Lista_2_Ariane

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Universidade Federal de Viçosa
Centro de Ciências Exatas e Tecnológicas
Departamento de Matemática
Segunda Lista de Exerćıcios - Equações Diferenciais Ordinárias I - 2025/I
Estes exerćıcios foram selecionados pela professora Ariane, que gentilmente forneceu tal seleção. Lista
atualizada em 28 de fevereiro de 2025. Tais exerćıcios podem ser encontrados no livro.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de
Contorno. Rio de Janeiro: Guanabara Koogan, Livros Técnicos e Cient́ıficos, 9a edição, 2010.
1) Resolva as equações a seguir.
(a) x2y′′ + 2xy′ − 1 = 0, x > 0
(b) xy′′ + y′ = 1, x > 0
(c) y′′ + x(y′)2 = 0
(d) 2x2y′′ + (y′)3 = 2xy′, x > 0
(e) y′′ + y′ = e−x
(f) x2y′′ = (y′)2, x > 0
(g) yy′′ + (y′)2 = 0
(h) y′′ + y = 0
(i) y′′ + y(y′)3 = 0
(j) 2y2y′′ + 2y(y′)2 = 1
(k) yy′′ − (y′)3 = 0
(l) y′′ + (y′)2 = 2e−y
(m) y′′ − 3y2 = 0, y(0) = 2, y′(0) = 4
2) Encontre a solução geral da equação diferencial dada.
(a) y′′ + 2y′ − 3y = 0
(b) 6y′′ − y′ − y = 0
(c) y′′ + 5y′ = 0
(d) 4y′′ − 9y = 0
3) Em cada item encontre a solução do problema de valor inicial dado.
(a) 6y′′ − 5y′ + y = 0, y(0) = 4 e y′(0) = 0
(b) y′′ + 8y′ − 9y = 0, y(1) = 1 e y′(1) = 0
(c) 4y′′ − y = 0, y(−2) = 1 e y′(−2) = −1
4) Encontre uma equação diferencial cuja solução geral seja dada por y(x) = c1e
2t + c2e
−3t.
5) Considere o problema de valor inicial
2y′′ + 3y′ − 2y = 0, y(0) = 1, y′(0) = β,
em que β > 0.
(a) Resolva o problema de valor inicial.
(b) Faça o gráfico da solução quando β = 1. Encontre as coordenadas (x0, y0) do ponto de mı́nimo da
solução neste caso.
(c) Encontre o menor valor de β para o qual a solução não possui ponto de mı́nimo.
6) Considere a equação ay′′ + by′ + cy = d, em que a, b, c e d são constantes.
(a) Encontre todas as soluções de equiĺıbrio, ou constantes desta equação diferencial.
1
(b) Denote por ye uma solução de equiĺıbrio e seja Y = y − ye. Então Y é o desvio de uma solução y
da solução de equiĺıbrio. Encontre a equação diferencial satisfeita por Y.
7) Considere a equação diferencial ay′′+ by′+ cy = 0, em que a, b e c são constantes, com a > 0. Encontre
condições sobre a, b e c para que as ráızes da equação caracteŕıstica sejam:
(a) reais, diferentes e negativas;
(b) reais com sinais opostos;
(c) reais, diferentes e positivas.
8) Em cada um dos casos a seguir, encontre o Wronskiano das duas funções dadas.
(a) y1(x) = e2x e y2(x) = e−
3x
2
(b) y1(x) = e−2x e y2(x) = xe−2x
(c) y1(x) = ex sen(x) e y2(x) = ex cos(x)
(d) y1(x) = cos2(x) e y2(x) = 1 + cos(2x)
9) Sem resolver a equação diferencial dada, encontre o maior intervalo em que o problema de valor inicial
dado certamente possui uma única solução duas vezes diferenciável.
(a) xy′′ + 3y = x, y(1) = 1 e y′(1) = 2
(b) (x− 1)y′′ − 3xy′ + 4y = sen(x), y(−2) = 2 e y′(−2) = 1
(c) x(x− 4)y′′ + 3xy′ + 4y = 2, y(3) = 0 e y′(3) = −1
(d) y′′ + (cos(x))y′ + 3(ln |x|)y = 0, y(2) = 3 e y′(2) = 1
(e) (x− 3)y′′ + xy′ + (ln |x|)y = 0, y(1) = 0 e y′(1) = 1
(f) (x− 2)y′′ + y′ + (x− 2)(tg(x))y = 0, y(3) = 1 e y′(3) = 2
10) Verifique que y1(x) = x2 e y2(x) =
1
x
são soluções da equação diferencial x2y′′−2y = 0, para todo x > 0.
Depois mostre que y(x) = c1x
2 + c2
1
x
também é uma solução da equação diferencial, para quaisquer
constantes c1 e c− 2.
11) Verifique que y1(x) = 1 e y2(x) =
√
x são soluções da equação diferencial yy′′ + (y′)2 = 0, para todo
x > 0. Em seguida mostre que y(x) = c1 + c2
√
x não é, em geral, solução da mesma equação. Explique
o que há de diferente entre este exerćıcio e o anterior.
12) Mostre que, se y = ϕ(x) é uma solução da equação diferencial y” + p(x)y′ + q(x)y = g(x), em que g(x)
não é identicamente nula, então y = ϕ(x), em que c é qualquer constante diferente de 1, não é solução.
13) A função sen(x2) pode ser solução, em um intervalo contendo x = 0, de uma equação da forma
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = 0, em que os coeficientes são funções cont́ınuas? Explique.
14) Se W [f, g](x) = 3e4x e f(x) = e2x, encontre g(x).
15) Se W [f, g] é o Wronskiano de f e g e se u = 2f − g e v = f + 2g, encontre o Wronskiano W [u, v] de u
e v, em função de W [f, g].
16) Se o Wronskiano de f e g é W [f, g](x) = x cos(x) − sen(x) e se u = f + 3g, v = f − g, encontre o
Wronskiano de u e v.
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17) Suponha que y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções de y′′ + p(x)y′ + q(x)t = 0 e sejam
y3 = a1y1 + a2y2, y4 = b1y1 + b2y2, em que a1, a2, b1 e b2 são constantes arbitrárias. Mostre que
W [y3, y4] = (a1b2 − a− 2b1)W [y1, y2].
Podemos afirmar que y3 e y4 também formam um conjunto fundamental de soluções da equação dife-
rencial?
18) Verifique se as funções y1(x) = x e y2(x) = sen(x) formam um conjunto fundamental de soluções da
equação diferencial
(1− x cotg(x))y′′ − xy′ + y = 0, 0 0.
(a) x2y′′ + xy′ + y = 0
(b) x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0
(c) x2y′′ + 3xy′ − 3y = 0
3
28) Encontre a solução geral de cada uma das seguintes equações diferenciais.
(a) y′′ − 2y′ + y = 0
(b) 9y′′ + 6y′ + y = 0
(c) 4y′′ + 17y′ + 4y = 0
29) Resolva cada um dos problemas de valor inicial
(a) 9y′′ − 12y′ + 4y = 0, y(0) = 2, y′(0) = −1
(b) y′′ − 6y′ + 9y = 0, y(0) = 0, y′(0) = 2
30) Considere o problema de valor inicial
y′′ − y′ +
1
4
y = 0, y(0) = 1, y′(0) = b.
Encontre a solução em função de b e depois determine o valor cŕıtico de b que separa as soluções que
crescem positivamente das que acabam crescendo em módulo, mas com valores negativos.
31) Em cada um dos casos a seguir, é dada uma equação diferencial e uma solução y1(x) da mesma.
Determine a solução geral de cada uma delas.
(a) x2y′′ − 4xy′ + 6y = 0, y1(x) = x2, x > 0.
(b) x2y′′ + 3xy′ + y = 0, y1(x) =
1
x
, x > 0.
(c) xy′′ − y′ + 4x3y = 0, y1(x) = sen(x2), x > 0.
(d) x2y′′ + xy′ +
(
x2 − 1
4
)
y = 0, y1(x) =
sen(x)���
x
, x > 0.
32) Sejam n um número inteiro não negativo e a equação diferencial xy′′ − (x+ n)y′ + ny = 0.
(a) Mostre que y1(x) = ex é uma solução.
(b) Mostre que uma segunda solução tem a forma y2(x) = cex
∫
xne−xdx. Calcule y2(x) para n = 1 e
n = 2. É posśıvel mostrar que c = − 1
n!
e
y2(x) = 1 + x+
x2
2!
+
x3
3!
+ · · ·+ xn
n!
,
que corresponde às (n+ 1) primeiras parcelas da série de Taylor da funçãoexponencial.
33) Considere a equação diferencial y′′ + δ(xy′ + y) = 0. Mostre que y1(x) = e−δx2/2 é uma solução da
equação. Encontre a solução geral desta equação diferencial.
34) Em cada caso a seguir, encontre a solução geral.
(a) y′′ − 2y′ − 3y = 3e2t
(b) y′′ + 9y = x2e3x + 6
(c) u′′ + ω2
0u = cos(ωx), ω ̸= ω0
(d) y′′ + y′ + 4y = 2 senh(x)
4
35) Determine a solução do problema de valor inicial
y′′ + y′ − 2y = 2x, y(0) = 0, y′(0) = 1.
36) Determine uma forma adequada para uma solução particular para cada uma das equações diferenciais
a seguir.
(a) y′′ + 3y′ = 2x4 + x2e−3x + sen(3x)
(b) y′′ − 5y′ + 6y = ex cos(2x) + e2x(3t+ 4) sen(t)
(c) y′′ + 4y = x2 sen(2x) + (6x+ 7) cos(2x)
(d) y′′ + 3y′ + 2y = ex(x2 = 1) sen(2x) + 3e−x cos(t) + 4ex
37) Considere a equação diferencial y′′ − 3y′ − 4y = 2e−x.
(a) Mostre que y1(x) = e−x e y2(x) = e4x são soluções da equação diferencial homogênea associada.
(b) Busque uma solução da equação não homogênea da forma Y (x) = v(x)y1(x) e mostre que v satisfaz
v′′ − 5v′ = 2.
(c) Resolva a equação em v dada no item anterior.
(d) Determine Y (x).
38) Utilize o método de variação de parâmetros para determinar a solução geral de cada uma das equações
a seguir
(a) y′′ = 2y′ + y = 3e−x
(b) y′′ + y = tg(x), 0 0
(d) 4y′′ + y = 2 sec(x/2), −π 0, y1(x) = x2, y2(x) =
1
x
(b) x2y′′ − 3xy′ + 4y = x2 ln(x), x > 0, y1(x) = x2, y2(x) = x2 ln(x)
40) Mostre que a solução da equação diferencial de valor inicial
L[y] = y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x), y(x0) = y0, y′(x0) = y′0
pode ser escrita como y(x) = u(x)+ v(x), em que u e v são soluções dos dois problemas de valor inicial
L[u] = 0, u(x0) = y0, u′(x0) = y′0
L[v] = g(x), v(x0) = 0, v′(x0) = 0,
respectivamente.
41) O método de redução de ordem também pode ser para a equação não homogênea
y′′ + p(x)y′ + q(x)y = g(x),
desde que se conheça uma solução y1 da equação homogênea associada. Seja y(x) = v(x)y1(x) e mostre
que y satisfaz a equação anterior se v for solução de
y1(x)v
′′ + [2y′1(x) + p(x)y1(x)]v
′ = g(x).
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42) Utilize a técnica do exerćıcio anterior para encontrar a solução geral da equação diferencial em cada
um dos casos, conhecida uma solução y1.
(a) x2y′′ − 2xy′ + 2y = 4x2, x > 0, y1(x) = x
(b) x2y′′ + 7xy′ + 5y = x, x > 0, y1(x) =
1
x
6