,00 
11) A MKT Incons é uma empresa de consultoria em contabilidade e iniciou um trabalho de pesquisa 
para a TDI, que pretende lançar um novo produto no mercado brasileiro. Foram aplicadas algumas 
pesquisas de mercado para verificar o potencial de compra por parte da população. A tabela abaixo 
mostra os dados sobre uma amostra da população pesquisada, referente à renda familiar mensal (em 
salário mínimo): R. (a) 
 
Salário Mínimo Número de pesquisados 
(fi) 
 
0|-------5 734 
5|-------10 526 
10|-------15 205 
15|-------20 140 
20|-------25 60 
TOTAL 
 
Considerando os dados da tabela, podemos afirmar que: 
a) A média aritmética da amostra é um valor maior que 7 salários mínimos; 
b) O valor mediano está estimado entre 4 e 5 salários mínimos; 
c) A média aritmética da amostra está estimada entre 4 e 5 salários mínimos; 
d) O valor mediano da amostra é o um valor maior que 7 salários mínimos; 
 e) O valor mediano é maior que a média aritmética. 
Considere o texto a seguir para responder as questões 12, 13 e 14: 
Suponha que você seja contratado pela MKT Incons para desenvolver estratégias que visam ampliar a 
carteira de clientes, sua primeira reunião foi com os gerentes que reclamaram do número não suficiente 
de consultores para atender a atual carteira, ampliar seria a ação que poderia ocasionar a perda de 
atuais clientes em razão do não cumprimento dos prazos. Após a reunião você solicitou a sua secretária 
Srta. Rita um relatório contendo a carteira e o respectivo número de dias que foram utilizados para a 
realização dos trabalhos, após dois dias você recebe um e-mail: 
Segue abaixo, o relatório solicitado contendo o tempo (em dias), para completar consultorias. Esta 
tabela está baseada em uma amostra de 30 clientes de empresas de pequeno porte. 
Tempo de Consultoria Número de clientes (fi) 
10|-------14 4 
14|-------18 10 
18|-------22 6 
22|-------26 5 
26|-------30 3 
 30|-------34 2 
TOTAL 30 
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21 
12) Neste relatório você observou que o maior número de consultorias realizadas são completadas no 
período de 14 a 18 dias, conhecido como período modal. O valor exato da moda é: R. (e) 
a)38 dias b)14,6 dias c)16 dias d)2,4 dias e)16,4 dias 
13) Outra análise realizada foi calcular a porcentagem de consultorias que levaram vinte e seis dias ou 
mais para serem concluídas, sendo o valor correspondente a: R. (d) 
a) 83,33% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais; 
b) 33,33% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais; 
c) 86,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais; 
d) 16,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais; 
 e) 6,67% das consultorias são concluídas em vinte e seis dias ou mais. 
 14) Interprete (relate) a 4ª Classe da tabela. Resposta pessoal 
15) Este gráfico descreve a frequência das alturas dos recém-nascidos num mesmo dia, numa 
maternidade. 
 
 
 
Baseado no gráfico é CORRETO afirmar que a altura modal e a altura média das crianças são 
respectivamente iguais a: R. (d) 
 
(A) 48cm e 59,90cm 
(B) 51cm e 47,80cm 
(C) 49cm e 51,20cm 
(D) 47cm e 49,10cm 
(E) 47cm e 50,10cm 
 
16) Observe as alturas de 10 crianças nascidas num mesmo dia, numa maternidade. 
Criança Altura (cm) 
Mariana 52 
Jorge 48 
Paulo 51 
Mário 47 
Tarsila 47 
Priscila 51 
Silvana 53 
Alberto 47 
Vítor 47 
Ricardo 48 
 
 
 
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22 
Entre as alternativas abaixo a CORRETA em relação as alturas médias das meninas e dos meninos 
respectivamente é: R. (b) 
(A) 50,21cm e 46cm. 
(B) 50,75cm e 48cm. 
(C) 46cm e 50,28cm. 
(D) 50,75cm e 46cm. 
(E) 50,21cm e 50,75cm. 
 
17) Dissertativa: Baseado no problema da questão anterior: Interprete o percentual que a diferença 
entre as alturas médias das meninas e dos meninos representa em relação à altura média dos meninos. 
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________________ 
 
18) Os 40 alunos de uma turma fizeram uma prova de Estatística valendo 100 pontos. A nota média 
da turma foi de 70 pontos e apenas 15 dos alunos conseguiram a nota máxima. Seja M a nota média 
dos alunos que não obtiveram a nota máxima. Então, é CORRETO afirmar que o valor de M é : 
R. (d) 
 
(A) 53 (B) 50 (C) 51 (D) 52 (E) 48 
 
19) Durante um determinado mês de verão, os oito vendedores de uma firma de calefação central e ar-
condicionado venderam os seguintes números de unidades de ar-condicionado central: 8, 11, 5, 14, 
8, 11, 6. Considerando este mês como uma população estatística de interesse, o número médio de 
unidades vendidas é: R. (e) 
 
(A)18unidades (B)11unidades (C)8unidades (D)3unidades (E)9unidades 
 
20) Uma pesquisa da ONU estima que, já em 2008, pela primeira vez na história das civilizações, a 
maioria das pessoas viverá na zona urbana. O gráfico a seguir mostra o crescimento da população 
urbana desde 1950, quando essa população era de 700 milhões de pessoas, e apresenta uma previsão 
para 2030, baseada em crescimento linear no período de 2008 a 2030. 
 
 
De acordo com o gráfico, a população urbana mundial em 2020 corresponderá em média, 
aproximadamente, a quantos bilhões de pessoas? R. 4,25 bilhões 
 
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23 
SEPARATRIZES 
Além das medidas de posição que estudamos, há outras que, consideradas individualmente, não 
são medidas de tendência central, mas estão ligadas à mediana relativamente à sua característica de 
separar a série em duas partes que apresentam o mesmo número de valores. 
Vejamos então, alguns quantis e seus nomes específicos: o quartil, o decil e o percentil - são, 
juntamente com a mediana, conhecida pelo nome genérico de separatrizes. 
QUARTIL 
Denominamos quartis os valores de uma série que a dividem em quatro partes iguais. 
Precisamos, portanto de 3 quartis (Q1 , Q2 e Q3 ) para dividir a série em quatro partes iguais. 
0% 25% 50% 75% 100% 
 | | | | | 
 Q1 Q2 Q3 
Obs: O quartil 2 ( Q2 ) sempre será igual à mediana da série. 
Quartis em dados não agrupados 
O método mais prático é utilizar o princípio do cálculo da mediana para os 3 quartis. Na realidade serão 
calculadas "3 medianas" em uma mesma série. 
Exemplos:1) Calcule os quartis da série: {5, 2, 6, 9, 10, 13, 15} 
O primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: 
{2, 5, 6, 9, 10, 13, 15} 
O valor que divide a série acima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9 que será = Q2. 
Temos agora {2, 5, 6} e {10, 13, 15} como sendo os dois grupos de valores iguais proporcionados pela 
mediana (quartil 2). Para o calculo do quartil 1 e 3 basta calcular as medianas das partes iguais 
provenientes da verdadeira Mediana da série (quartil 2). 
Logo em {2, 5, 6} a mediana é = 5. Ou seja: será o quartil 1 
em {10, 13, 15 } a mediana é =13 . Ou seja: será o quartil 3 
2) Calcule os quartis da série: {1, 1, 2, 3, 5, 5, 6, 7, 9, 9, 10, 13} 
A série já está ordenada, então calcularemos o Quartil 2 = md = (5+6)/2 = 5,5 
O quartil 1 será a mediana da série à esquerda de md : {1, 1, 2, 3, 5, 5} 
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24 
Q1 = (2+3)/2 = 2,5 
O quartil 3 será a mediana da série à direita de md : {6, 7, 9, 9, 10, 13} 
Q3 = (9+9)/2 = 9 
Quartis em dados agrupados 
Determinação de Qi 1
0
 passo: calcula-se (i . n) /4 
2
0
 passo: identifica-se a classe Qi pela Fa. 
3
0
 passo: aplica-se a fórmula: 
 i .n - faant 
 Qi = li + 4 . h 
 fi 
Determinação de Q3: 1
0
 passo: calcula-se (3 . n) /4 
2
0
 passo: identifica-se a classe Q3 pela Fa. 
3
0
 passo: aplica-se a fórmula: 
 3 . n - faant 
 Qi = li + 4 . h 
 fi 
em que: i = 1, 2, 3 
li = limite inferior da classe encontrada 
h = amplitude do intervalo 
faant = frequência acumulada anterior à da classe 
fi = frequência absoluta da classe encontrada 
DECIL 
A definição dos decis obedece ao mesmo princípio dos quartis, com a modificação da 
porcentagem de valores que ficam aquém e além do decil que se pretende calcular. Indicamos os decis: 
D1, D2, ... , D9. Deste modo precisamos de 9 decis para dividir uma série em 10 partes iguais. 
 0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100% 
 | | | | | | | | | | | 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
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25 
De especial interesse é o quinto decil, que divide o conjunto em duas partes iguais. Assim sendo, o 
quinto decil é igual ao segundo quartil, que por sua vez é igual à mediana. 
Neste caso também é semelhante as separatrizes anteriores . Ei-la: 
1
0
 passo: calcula-se (i . n) /10, em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 
2
0
 passo: identifica-se a classe Di pela Fa. 
3
0
 passo: aplica-se a fórmula: 
 i . n - faant 
 Di = li + 10 . h 
 fi 
PERCENTIL 
Denominamos percentis ou centis como sendo os noventa e nove valores que separam uma série em 
100 partes iguais. Indicamos: P1, P2, ... , P99. É evidente que P50 = Md ; P25 = Q1 e P75 = Q3. 
O cálculo de um centil segue a mesma técnica do cálculo da mediana, porém a fórmula será : 
 0% 1% 2% 3%.................... 50%....................97% 98% 99% 100% 
 | | | | | | | | | 
 P1 P2 P3 P50 P97 P98 P99 
O cálculo de um percentil é dado por: 
1
0
 passo: calcula-se (i . n) /100 em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8............,98, 99. 
2
0
 passo: identifica-se a classe Pi pela fa. 
3
0
 passo: aplica-se a fórmula: 
 i.n - faant 
 Pi = li + 100 . h 
 fi 
EXEMPLOS: 
1) Dada a distribuição, determinar os quartis (Q1 e Q3), a mediana e a moda. 
K Classes fi pm fi . pm fa 
1 7|----------17 6 12 72 6 
2 17|----------27 15 22 330 21 ←Classe Q1 
3 27|----------37 20 32 640 41 ←Classe Md 
4 37|----------47 10 42 420 51 ←Classe Q3 
5 47|----------57 5 52 260 56 
∑ 56 --- 1722 --- 
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26 
Resolução: 1
0
 passo: n = 56 
Q1=? md= ? Q3 = ? 
n/4 = 56/4 = 14
0
 n/2 = 56/2 = 28
0
 3n/4
 
= (3 . 56) / 4 = 42
0 
2
0
 passo: Pela fa identifica-se a classe Q1, classe Md e classe Q3 
3
0
 passo: Para Q1 temos : li = 17, n = 56, faant = 6, h = 10, fi = 15 
Para Md temos: li = 27, n = 56, faant = 21, h= 10, fi = 20 
Para Q3 temos : li =37, n = 56, faant = 41, h= 10, fi = 10 
 1 . 56 - 6 
 Q1 = 17 + 4 .10 = 22,33 
 15 
 56 - 21 
 Md = 27 + 2 .10 = 30,5 
 20 
 3 . 56 - 41 
 Q3= 37 + 4 .10 = 38 
 10 
 
x
 = fi . pm = 1 722 = 30,75 
 fi 56 
 mo = ? 
 1 = 20 – 15 = 5; 2 = 20 – 10 = 10 
 
 
 mo = 27 + 5 .10 
 5 + 10 
 
 
 mo = 27 + 5 .10 
 15 
 
 mo = 27 + [0,33 .10] 
 mo = 27 + 3,33 = 30,33 
Diante desses resultados,pode-se afirmar que: 22,33 deixa 25% dos elementos; 30,5 deixa 50% dos 
elementos; 38 deixa 75% dos elementos. 
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27 
2) Calcular o 4
0
 decil e o 72
0
 percentil da seguinte distribuição: 
K Classes fi fa 
1 4|-----------9 8 8 
2 9|----------14 12 20 ←Classe D4 
3 14|----------19 17 37 ←Classe P72 
4 19|----------24 3 40 
∑ 40 -------- 
Resolução: 
Cálculo do D4 : Cálculo do P72 : 
1
0
 passo: 
in/10 = (4 . 40)/10 = 16
0 
in/100 = (72 . 40)/100 = 28,8
0 
2
0
 passo: 
Identifica-se a classe D4 e P72 pela fa 
Para D4: li = 9; faant = 8; n = 40; h = 5; fiD4 = 12 
 4 . 40 - 8 
D4 = 9 + 10 . 5 = 12,33 
 12 
Para P72: li = 14; faant = 20; n = 40; h = 5; fiP72 = 17 
 72 . 40 - 20 
P72= 14 + 100 . 5 = 16,59 
 17 
Portanto, nesta distribuição o valor 12,33 divide a amostra em duas partes: uma com 40% dos 
elementos e a outra com 60% dos elementos. O valor 16,59 indica que 72% da distribuição estão 
abaixo dele 28% acima. 
E X E R C Í C I O S 
1) Imagine que a margem de lucro na venda de um produto é variável, mas que, ao longo de seis 
meses, foram registrados os valores apresentados na tabela abaixo. Pede-se: o sexto decil e o trigésimo 
percentil. R. D6 = 43 e P30 = 36,5 
Classes fi fa 
15|---------25 30 
25|---------35 45 
35|---------45 150 
45|---------55 45 
55|---------65 30 
65|---------75 25 
TOTAL 325 ------ 
 
 
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28 
2)Calcule o 1
0
quartil, o 3
0
decil e o 90
0 
percentil da distribuição de frequência a seguir: R. Q1 = 27,081; 
D3 = 27,486 e P90 = 33,375 
 
K Classes fi fa 
1 18-----------|21 1 
2 21-----------|24 4 
3 24-----------|27 19 
4 27-----------|30 37 
5 30-----------|33 28 
6 33-----------|36 8 
7 36-----------|39 3 
Total 100 -------- 
3) A tabela a seguir contém rendimentos anuais dos funcionários administrativos de uma empresa (em 
reais). Observe – a e encontre: a) Q1; R. 6.825,00 b) D3; R. 7093,75 c)P35; R. 7296,87 
K Classes fi Fa 
1 5000--------|6000 8 
2 6000--------|7000 10 
3 7000--------|8000 16 
4 8000--------|9000 14 
5 9000-------|10000 10 
6 10000-----|11000 5 
7 11000-----|12000 2 
Total 65 -------- 
 
4)Dada a distribuição de frequência a seguir, pede-se: determinar o 1º e o 3º quartis. R. Q1 = R$ 630 
Q3 = R$ 873 
K CUSTOS (R$) fi Fa 
1 450|--------550 8 
2 550|--------650 10 
3 650|--------750 11 
4 750|--------850 16 
5 850|--------950 13 
6 950|--------1050 5 
7 1050|-------1150 1 
 Total 64 
5) Pra a distribuição do exercício anterior, determinar o 20º percentil. R. P20 = R$ 598 
6) A pontuação nos testes de 15 empregados envolvidos em um curso de treinamento está disposta a 
seguir: 13 9 18 15 14 21 7 10 11 20 5 18 37 16 17. Obtenha: o primeiro, o segundo e 
terceiro quartil da pontuação dos testes. R. Q1 = 10; Q2 = 15 e Q3 = 18 
 
 
 
 
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29 
MEDIDAS DE DISPERSÃO 
Desvio Médio 
Poder-se-ia, por exemplo, calcular a distância que separa cada dado Xi da média x e 
estabelecer a média de todos os valores. 
Tomando os valores absolutos. Obtém-se, assim, o desvio médio. 
Para dados não agrupados: Para dados agrupados : 
 Dm= | Xi - x | Dm = | Xi - x | . fi 
 n n 
OBS.: Para calcular o desvio médio em dados agrupados utiliza-se a fórmula que determina a média 
aritmética ponderada: 
Exemplo: 
Determine o desvio médio para o seguinte conjunto de números: 2, 4, 6, 8, 10 
Solução: 
Determinamos a média: 
x
 = 2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 6 
 5 
Determinamos as diferenças: | Xi - 
x
 | = |2-6| + |4-6| + |6-6| + |8-6| + |10-6| = |-4| + |-2| + |2| + |4| =12 
Desvio médio Dm = | Xi - 
x
 | = 12 = 2,4 
 n 5 
Variância da amostra 
Define-se a variância, e representa-se por S
2
, como sendo à medida que se obtém somando os 
quadrados dos desvios das observações da amostra, relativamente à sua média, e dividindo pelo 
número de observações da amostra menos um. 
Para calcular a variância dados não agrupados Para calcular a variância dados agrupados 
 S
2
 = | Xi - x |
2
 
 n - 1 
Exemplo: Calcule a variância da amostra: 2, 4, 6, 8, 10 
Solução: Já vimos que a média é: 
x
 = (2 + 4 + 6 + 8 + 10 )/5 = 6 
Eis os cálculos necessários: 
S
2
 = | Xi - x |
2 
.
 
fi 
 
 n - 1 
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30 
Xi |Xi - 6 | |Xi – 6 |
2
 
2 |-4| 16 
4 |-2| 4 
6 |0 | 0 
8 |+2| 4 
10 |+4| 16 
30 12 40 
S
2
 = | Xi - x |
2
 = 40 = 10 
 n - 1 5 - 1 
 
Desvio Padrão Amostral 
 
Uma vez que a variância envolve a soma de quadrados, a unidade em que se exprime não é a 
mesma que a dos dados. Assim, para obter uma medida da variabilidade ou dispersão com as mesmas 
unidades que os dados, nada mais é que a raiz quadrada da variância e obtemos o desvio padrão: 
O desvio padrão é uma medida que só pode assumir valores não negativos e quanto maior for, 
maior será a dispersão dos dados. Algumas propriedades do desvio padrão, que resultam 
imediatamente da definição, são: 
 o desvio padrão é sempre não negativo e será tanto maior, quanta mais variabilidade houver 
entre os dados. 
 se s = 0, então não existe variabilidade, isto é, os dados são todos iguais. 
 S = 
2s
 
Calcule o desvio padrão da amostra do exemplo anterior 
Solução: S = 
10
  S = 3,162278 aproximadamente 3,2 
Coeficiente de variação 
Trata-se de uma medida relativa de dispersão útil para a comparação em termos relativos do grau de 
concentração em torno da média de séries distintas e é expresso em porcentagens. É dado por: 
 CV = S .100 
 
x
 
Para o exemplo anterior: 
Solução: CV = (3,2 /6) . 100  CV= 53,33% 
Diz-se que a distribuição possui pequena variabilidade (dispersão) quando o coeficiente der até 10%; 
média dispersão quando estiver acima de 10% até 20%; e grande dispersão quando superar 20%. 
 
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31 
2) Determinar o desvio médio (dm), a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da 
distribuição amostral a seguir: 
Solução: Primeiramente calculamos a média aritmética ponderada: 
x
 = xi . fi = 106 = 5,88 aproximadamente 5,9 
 n 18 
X fi Xi . fi |dm| = | Xi – 
x
 | . fi S
2
 = |Xi – 
x
|
2
 . fi 
3 5 15 3 – 5,9 = |-2,9| . 5 = 14,5 |-2,9|2 = 8,41 . 5 = 42,05 
4 2 8 4 – 5,9 = |-1,9| . 2 = 3,8 |-1,9|2 = 3,61 . 2 = 7,22 
6 4 24 6 – 5,9 = |0,1| . 4 = 0,4 |0,1|2 = 0,01 . 4 = 0,04 
7 2 14 7 – 5,9 = |1,1| . 2 = 2,2 |1,1|2 = 1,21 . 2 = 2,42 
9 5 45 9 – 5,9 = |3,1| . 5 = 15,5 |3,1|2 = 9,61 . 5 = 48,05 
 18 106 36,4 99,78 
Desvio médio: dm = |dm| . fi = 36,4 = 2,02 
 n 18 
Variância: S
2 
 = |Xi – 
x
 |
2
 . fi = 99,78 = 99,78 = 5,87 
 n - 1 18 – 1 17 
Desvio Padrão: S = 
2s
  S = 
87,5
 
  S = 2,43 
Coeficiente de variação: CV = S . 100 = 2,43 . 100 = 243 = 41,18% 
 
x
 5,9 5,9 
E X E R C Í C I O S 
1) Determine o desvio médio para o conjunto de valores: 1, 2, 3, 4, 5 R. Dm = 1,2 
2) Calcule a variância e o desvio padrão da amostra: 2, 5, 10, 5, 2 R. S2 = 10,7 e S = 3,27 
3) Calcular o desvio-médio, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação da seguinte 
distribuição amostral: R. Dm = 1,2; S2 = 2,85; S = 1,69 e CV = 20,96% 
Xi fi 
5 2 
7 3 
8 5 
9 4 
11 2 
 16 
 
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32 
4)Calcule a variância para os dados do Conjunto A: 4, 6, 4, 6, 5, 5. R. S2 = 0,8 
5) Os preços para a amostra de 6 modelos básicos de máquinas de café são apresentados a seguir 
(Consumer Reports 1995 Buying Guide). R. a) Dm = 9; b) S2 =138,4; c) S = 11,76; d) CV = 40,56% 
Modelo Preço($) 
Mr. Coffee PR12A 27 
Krups 50 
Proctor 42301 20 
Black & Decker 901 22 
Black & Decker 900 20 
West Bend 35 
Determine: 
a) o desvio médio b)a variância c)o desvio padrão d) o coeficiente de variação 
6) Os dados da tabela abaixo representam a amostra para os dados de salários-inicias dos funcionários 
de uma determinada empresa. 
Salário Mensal(xi)(R$) Fi 
350,00 2 
450,00 4 
250,00 3 
380,00 1 
255,00 2 
Determine: 
a) a média b) o desvio médio c)a variância d) o desvio padrão 
R. a) média = 345,00 b) Dm = 77,5 c) S
2
 = 8059,09 d) S = 89,77 
 
7) Dada a tabela abaixo: 
Xi fi 
4 2 
2 4 
6 3 
3 2 
Total 11 
 
CALCULAR: 
a) o desvio-médio R. 1,42 
b) a variância R. 2,85 
c) o desvio-padrão R. 1,68 
d) o coeficiente de variação R. 46,28% 
 
8) Para o conjunto de números {3, 5, 2, 4}, determinar: 
a) a média R. 3,5 
b) o desvio-médio R. 1 
c) a variância R. 1,66 
d) o desvio-padrão R. 1,28 
 
9) A altura média dos homens que trabalham em uma empresa é 1,80m, com desvio-padrão 1,40m e a 
altura média das mulheres é 1,60m com desvio-padrão 1,30m. Determine o coeficiente de variação 
para a altura dos homens e para altura das mulheres. R. CVh = 77,77% e CVm = 81,25% 
 
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REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS 
 
BEARZOTI, E.; OLIVEIRA, M. S. de. Estatística Básica. Apostila da Graduação da UFLA. 1998. 
CRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil – 17ª edição – São Paulo: Saraiva, 2002. 
FARHAT, Cecília Aparecida Vaiano – Introdução a Estatística Aplicada – S. Paulo: FTD. 1998 - 
(coleção ensino técnico). 
GUERRA, M. J.; DONAIRE, D. Estatística Indutiva: Teoria e Aplicações. Livraria Ciência e 
Tecnologia Editora, São Paulo: 1984. 
IEZZI, G.E Outros – Fundamentos da Matemática Elementar – Vols 1 e 2 – Atual Editora, 1993. 
MARTINS, G. de A. ; DONAIRE, D. Princípios de Estatística. Editora Atlas, São Paulo: 1991. 
Medeiros e Outros – Matemática para os cursos de Administração, Economia e Ciências Contábeis. 
Volume 1 - Editora Atlas – 5ª edição –SP. 
NAZARETH, R. de S. Helena da – Curso Básico de Estatística. 4a ed., Ed. Ática, São Paulo:1991. 
NERY, Chico E Totta, Fernando – Matemática Curso Completo – Editora Moderna ,1994 – SP. 
SILVA, Luiza Maria O. da; MACHADO, Maria Augusta S. – Matemática Aplicada à Administração, 
Economia e Contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2010. 
VIEIRA, S.; WADA, R. Estatística – Introdução Ilustrada. 2a ed., Editora Atlas, São Paulo: 1988. 
TAN, S. T. matemática aplicada à Administração e Economia – 5ª edição. São Paulo: Thomson 
Learning, 2001. 
 
 
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ESTATISTICA - GRADE: 2º SEMESTRE/2013 
CURSO: ADM. EM RH - 2º Semestre 
Carga Horária Semanal 04 – Carga Horária Semestral 68 horas 
O aluno poderá ter no máximo 25% de faltas durante o semestre 
 
EMENTA 
Apresentar uma introdução aos princípios gerais da estatística. Estatística Descritiva: Distribuição de 
Frequência, Classes, Amplitude de Classes (intervalos). Medidas de Tendência Central, Medidas de 
Dispersão. 
OBJETIVO 
 O aluno deverá estar apto a resolver problemas da vida prática: Pesquisar, Coletar, classificar, analisar dados 
e informações. Identificar os problemas e resolvê-los com as ferramentas do cálculo estatístico (fórmulas, 
tabelas, gráficos, planilhas), método prático: utilizando o raciocínio lógico-matemático, aplicando os conceitos 
estatísticos na economia e em outras disciplinas, possibilitando maior acuidade nos processos decisórios e na 
análise dos resultados dos diversos nichos de negócios no âmbito da Adm. em Recursos Humanos. 
Conteúdo 
1. Apresentação do Conteúdo: Introdução à Estatística; Gráficos 
2. Distribuição de Frequência; 
3. Gráficos: Histograma e Polígono de Frequência, Polígono de Frequência Acumulada; 
4. Medidas de Tendência Central: Média Aritmética, Moda e Mediana; 
5. Separatrizes: Quartil, Decil e Percentil; 
6. Medidas de Dispersão: Desvio Médio, Variância, Desvio Padrão e Coeficiente de Variação; 
 
METODOLOGIA DE ENSINO 
A metodologia de ensino consiste em aulasexpositivas, durante as quais são apresentados e discutidos os 
conceitos, exercícios e suas aplicações principalmente na área econômica, busca-se a participação contínua do 
corpo discente, visando dinamizar as aulas práticas e consolidar os conceitos, além de permitir avaliar o grau 
da aprendizagem e absorção do discente em relação ao conteúdo ministrado. 
SISTEMA DE AVALIAÇÃO 
Sistema de Avaliação: A avaliação do aproveitamento do aluno é realizada por meio de três 
instrumentos de avaliação, como Av1, Av2 e Av3. A avaliação é expressa por nota(s) 
representadas numericamente, em escala de 0 (zero) a 10 (dez). As avaliações Av1, Av2, 
Av3, prova escrita sem consulta e individual.  Média de aprovação ≥ 6 
 
 Média = soma das duas maiores notas entre: Av1, Av2 e Av3 
 2 
 
 Além da nota mínima, o aluno tem que apresentar frequência mínima de 75% (setenta e 
cinco por cento). 
 - Avaliação substutiva será aplicada mediante concessão do regime domiciliar deferido e expedido pela 
Secretaria. 
BIBLIOGRAFIA BÁSICA 
Fonseca, Jairo Simon da. Estatística Aplicada . Atlas. 1989. 
Morettin, Pedro A.Estatística Básica. São Paulo. Saraiva, 2002. 
Crespo, Antonio Arnot. Estatística Fácil. São Paulo. Saraiva, 2002. 
Martins, Gilberto de Andrade. Estatística Geral e Aplicada. São Paulo, Atlas, 2002. 
Silva, Ermes Medeiros da. Estatística para os Cursos de Economia, Administração e Ciências Contábeis. São 
Paulo, Atlas, 1997.