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CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Erro em regime estacionário é a diferença entre a entrada e a saída de um sistema para uma entrada de teste a ele aplicada quando t tende a infinito. A análise de erros de estado estacionário só tem sentido para sistemas estáveis. ERRO EM REGIME PERMANENTE EM SISTEMAS DE RETROAÇÃO UNITÁRIA Os erros em regime permanente podem ocorrer devido a diversos fatores: imperfeições nos elementos físicos, folgas mecânicas, atrito, envelhecimento e deterioração em um ou mais componentes. Além disso, muitos sistemas não apresentam a capacidade de seguir um determinado sinal de entrada, acarretando um erro em regime permanente constante ou mesmo crescente (tendendo ao infinito). Demonstra-se que isto se deve ao número de integradores (termos 1/s) presentes na malha de controle. Define-se então: Considerando-se o sistema com realimentação unitária da figura 1, pode-se definir a função de transferência entre o erro atuante e(t) e o sinal de entrada r(t) como: Considerando que o sistema é estável, pode-se aplicar o teorema do valor final na equação 1, obtendo-se o erro em regime permanente: Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 1 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Em função da definição de erro em regime permanente podem ser definidos os coeficientes de erro estático. Estes coeficientes de erro podem ser usados para especificar o desempenho do sistema de controle, ou seja, podem ser usados como especificação de desempenho em projetos de sistemas de controle. Estes coeficientes medem a capacidade de um sistema em reduzir ou eliminar erros em regime permanente. Ganho DC de uma função de transferência estável, sem pólos na origem, é definido por COEFICIENTE DE ERRO ESTÁTICO DE POSIÇÃO K P Este coeficiente é definido quando a excitação do sistema é um degrau unitário. Assim: Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 2 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO COEFICIENTE DE ERRO ESTÁTICO DE VELOCIDADE K V Este coeficiente é definido quando a excitação do sistema é uma rampa. Assim: COEFICIENTE DE ERRO ESTÁTICO DE ACELERAÇÃO K a Este coeficiente é definido quando a excitação do sistema é uma parábola. Assim: Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 3 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO A tabela 1 apresenta um resumo dos coeficientes k p , k v e k a em função de diferentes sinais de entrada. Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 4 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Exemplo: Considere o sistema G (s)= K Ts+1 descrito em duas topologias diferentes na figura 2. No primeiro caso, em malha aberta, é introduzido um ganho para tornar o sistema com ganho unitário. No segundo caso, em malha fechada é introduzido um ganho para garantir que o ganho de malha seja muito maior que 1. a) Qual a relação entre os erros em regime permanente nestas duas topologias, supondo a entrada um degrau unitário? Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 5 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 6 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO ERRO DE ESTADO ESTACIONÁRIO DE SISTEMAS COM RETROAÇÃO NÃO- UNITÁRIA Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 7 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Um sistema com retroação genérico está mostrado na figura 1 com H(s) não igual à unidade. Para um sistema no qual a retroação seja não-unitária, as unidades da saída, Y(s), são usualmente diferentes da saída do sensor. Por exemplo, um sistema de controle de velocidade está mostrado na figura 2, onde H(s)= K 2 . As constantes K 1 e K 2 levam em conta a conversão de um conjunto de unidades para outro conjunto de unidades (aqui se convertem radianos/segundo em volts). Pode-se selecionar K 1 e assim se definir K 1 = K 2 e deslocar os blocos K 1e K 2 para depois do ponto de soma. Obtém-se o diagrama de blocos equivalente mostrado na figura 3. Obtém-se, assim, um sistema com retroação unitária, como desejado. Seja retornar ao sistema da figura1 com H(s). O caso em que H(s)= k 2 τs+1 possui um ganho estático para H(s) de lim ¿s→0H (s)=k 2 ¿ . O fator k 2 é um fator de conversão de unidades. Se for definido k1=k 2 , então o regime é transformado no da figura 3 (para o cálculo do ganho estático ou de regime permanente). Então o erro do Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 8 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO sistema mostrado na figura 3 é E(s), onde E(s) = R(s) – Y(s) = [1- T(s)]R(s), uma vez que Y(s) = T(s)R(s). Observe que T (s)= k1G (s) 1+k1G (s) E, portanto, E (s)= 1 1+k1G (s) R(s) Então o erro de regime estacionário para uma excitação em degrau unitário é lim ¿s→0 sE (s)= 1 1+k1G (0) ess=¿ . Em geral, sempre se pode determinar o erro real do sistema usando a equação lim ¿s→0 sR(s) 1+G ( s) lim ¿t→∞e (t )=ess=¿ ¿ , quando H(s) = 1. Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 9 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO ÍNDICES DE DESEMPENHO Um índice de desempenho é uma medida quantitativa do desempenho de um sistema e é escolhido de modo que a ênfase seja dada às especificações de sistemas importantes. Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 10 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Um sistema é considerado um sistema de controle ótimo quando os parâmetros do sistema são ajustados de modo que o índice alcance um valor extremo, comumente um valor mínimo. Um índice de desempenho, para ser útil, deve ser um número sempre positivo ou nulo. Então, o melhor sistema é definido como o sistema que minimiza este índice. Um índice de desempenho adequado é a integral do quadrado do erro, ISE (Integral of the Square of the Error), que é definido como ISE = ∫ 0 T e2 (t )dt O limite superior T é um tempo finito escolhido um tanto arbitrariamente, de modo que a integral tenda a um valor estacionário. É usualmente conveniente escolher T como o tempo de assentamento, T s . Este critério irá discriminar sistemas excessivamente superamortecidos de sistemas excessivamente subamortecidos. O valor mínimo da integral ocorrerá para um valor de compromisso de amortecimento. Um outro critério de desempenho rapidamente instrumentado é o da integral do valor absoluto do erro, IAE (Integral of the Absolute magnitude of the Error), que pode ser escrito como: IAE=∫ 0 T ∣e (t )∣dt Este índice é particularmente útil para estudos de simulação em computador. Para reduzir a contribuição de grandes erros iniciais no valor da integral de desempenho, bem como enfatizar erros que acontecem mais tarde na resposta, tem sido proposto o seguinte índice: ITAE = ∫ 0 T t ⌈ e (t )⌉ dt Este índice de desempenho é designado como a integral do tempo multiplicado pelo valor absoluto do erro, ITAE (Integral of Time multiplied by Absolute Error). Um outro índice semelhante é o da integral do tempo multiplicado pelo quadrado do erro, ITSE (Integral of Time multiplied by the Square Error): ITSE=∫ 0 T t e2 (t )dt Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 11 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIOO índice de desempenho ITAE fornece a melhor seletividade dentre os índices de desempenho, isto é, o valor mínimo da integral é prontamente discernível ao serem variados os parâmetros do sistema. A forma geral da integral de desempenho é: I=∫ 0 T f (e (t ) , r (t ) , y (t ) , t )dt Onde f é uma função do erro, do sinal de entrada, do sinal de saída e do tempo. EXEMPLOS RESOLVIDOS Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 12 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 13 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 14 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 15 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 16 CONTROLE E SERVOMECANISMOS 1ANÁLISE DE ERRO EM REGIME ESTACIONÁRIO Professora Elizabeth Lopes Pimenta -AULA 02- Página 17
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