INTRODUÇÃO AO CALCULO AULA 2

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Tema 
Organização da Aula 
Polinômios 
Organização da Aula 
Olá! Estamos iniciando a nossa segunda aula de Introdução ao Cálculo. 
Nessa aula veremos o que são polinômios e como é possível realizar 
operações envolvendo polinômios. Iremos aprender que é possível fatorar 
polinômios e, com isso, simplificarmos expressões sempre que possível. 
Estudaremos, também, expressões fracionárias e também 
equações e inequações. 
 
O que é “Álgebra”? 
A partir de agora, vamos estudar diversos problemas matemáticos relacionados 
à álgebra. No entanto, o que é álgebra? 
A álgebra é um ramo da matemática que estuda a resolução de equações e de 
inequações, polinômios, e estruturas algébricas. Em geral, a álgebra estuda 
problemas que envolvem quantidades conhecidas e desconhecidas. 
Quando pensamos em álgebra, estamos nos referindo a problemas envolvendo 
não só números, mas, também, quantidades desconhecidas e conhecidas 
como variáveis ou incógnitas. 
 
Polinômios e Fatoração 
Muitas vezes, os custos e os lucros de empresas ou expressões que 
descrevem a trajetória de objetos podem ser calculados empregando 
polinômios. 
Para entendermos melhor, vamos imaginar que o proprietário de uma barraca 
de cachorro-quente tem um custo de R$ 2,00 para preparar um cachorro 
quente tradicional (incluindo impostos) e que esse mesmo cachorro quente é 
vendido por R$ 3,50. Sendo assim, para cada cachorro quente vendido, o lucro 
é de R$ 1,50, certo? 
 
 
Para simplificarmos nossos cálculos, suponhamos que todos os tipos de 
cachorros quentes vendidos têm um lucro de R$ 1,50 por unidade. Por 
exemplo, um determinado tipo de cachorro quente custa R$ 4,00 e é vendido 
por R$ 5,50. Supondo ainda que os custos mensais fixos tais como gás, 
energia elétrica, salário de um funcionário, encargos, entre outros corresponde 
a R$ 2.000,00, o lucro total para a venda de x cachorros quentes pode ser 
escrito como 
L = 1,50x -2000. 
A partir dessa expressão podemos determinar, por exemplo, a venda mensal 
mínima para pagar os custos fixos. Podemos, também, prever o lucro total em 
função de uma estimativa mensal de vendas! Essa expressão que relaciona o 
lucro mensal com a quantidade de cachorros quentes vendidos é um exemplo 
de um polinômio de grau 1. 
 
Um polinômio é uma expressão matemática sob a seguinte forma: 
p(x) = anxn + an-1xn-1+...+a2x2+a1x1+a0 
Onde an,an-1,…a2,a1,a0 são números reais chamados de coeficientes. A única 
condição é quean≠0 para que possamos garantir que temos um polinômio de 
grau n. 
 
IMPORTANTE 
O grau de um polinômio é o maior expoente da variável desse polinômio. 
Agora, veja alguns exemplos de polinômios e seus respectivos graus: 
 p(x) = 3x + 9 é um polinômio de grau 1 
 q(x) = 2x2 + 5x - 1 é um polinômio de grau 2 
 r(x) = x3 + 14x2 - 22x + 6 é um polinômio de grau 3 
 s(x) = x8 - x6 + 4 é um polinômio de grau 8 
 
Tema 
Operações Polinomiais 
 
Operações Polinomiais 
Muitas vezes precisamos realizar operações – tais como adição, subtração, 
multiplicação e divisão – envolvendo polinômios. Essas operações podem ser 
feitas seguindo os procedimentos utilizados para realizarmos operações com 
números reais e que já são conhecidos. 
Para que possamos entender melhor as operações envolvendo polinômios 
 
Adição de Polinômios 
A adição de polinômios é feita através da soma dos termos semelhantes, ou 
seja, dos termos de mesmo grau. Podemos somar termos em x2 com x2 e 
termos em x3 com x3, mas não é possível somarmos termos em x2 com termos 
em x3, por exemplo. 
Observe: 
 2x4 + 6x4 = 8x4 
 (x2 + 3x + 1) + (3x2 + 4x + 5) = 4x2 + 7x + 6 
 (2x3 - 6x2 ) + ( 2x2 - 4x + 2) = 2x3 - 4x2 - 4x+2 
 
Subtração de Polinômios 
A subtração de polinômios é feita de maneira análoga à adição de polinômios. 
Bastasubtrairmos os termos semelhantes. É importante prestarmos atenção 
aos sinais envolvidos. 
Observe: 
 5x3 - 3x3 = 2x3 
 (4x2 + 7x + 1) - (2x2 - 3x + 5) = 2x2 + 10x - 4 
 (x3 - 2x) - (3x2 + 7x + 9) = x3 - 3x2 - 9x – 9 
 
Multiplicação de Polinômios 
 
Em relação à multiplicação de polinômios, utilizaremos a propriedade 
distributiva. Também é importante nos lembrarmos das propriedades das 
potências, pois elas também serão utilizadas. Se multiplicarmos apenas as 
variáveis, utilizaremos a regra da multiplicação de potências de mesma base. 
Relembrando essa propriedade, a multiplicação de x2 por x3, por exemplo, 
resulta em x5 (na multiplicação de potências de mesma base, repetimos a base 
e somamos os expoentes). Se tivermos coeficientes a serem multiplicados, 
basta multiplicarmos os coeficientes e também multiplicarmos as variáveis. 
 
Por exemplo: 2x3 vezes 4x4 resulta em 8x7. Nesse caso, multiplicamos 2 por 4 
e multiplicamos x3por x4. 
Observe: 
a. x5 . x2 = x7 
b. 5x2 . 2x3 = 10x5 
c. (-2x4) . (-3x4) = 6x8 
d. (x2) . (x3 + 2x) = x5 + 2x3 
Em especial, algumas multiplicações entre polinômios são especiais. Por esse 
motivo recebem o nome de produtos notáveis. 
Vamos realizar operações de adição, subtração e produto entre os polinômios 
abaixo? 
x2 + 2.x + 3 
3.x + 4 
Verifique o resultado, no arquivo a seguir: 
 
 
 
 
 
 
A adição de polinômios é realizada considerando os termos de mesmo expoente 
na variável. No primeiro polinômio 𝑥2 + 2. 𝑥 + 3 há termos em 𝑥2, em x e com 
constante. No segundo polinômio há termos envolvendo x e constante. 
Agrupando 𝑥2 𝑐𝑜𝑚 𝑥2, 𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑥, 𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠 tem-se: 
 
(𝑥2 + 0. 𝑥2 ) + (2. 𝑥 + 3. 𝑥) + (3 + 4) = 𝑥2 + 5. 𝑥 + 7 
 
Para a subtração o processo é análogo, e tem-se: 
 
(𝑥2 − 0𝑥2) + (2𝑥 − 3𝑥) + (3 − 4) = 𝑥2 − 𝑥 − 1 
 
Para o produto entre os polinômios, pode ser feito mediante o emprego da 
propriedade distributiva, resultando: 
 
(𝑥2 + 2𝑥 + 3). (3𝑥 + 4) = 𝑥2. (3𝑥 + 4) + 2𝑥. (3𝑥 + 4) + 3. (3𝑥 + 4) 
 
Realizando as multiplicações: 
 
𝑥2. (3𝑥 + 4) + 2𝑥. (3𝑥 + 4) + 3(3𝑥 + 4) = 3𝑥3 + 4𝑥2 + 6𝑥2 + 8𝑥 + 9𝑥 + 12 
 
Agrupando os termos de iguais potências de x, tem-se: 
 
3𝑥3 + 10𝑥2 + 17𝑥 + 12 
Sendo este o resultado para a multiplicação dos dois polinômios. 
 
 
Os produtos notáveis mais conhecidos e utilizados são: 
a. (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 
b. (a - b)2 = a2 - 2ab + b2 
c. (a + b)(a - b) = a2 - b2 
d. (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 
e. (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 
OBSERVE: 
 
s produtos notáveis também têm sua interpretação geométrica! 
O produto (a + b)2 é igual à área de um quadrado de lados iguais a (a + b). 
Como a área de um quadrado de lado a é igual a a2, a área de um quadrado de 
lado a + b é igual a (a + b)2, que corresponde a a2 + 2ab + b2 , ou seja, é igual à 
área de um quadrado de lado amais a área de um quadrado de lado b mais a 
área de dois retângulos de lados a e bcada. 
 
 
Utilizando produtos notáveis, escreva os resultados equivalentes para as 
equações abaixo: 
a. (x + 3)2 
b. (2 - x)2 
c. (x + 3)(x - 3) 
d. (2x - 3)2 
e. (4 + 3x)2 
f. (y - x)2 
g. (2x + 3y).(2x - 3y) 
h. (x + 3)3 
i. (2a - 3b)3 
Verifique o resultado, no arquivo a seguir: 
 
a) Para este exercício utiliza-se a fórmula para o quadrado da soma de dois termos (𝑎 + 
𝑏)2 = 𝑎2 + 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 que é o quadrado do primeiro termo, mais o duplo produto do 
primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, e mais o quadrado do segundo termo: 
(𝑥 + 3)2 = (𝑥)2 + 2. 𝑥. 3 + (3)2 = 𝑥2 + 6𝑥 + 9 
 
b) Aqui utiliza-se o quadrado da subtração (ou diferença) de dois termos 
(𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2, que resulta no quadrado doprimeiro, menos duas vezes o 
primeiro termo multiplicado pelo segundo termo, e mais o quadrado do segundo termo, 
obtendo-se: 
(2 − 𝑥)2 = (2)2 − 2 . 2 . 𝑥 + (𝑥)2 = 4 − 4𝑥 + 𝑥2 
 
c) Aqui ocorre o produto da soma pela diferença de dois termos 
(𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 cujo resultado é o quadrado do primeiro termo, subtraindo 
o quadrado do segundo termo, obtendo-se: 
d) (𝑥 − 3). (𝑥 + 3) = 𝑥2 − 32 = 𝑥2 − 9 
 
e) Para (2𝑥 − 3)2 tem-se o caso de quadrado para a diferença de dois termos (𝑎 − 𝑏)2 = 
𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2, resultando: 
(2𝑥 − 3)2 = (2𝑥)2 − 2. 2𝑥. 3 + (3)2 = 4𝑥2 − 12𝑥 + 9 
 
f) Neste exercício ocorre o quadrado aplicado a uma soma de fatores (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2. 𝑎. 
𝑏 + 𝑏2, resultando: 
(4 + 3𝑥)2 = (4)2 + 2. 3𝑥 .4 + (3𝑥)2 = 16 + 24𝑥 + 9𝑥2 
 
g) Neste caso tem-se o quadrado de uma diferença de dois termos (𝑎 − 
𝑏)2 = 𝑎2 − 2. 𝑎. 𝑏 + 𝑏2 , resultando: 
(𝑦 − 𝑥)2 = (𝑦)2 − 2. 𝑦. 𝑥 + (𝑥)2 = 𝑦2 − 2𝑥𝑦 + 𝑥2 
 
 
 
h) A solução para (2𝑥 + 3𝑦) .(2𝑥 − 3𝑦) é obtida pelo produto da soma pela 
diferença de dois termos (𝑎 − 𝑏). (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2 com o resultado a seguir: 
(2𝑥 + 3𝑦). (2𝑥 − 3𝑦) = (2𝑥)2 − (3𝑦)2 = 4𝑥2 − 9𝑦2 
 
i) Para esta situação deve-se considerar o cubo de uma soma de termos que é 
dado por (𝑎 + 𝑏)3 = 𝑎3 + 3. 𝑎2. 𝑏 + 3. 𝑎. 𝑏2 + 𝑏3 sendo o cubo do primeiro 
termo, somando 3 vezes o produto do quadrado do primeiro termo 
multiplicando o segundo termo, somando 3 vezes o produto do primeiro termo 
pelo quadrado do segundo termo, e somando o cubo do segundo termo, 
resultando: 
(𝑥 + 3)3 = (𝑥)3 + 3. (𝑥)2. 3 + 3. 𝑥. (3)2 + (3)3 = 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27 
 
j) Neste exemplo tem-se o cubo de uma subtração de termos (𝑎 − 𝑏)3 = 𝑎3 − 3. 
𝑎2. 𝑏 + 3. 𝑎. 𝑏2 − 𝑏3 resultando: 
(2𝑎 − 3𝑏)3 = (2𝑎)3 − 3. (2𝑎)2.. 3𝑏 + 3. (2𝑎). (3𝑏)2 − (3𝑏)3 
= 8𝑎3 − 36𝑎2. 𝑏 + 54𝑎𝑏2 − 27𝑏3 
 
 
Nos polinômios abaixo, reescreva utilizando produtos notáveis quando for 
possível. 
a. x2 - 16 
b. x2 + 6x + 9 
c. x2 - 10x + 25 
d. x2 - 8x - 16 
e. 36 - y2 
f. x2y2 - 49 
g. y2 + 16 
h. y4 - 4x2 
Verifique o resultado, no documento a seguir: 
 
a) Para o binômio 𝑥2 − 16 tem-se um termo elevado ao quadrado subtraindo um 
outro termo também elevado ao quadrado, o que caracteriza o produto da soma 
pela diferença de dois termos, sendo: 
𝑥2 − 16 = (𝑥 + 4). (𝑥 − 4) 
 
b) Para o trinômio 𝑥2 + 6𝑥 + 9 pode-se reescrever como sendo 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥2 
+ 2. 𝑥. 3 + 32 que leva a forma de apresentação da soma de dois termos 
elevados ao quadrado, resultando: 
𝑥2 + 6𝑥 + 9 = (𝑥 + 3)2 
 
c) Para o trinômio 𝑥2 − 10𝑥 + 25 vem-se dois termos com quadráticos, ou seja o 
𝑥2 e o 25. Basta verificar o termo central como duplo produto entre x e 5. O sinal 
negativo leva a considerar a diferença entre dois termos, tal 
que: 𝑥2 − 10𝑥 + 25 = (𝑥)2 − 2. 𝑥. 5 + (5)2 = (𝑥 − 5)2. 
 
d) Para o trinômio 𝑥2 − 8𝑥 − 16 não é possível reescrever como produto notável 
devido ao sinal negativo do 16. Os termos quadráticos no produto notável 
(quadrado de diferença de termos) são sempre positivos. Tem-se um trinômio 
irredutível. 
 
e) Para o binômio 36 − 𝑦2 tem-se a diferença de dois valores quadráticos, 
resultando então: 36 − 𝑦2 = (6)2 − (𝑦)2 = (6 + 𝑦). (6 − 𝑦). 
 
f) Para o binômio observa-se todos os termos quadráticos, e o 
binômio pode ser reescrito como (𝑥𝑦)2 − (7)2 que é o produto da soma pela 
diferença de dois termos. Tem-se: (𝑥𝑦)2 − (7)2 = (𝑥𝑦 + 7). (𝑥𝑦 − 7). 
 
g) Para o binômio 𝑦2 + 16 não é possível reescreve-lo como produto notável 
devido ao sinal antes do 16 ser positivo. Neste caso tem-se um binômio 
irredutível. 
 
h) Para 𝑦4 − 4𝑥2 tem-se a diferença de dois valores quadráticos 𝑦4 − 4𝑥2 = 
(𝑦2)2 − (2𝑥)2 = (𝑦2 + 2𝑥).(𝑦2 − 2𝑥) que é o produto da soma pela diferença de 
dois termos. 
 
Divisão de Polinômios 
 
Para dividirmos um polinômio por outro, o procedimento é bem simples e é 
muito semelhante com o algoritmo da divisão de um número pelo outro. 
Tema 
Fatoração de Polinômios 
 
Fatoração de Polinômios 
Agora que já sabemos o que são polinômios e como é possível realizar 
operações polinomiais, vamos aprender o que é fatoração e como essa técnica 
pode ser muito útil na simplificação de diversas expressões. 
Bem, podemos dizer que fatorar um determinado polinômio é escrever esse 
polinômio como sendo o produto de dois ou mais polinômios de modo que a 
forma fatorada seja equivalente ao polinômio original. Caso um polinômio não 
possa ser fatorado, dizemos que esse polinômio está na sua forma irredutível. 
Avance para conhecer alguns exemplos de polinômios escritos na forma 
fatorada. 
 
Colocando o fator comum em evidência 
O primeiro exemplo consiste em colocarmos o fator comum em evidência: x2 + 
5x = x(x + 5) 
Note que, nesse caso, o fator x foi colocado em evidência, pois é um termo 
comum, tanto para x2 quanto para 5x . O mesmo caso ocorre para o próximo 
exemplo: 
ab3 + 2a2b4 = ab3(1 + 2ab) 
O fator comum aos dois termos é ab3, que foi colocado em evidência. O outro 
fator corresponde a 1+2ab. Observe que se multiplicarmos ab3 por 1 + 2ab, 
teremos como resultado a expressãoab3 + 2a2b4. 
 
Fatoração da diferença entre dois quadrados 
Um outro caso bastante comum é a fatoração da diferença de dois quadrados. 
Esse tipo de fatoração pode ser feito de maneira bem simples através do uso 
de um produto notável do tipoa2 - b2 = (a + b).(a - b). 
Para entendermos melhor, vamos ver alguns exemplos: 
a. x2 - 4 = x2 - 22 = (x + 2)(x - 2) 
b. x2 - 25 = x2 - 52 = (x +5)(x - 5) 
c. 4x2 - 49 = (2x)2 - 72 = (2x +7)(2x - 7) 
No próximo exemplo, vamos fatorar um trinômio, ou seja, um polinômio com 
três termos. Nesse exemplo, iremos considerar o coeficiente principal igual a 1. 
 
Fatoração de um trinômio 
Vamos considerar o trinômio x2 - 5x + 6 que poderá ser escrito sob a forma 
x2 - 5x + 6 = (x + a)(x + b) em que a e b são dois números que irão resultar no 
termo independente do trinômio. No nosso exemplo, a . b = 6. 
Para fatorarmos um trinômio cujo coeficiente principal é igual a 1, nós 
precisamos pensar em quais são os pares de números que resultam no termo 
independente. Como nesse exemplo o termo independente é igual a 6, os 
possíveis pares que resultam em 6 são 1 e 6 ou 2 e 3 pois 1 × 6 = 6 e 2 × 3 = 
6. Precisamos lembrar, também, que esses números podem ser negativos, ou 
seja, 
(-1) × (-6) = 6 e (-2) × (-3) = 6. Nesse caso, temos quatro possibilidades de 
fatoração: 
(x + 1)(x + 6) 
(x - 1)(x - 6) 
(x + 2)(x + 3) 
(x - 2)(x - 3) 
Utilizando essa técnica de fatoração, basta gerar todas as possíveis 
combinações e, em seguida, determinar qual delas de fato representa a forma 
fatorada do polinômio. Nesse caso, basta fazer a propriedade distributiva para 
cada opção gerada e, em seguida, determinar qual delas é a correta: 
(x + 1)(x + 6) = x2 + 6x + 1x + 6 = x2 + 7x + 6 
(x - 1)(x - 6) = x2 - 6x - 1x + 6 = x2 - 7x + 6 
(x + 2)(x + 3) = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6 
(x - 2)(x - 3) = x2 - 3x - 2x + 6 = x2 - 5x + 6 
Nesse caso, a forma fatorada do trinômio x2 - 5x + 6 corresponde a (x - 2)(x - 
3), ou seja, x2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3). Essa é uma forma intuitiva (mas eficiente) 
de determinarmos a forma fatorada de um trinômio. 
 
ara os polinômios a seguir, faça a fatoração completa (quando possível), 
usando fatores polinomiais, produtos notáveis, e polinômios irredutíveis (se for 
o caso). 
a. 25x - 15 
b. 4x3 - 16x 
c. z2 - 81d. 6x3 + 4x2 - 3x - 2 
e. z2 - 8z - 20 
f. x6 + 3x4 + 2x2 + 6 
g. 2.m.n + 6.m.k - l.n - 3.l.k 
h. 3x3 - 9x2 + 6x 
i. u.w + 4.u.z - 2.v.w - 8.v.z 
j. z3 + 16z 
Confira os resultados, clicando no ícone a seguir: 
 
a) Para o binômio 25. 𝑥 − 15 observa-se constantes múltiplas de 5, portanto o que 
pode ser evidenciado é o 5, de forma a obter: 
5. (5. 𝑥 − 3). 
 
b) Para o binômio 4. 𝑥3 − 16. 𝑥 observando as constantes nota-se que são 
múltiplos de 4, e observando as potências de x, a menor delas é sempre a que 
será evidenciada, resultando: 
4. 𝑥3 − 16. 𝑥 = 4. 𝑥. (𝑥2 − 4). 
 
O segundo fator obtido apresenta a forma de um produto notável, podendo ser 
fatorado novamente, resultando: 
4. 𝑥3 − 16. 𝑥 = 4. 𝑥. (𝑥2 − 4) = 4. 𝑥. (𝑥 + 2). (𝑥 − 2). 
 
c) Para o binômio 𝑧2 − 81 tem-se dois termos quadráticos sendo subtraídos, que é 
um produto notável, resultando: 
𝑧2 − 81 = (𝑧 + 9). (𝑧 − 9). 
 
d) Para o polinômio 6. 𝑥3 + 4. 𝑥2 − 3. 𝑥 − 3 é possível fazer agrupamento com os 
dois primeiros termos e com os dois últimos termos, de forma que: 
6. 𝑥3 + 4. 𝑥2 − 3. 𝑥 − 2 = 2. 𝑥2. (3. 𝑥 + 2) − 1 (3.𝑥 + 2). 
 
É possível observar que surgiu um termo comum (3. 𝑥 + 2) multiplicando os 
fatores 2. 𝑥2 e -1. Evidenciando este termo comum tem-se: 
2. 𝑥2. (3. 𝑥 + 2) − 1 (3.𝑥 + 2) = (2. 𝑥2 − 1). (3. 𝑥 + 2). 
 
e) Para este trinômio 𝐳𝟐 − 𝟖𝐳 − 𝟐𝟎 pode-se buscar dois valores numéricos que 
somados resultem -8 e quando em produto resultem -20. Os valores obtidos são: 
-10 e +2, que serão utilizados para a fatoração, resultando: 
𝑧2 − 8𝑧 − 20 = (𝑧 − 10). (𝑧 + 2). 
 
f) Para a fatoração de 𝑥6 + 3. 𝑥4 + 2. 𝑥2 + 6 pode-se agrupar os dois primeiros 
termos e os dois últimos de maneira a obter: 
𝑥6 + 3. 𝑥4 + 2. 𝑥2 + 6 = x4. (𝑥2 + 3) + 2. (𝑥2 + 3) = (𝑥4 + 2). (𝑥2 + 3). 
Os binômios que surgiram em produtos não apresentam possibilidade de nova 
fatoração, sendo irredutíveis. 
 
g) Para esta situação pode ser visto que nos dois primeiros termos, temos 
multiplicidade para a constante 2, e a letra “m” aparece em ambos os termos, 
logo pode ser evidenciada. Para os dois últimos termos, observase ambos com 
sinal negativo e a letra “l” aparecendo em ambos os termos, logo pode ser 
evidenciada. 
2. 𝑚. 𝑛 + 6. 𝑚. 𝑘 − 𝑙. 𝑛 − 3. 𝑙. 𝑘 = 2. 𝑚. (𝑛 + 3𝑘) − 𝑙. (𝑛 + 3𝑘) = (2. 𝑚 − 
𝑙). (𝑛 + 3𝑘). 
 
h) Neste caso, nota-se que no trinômio todos os termos têm potências de x, que 
leva a evidenciar a menor delas, e que as constantes são múltiplas de 3, o que faz 
evidenciar o 3, resultando 
3. 𝑥3 − 9. 𝑥2 + 6. 𝑥 = 3. 𝑥. (𝑥2 − 3. 𝑥 + 2). 
 
Para o trinômio entre parênteses, busca-se dois valores que em produto fazem 
+2, e cuja soma seja -3. Os valores são -2 e -1. A fatoração fica então: 
3. 𝑥. (𝑥2 − 3. 𝑥 + 2 ) = 3. 𝑥. (𝑥 − 2). (𝑥 − 1). 
 
i) Para o polinômio 𝑢. 𝑤 + 4. 𝑢. 𝑧 − 2. 𝑣. 𝑤 − 8. 𝑣. 𝑧 pode-se verificar que os dois 
primeiros termos têm “u” comum a ambos, e os dois últimos termos têm “-2v” 
comum a ambos. Evidenciando e reagrupando vem 𝑢. 𝑤 + 4. 𝑢. 𝑧 − 2. 𝑣. 𝑤 − 8. 
𝑣. 𝑧 = 𝑢. (𝑤 + 4𝑧) − 2𝑣. (𝑤 + 4𝑧) 
= (𝑢 − 2𝑣). (𝑤 + 4𝑧). 
 
j) No binômio 𝑧3 + 16𝑧 somente “z” pode ser evidenciado, resultando 𝑧3 + 16. 𝑧 
= 𝑧. (𝑧2 + 16). O binômio entre parênteses é irredutível, ou seja, não pode ser 
transformado em produto de monômios. 
 
Tema 
Expressões fracionárias 
Agora que já tratamos de polinômios e de fatoração, vamos falar sobre 
expressões fracionárias? O que é uma expressão fracionária e como podemos 
resolver problemas relacionados a essas expressões? 
Podemos dizer que é uma expressão racional, pois temos uma 
divisão entre duas expressões polinomiais. Nesse exemplo, o domínio consiste 
em todos os números reais, exceto o 2. Isso ocorre por que se x for igual a 2, o 
denominador x-2 fica igual a zero. Matematicamente, podemos escrever, então, 
que D = { x ∈ R / x ≠ 2 }. 
Isso significa que o domínio da expressão consiste em todos os 
números reais, exceto o 2. 
Podemos utilizar os conhecimentos sobre fatoração e, sempre que possível, 
simplificarmos expressões fracionárias. 
 
IMPORTANTE: 
Bem, já sabemos que uma expressão algébrica é uma expressão matemática 
envolvendo constantes e variáveis. Toda expressão algébrica que envolve um 
quociente entre dois polinômios é uma expressão fracionária. Uma expressão 
fracionária, por sua vez, também é conhecida como expressão racional, pois 
temos uma razão (divisão) entre dois polinômios. Como sabemos que não é 
possível realizar divisões onde o denominador é igual a zero, temos que 
prestar atenção ao domínio das expressões racionais. 
 
Agora, determine o domínio das expressões algébricas. 
a. x3 + 2x + 5 
b. 
c. 
d. 
Confira os resultados, clicando no ícone a seguir: 
 
a) O domínio para polinômios é o conjunto dos números reais, sem exceção. 
 
b) Para esta situação, deve ser considerado que em se tratando de raízes de índice par, é 
necessário que o radicando seja maior ou igual a zero. Temse: 𝑥 − 4 ≥ 0. Para resolver 
esta inequação, deve-se operar com o -4, levando-o ao lado direito da igualdade com 
sinal invertido, ou seja, 𝑥 ≥ 4. Esta desigualdade pode ser escrita na forma de intervalo 
representado por 
[4; +∞). 
 
c) Neste caso, deve ser considerado que não é possível fazer divisão por zero, ou seja, 
deve ser excluído do conjunto de números reais, o valor que venha zerar o 
denominador. Tem-se 3. 𝑥 − 6 ≠ 0 , que pode ser solucionado passando o valor -6 
para o lado direito da igualdade com inversão de sinal, obtendo 3. 𝑥 ≠ 6. O valor de x 
pode ser calculado operando sobre o número 3 que está no lado esquerdo da 
igualdade em multiplicação pelo x, passando-o para o lado direito, em divisão. Tem-se 
, e fazendo a divisão, 𝑥 ≠ 2. Para o domínio são aceitos todos os reais com 
exceção de 2, e tem-se: (−∞; 2) ∪ (2; +∞) ou ]−∞; 2[ ∪ ]2; +∞[ . 
 
d) Nesta expressão algébrica há dois termos, e cada um deve ser analisado 
separadamente. Em relação ao primeiro ocorre uma divisão fazendo com que o 
denominador não possa assumir o valor nulo, ou seja, 𝑥 ≠ 0 . Para o segundo termo, 
tem-se uma raiz de índice ímpar, que pode ter no radicando qualquer valor (positivo, 
negativo ou nulo), ou seja, neste caso não há exceções. O domínio será então 𝑥 ≠ 0 ou 
escrito na forma de intervalo temse (−∞; 0) ∪ (0; +∞) ou ]−∞; 0[ ∪ ]0; +∞[ . 
 
A simplificação da expressão resulta 
em donde após a simplificação dos termos x-2 
que aparecem no numerador e no denominador. É importante lembrarmos que 
mesmo após a simplificação, o domínio dessa expressão continua sendo D = { 
x ∈ R / x ≠ 2 }. Mesmo que na expressão x-3 não haja restrição em relação aos 
valores de x, essa expressão é o resultado da simplificação da expressão 
original que possui uma restrição em relação ao seu domínio. 
 
 
Agora, determine o domínio das expressões algébricas. 
a. 
b. 
c. 
d. 
e. 
f. 
g. 
h. 
Confira os resultados, clicando 
no ícone a seguir: 
 
a) No caso da expressão racional tem-se o produto de duas frações, que é 
resolvida pela multiplicação dos numeradores (entre si) e dos denominadores 
(entre si), que resulta Esta expressão racional apresenta no numerador 
um termo que pode ser fatorado com o emprego de 
produto notável, resultando No numerador e no 
denominador ocorre um mesmo fator (𝑥 − 1) que pode ser simplificado, e 
também ocorrem valores numéricos que são múltiplos (10 e 5) permitindo 
simplificação por 5. Desta forma teremospara o resultado. 
 
b) Para a expressão racional vamos utilizar os produtos notáveis no 
numerador e no denominador da fração da esquerda, obtendo: 
. Há simplificações possíveis de 
serem feitas devido a fatores idênticos que surgiram no numerador e no 
denominador, ou seja, (𝑥 − 2), (𝑥 + 2) e (𝑥2 + 2𝑥 + 4) O resultado após as 
simplificações é apenas o 3. 
 
c) Para a expressão temos uma divisão de frações, que é resolvida 
mediante um produto pela expressão inversa da que está no denominador, ou seja 
 O binômio 𝑥2 − 3𝑥 que se apresenta no numerador pode ser reescrito 
como sendo 𝑥. (𝑥 − 3) e o valor numérico 6 pode ser reescrito como 
2.3. Fazendo as multiplicações de numerador com numerador, e de 
denominador com denominador, a expressão torna-se . 
Pode-se fazer simplificações do valor numérico 3 e do x que aparece 
simultaneamente no numerador e no denominador da expressão, resultando 
 para expressão simplificada. 
 
d) A expressão racional apresenta uma divisão de frações 
racionais, que pode ser resolvida mediante a multiplicação pelo inverso da 
fração racional que está no denominador, obtendo Busca-se 
reescrever as expressões racionais usando fatoração e/ou produtos notáveis, 
obtendo . Os fatores (𝑦 − 4) e 
(𝑦 + 1) podem ser simplificados pois ocorrem no numerador e no denominador. 
Os demais podem ser multiplicados resultando . 
 
e) A expressão racional envolve soma e subtração de frações, que 
deve ser resolvida mediante o cálculo do m.m.c. para os denominadores. Neste 
caso, não é verificado nenhuma multiplicidade entre os denominadores, de forma 
que o m.m.c. é o produto entre eles. Pode-se escrever para a expressão 
 . Realizando a 
multiplicação 
entre os fatores do numerador, e agrupando termos de mesma potência em x, 
vem: 
que é o 
resultado para este caso. 
 
f) Na expressão ocorre uma divisão de frações racionais. Mantendo a 
primeira fração racional e multiplicando pelo inverso da segunda fração racional 
 vem . Realizando as fatorações obtém- . 
Os valores 14 e 7 tem multiplicidade, permitindo simplificação. Ocorre também no 
numerador e no denominador os fatores 𝑦2 𝑒 𝑥 que são simplificáveis, 
resultando 
 
g) Para a expressão racional tem-se soma e subtração de 
frações onde em dois denominadores ocorrem binômios, podendo ser 
reescritos como produtos de fatores Observando 
todos os fatores primos entre si, o m.m.c. será calculado pelo produto entre eles, 
ou seja, (𝑥 + 1). (𝑥 + 4). (𝑥 − 1) Agrupando as três frações anteriores em 
uma só, vem: . 
Fazendo 
as multiplicações no numerador e agrupando termos de iguais potências vem: 3. 
 
que é o 
resultado. 
 
h) A expressão racional composta pode ser resolvida analisando o 
𝑥−3 
numerador e o denominador separadamente. Para o numerador da expressão 
racional composta é necessário reescreve-la como uma única fração, 
com o uso do m.m.c., ou seja, 𝑥 − 3 . Tem- 
 Para o denominador da fração racional 
composta que é uma subtração de frações, usando m.m.c., obtendo 
 Usando os dois resultados equivalentes vem 
 com resultado obtido pela divisão das frações, ou seja, 
mantendo a fração do numerador e invertendo a fração do denominador. 
 Ocorre possibilidade de simplificação do fator 
2𝑥2−3𝑥−1 
𝑥 − 3 , resultando para a simplificação da 
fração 
𝑥−3 
composta ou complexa. 
 
Tema 
Equações 
Quando falamos em equações, nos referimos a expressões matemáticas que 
envolvem constantes, variáveis e uma igualdade e quando falamos em 
inequações, estamos tratando de expressões matemáticas que além das 
constantes e das variáveis, apresentam também desigualdades. O que são 
equações, inequações e quais são as respectivas aplicações é o que 
estudaremos a partir de agora. 
Quando nos referimos a equações, estamos tratando de expressões 
matemáticas onde figura a igualdade entre duas expressões algébricas. Um 
exemplo bem simples, mas muito importante para entendermos o que é uma 
equação é o que você verá a seguir. 
 
Vamos verificar se os valores dados são soluções (raízes) da equação? 
 
a. 3x - 6 = 0, com raiz x = 2 
b. x2 + 5x - 6 = 0, com raiz x = 1. 
c. x2 + 5x + 6 = 0, com raiz x = 2. 
 
 
Verifique os resultados, clicando no documento a seguir: 
Para verificar se um valor numérico é solução de uma equação, deve-se substituir este 
valor numérico na posição da variável ou incógnita em toda a equação, e verificar se a 
igualdade é mantida, ou seja, o valor obtido do lado direito deve ser igual ao do lado 
esquerdo da igualdade. 
 
a) Substituindo o valor 𝑥 = 2 na equação 3𝑥 − 6 = 0 tem-se: 3 . 2 − 6 = 0. 
Realizando o produto obtém-se 6 − 6 = 0, e fazendo a subtração, 0 = 0. Como 
verificou-se a igualdade então 𝑥 = 2 é solução da equação proposta. 
 
b) Fazendo a substituição de x pelo valor 1 na equação 𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 − 𝟔 = 𝟎 tem-se: 
(1)2 + 5.1 − 6 = 0 e realizando a potenciação e multiplicação obtém-se 1 + 5 
− 6 = 0. Resulta 0 = 0 de forma que a raiz testada é solução da equação. 
 
c) Na equação 𝑥2 + 5𝑥 + 6 = 0 substituindo x por 2 obtém-se: 22 + 5.2 + 
6 = 0 Realizando as operações do lado esquerdo da igualdade tem-se 4 + 10 
+ 6 = 0 ou 20 = 0 que é uma situação FALSA, ou seja, esta igualdade não é 
verdadeira. Isto equivale dizer que o valor 𝑥 = 2 não é raiz da equação. 
 
d) Para verificar se 𝑥 = 1 é raiz da equação substitui-se o valor de x 
por 1 e busca-se verificar a igualdade. Tem-se operações com 
frações, e utilizando m.m.c. entre os denominadores, cujo valor é 6, obtém-
 ou . Adicionando as duas frações do lado esquerdo 
da igualdade, tem- A igualdade entre os lados esquerdo e direito foi 
verificada, de forma que o valor 𝑥 = 1 é solução (raiz) da equação. 
 
e) Para a equação fazendo a substituição de x por 3 obtém-
 . Realizando multiplicação do radicando, no lado 
esquerdo, vem: Subtraindo os valores numéricos no radicando 
tem-se que apresenta o resultado 
. 
No lado esquerdo extraindo a raiz de 4 cujo resultado é 2 e somando a 3, resulta 
o valor 5. No lado direito da igualdade deve-se simplificar o valor 3 que aparece 
simultaneamente no numerador e no denominador, que resulta 5. A igualdade 
foi verificada, ou seja 5 = 5 significando que o valor 𝑥 = 3 é raiz da equação. 
 
Equações Lineares 
Uma pessoa foi a uma lanchonete e comprou dois x-saladas. Ao fazer o 
pedido, essa pessoa não observou o preço de cada x-salada, mas ao efetuar o 
pagamento da compra, o total pago foi igual a R$ 10,00. Com base nessas 
informações, quanto custou cada x-salada? 
Para resolvermos uma equação linear com uma variável, precisamos isolar a 
variável do problema. Para isso, utilizaremos operações elementares. Como 
não sabemos o preço de cada X-Salada, vamos denotá-lo por x. Como foram 
comprados 2 x-saladas, o preço pago pode ser escrito como 2x. Como 
sabemos que o total pago corresponde a R$ 10,00, temos a seguinte equação 
que descreve o problema apresentado: 2x=10. 
 
A expressão 2x = 10 se refere a uma equação linear. Essa equação é dita 
linear, pois o grau da variável x é igual a 1. A forma geral de uma equação 
linear é ax + b = 0, sendo que a e b são números reais e a ≠ 0. 
Para resolvermos essa equação, basta dividirmos os dois membros dessa 
igualdade pelo mesmo valor. No caso, vamos dividir os dois membros por 2, 
que é o coeficiente de x no primeiro membro: 
 
Logo, cada x-salada custou R$ 5,00. 
 
Graficamente, a solução de uma equação linear correspondeao ponto onde a 
reta corta o eixo das abcissas. Estudaremos melhor a construção de gráficos 
quando abordarmos as funções lineares. 
 
 
 
Equações Quadráticas 
 
Em relação às equações do segundo grau, também conhecidas como 
equações quadráticas, a solução (caso exista) é dada pela fórmula quadrática, 
também conhecida no Brasil como fórmula de Bháskara. A forma geral de uma 
equação quadrática é ax2+bx+c=0 sendo que a, b e c são números reais, 
denominados de coeficientes, sendo que a≠0. Essa equação é chamada de 
equação do segundo grau, pois nela figura um termo de grau 2 que 
corresponde ao maior expoente de x. 
 
hegou a sua vez! Nas equações a seguir, verifique quais são lineares, e em 
caso positivo, determine a raiz. 
a. 4 - 3x = 0 
b. 
c. 4.t - 10 = 14 
d. x - 5 = x2 
 
 
f. 3.(y - 2) = 2y + 1 
g. 
Verifique os resultados, clicando no documento a seguir: 
 
a) A equação é linear. A solução é obtida passando o termo −3𝑥 que está no lado 
esquerdo da igualdade, para o lado direito da igualdade com inversão de sinal, o que 
resulta 4 = 3𝑥 . Para determinar o valor de x, pode-se passar o valor 3 que está 
multiplicando a incógnita x, para o lado esquerdo da igualdade resultando . 
 
b) A equação não é linear pois ocorre um termo com cujo 
equivalente é 𝑥1/2. 
 
c) A equação 4 𝑡 − 10 = 14 é linear e pode ter a raiz determinada passando o valor 
−10 para o lado direito da igualdade, resultando 4 𝑡 = 14 + 10 ou 4 𝑡 = 24. 
Isolando o valor de t vem e realizando a divisão no lado direito da 
igualdade, resulta 𝑡 = 6 como solução da equação linear. 
 
d) A equação 𝒙 − 𝟓 = 𝐱𝟐 não é linear devido ao termo 𝑥2. 
 
e) A equação não é linear devido ao segundo termo onde ocorre a 
incógnita no denominador. 
 
f) A equação é linear e pode ser resolvida usando inicialmente m.m.c. 
dos denominadores, cujo valor é 2. Fazendo operação com frações, vem 
Os denominadores são iguais e pode-se considerar apenas os 
numeradores, resultando 2. 𝑥 + 𝑥 = 6. Agrupando os termos em x, tem-se: 3𝑥 = 6 
e isolando o valor de x, resulta 𝑥 = 2, como solução (raiz) da equação linear. 
 
g) A equação 3. (𝑦 − 2) = 2𝑦 + 1 é linear. Usando a propriedade distributiva no lado 
esquerdo 3. 𝑦 − 6 = 2𝑦 + 1 e agrupando em um lado da igualdade os termos com 
y, e no outro lado da igualdade os termos com constantes, vem 
 3. 𝑦 − 2. 𝑦 = 6 + 1. Realizando a subtração no lado esquerdo e a adição no 
lado direito da igualdade, tem-se: 𝑦 = 7 como solução da equação linear. 
 
Toda a equação do segundo grau possui duas soluções, que são chamadas de 
raízes da equação. Para resolvermos uma equação do 2º grau, basta 
efetuarmos os seguintes passos: 
 
 
 
 
Determinar os coeficientes da equação 
 
Determinar o valor de ∆ (delta representa a discriminante da equação) 
 
Determinar os valores de x1 e x2 
 
 
OBSERVAÇÃO: 
O conjunto-solução de uma equação do 2º grau apresenta três 
possibilidades diferentes de soluções: 
Se ∆ > 0, a equação possui duas raízes reais e diferentes; 
Se ∆ = 0, a equação possui duas raízes reais e iguais; 
Se ∆ < 0, a equação possui duas raízes imaginárias. 
 
Veja como é fácil resolver uma equação quadrática observando o exemplo a 
seguir. 
Dada a equação x2-8x-20=0 determine o valor de x1 e de x2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quais são os coeficientes dessa equação? 
 
 
 
 
Cálculo do discriminante (∆): 
 
 
Cálculo das raízes: 
 
 
 
 
 
Graficamente, as raízes de uma equação quadrática consistem nas 
intersecções da parábola com o eixo das abcissas. 
 
 
 
temos exercícios e as suas respectivas soluções. Treine as formas de resolver 
as equações de fatoração. Agora é com você! 
Resolva as equações usando fatoração para determinar as raízes: 
FATORAÇÃO I 
 
a) 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 
b) 𝑦2 − 𝑦 = 2 
c) 𝑧2 + 7𝑧 + 12 = 0 
d) 𝑧2 − 7𝑧 + 12 = 0 
e) 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 0 
f) 2. 𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0 
g) 4. 𝑦2 + 8𝑦 + 3 = 0 
h) 3. 𝑧2 = 2. 𝑧 + 1 
i) 𝑥2 − 25 = 0 
j) 2. 
 
 
Resultados: 
 
a) A equação 𝑥2 + 6𝑥 + 5 = 0 pode ser fatorada através da busca de dois valores cuja 
soma seja 6 e cujo produto seja 5. Os valores são 1 e 5. Usando estes dois valores 
reescreve-se a equação sendo (𝑥 + 5). (𝑥 + 1) = 0. As raízes são determinadas pela 
propriedade do fator zero (se um produto é nulo, então o primeiro termo é nulo, ou 
o segundo termo é nulo) sendo: 𝑥 + 5 = 0 e 𝑥 + 1 = 0. Resultando em 𝑥 = −5 e 𝑥 
= −1 para as raízes. 
 
b) A equação 𝑦2 − 𝑦 = 2 pode ser reorganizada para 𝑦2 − 𝑦 − 2 = 0 e usando 
fatoração busca-se dois valores numéricos cuja soma seja -1 e cujo produto seja -2. 
Os valores obtidos são -2 e 1. Reescreve-se (𝑦 − 2). (𝑦 + 1) = 0. Usando a 
propriedade de fator zero obtém-se 𝑦 − 2 = 0 ou 𝑦 = 2 para a primeira raiz, e 𝑦 + 
1 = 0 ou 𝑦 = −1 para a segunda raiz da equação. 
 
c) Para esta equação, busca-se dois valores numéricos que somados resultem 7 e em 
produto resultem 12. Os valores são 3 e 4. Tem-se (𝑧 + 4). (𝑧 + 3) = 0 e resultando 
𝑧 = −4 e 𝑧 = −3 como soluções. 
 
d) Para esta equação, os valores numéricos em produto, devem resultar 12 e em soma 
-7, sendo então -3 e -4. Tem-se: (𝑧 − 3). (𝑧 − 4) = 0 e a raízes serão: 
 𝑧 = 3 e 𝑧 = 4. 
 
e) A equação 𝑦2 + 2𝑦 + 1 = 0 pode ser fatorada considerando produto notável como 
(𝑦 + 1). (𝑦 + 1) = 0, e as raízes serão iguais e com valores 𝑦 = −1. 
 
f) Na equação 2. 𝑥2 + 5𝑥 + 3 = 0, busca-se dois valores numéricos que somados 
resultem 5 e cujo produto seja 2.3 = 6. Os valores são 2 e 3. Reescrevendo o termo 
central (5x) com estes dois valores tem-se 2x e 3x. A equação torna-se 2. 𝑥2 + 2𝑥 
+ 3𝑥 + 3 = 0 Nos dois primeiros termos pode-se evidenciar 2x e nos dois últimos 
termos pode-se evidenciar o 3 sendo: 2𝑥. (𝑥 + 1) + 3(𝑥 + 1) = 0. Observa-se que 
há um fator comum entre parênteses, o que permite reorganizar a equação (𝑥 + 1). 
(2𝑥 + 3) = 0. O primeiro fator 𝑥 + 1 = 0 apresenta raiz 𝑥 = −1; e o fator 2𝑥 + 3 
= 0 apresenta raiz . 
 
g) Na equação 𝟒. 𝒚𝟐 + 𝟖𝒚 + 𝟑 = 𝟎 busca-se dois números cujo produto resulte 3 . 4 
= 12 e cuja soma seja 8. Os valores serão 2 e 6, que permitem reescrever o termo 
central da equação como sendo 4. 𝑦2 + 2𝑦 + 6𝑦 + 3 = 0. 
Pode-se agrupar os dois primeiros termos e os dois últimos, evidenciando fatores 
comuns, que resulta em 2𝑦. (2𝑦 + 1) + 3(2𝑦 + 1) = 0. O fator (2𝑦 + 1) é 
comum, o que permite reescrever (2𝑦 + 3). (2𝑦 + 1) = 0. Considerando o 
 
 
primeiro fator tem- para a primeira raiz; e o segundo fator resulta 𝑦 = 
 para a segunda raiz da equação. 
 
h) Reorganizando a equação 3. 𝑧2 = 2. 𝑧 + 1 tem-se 3. 𝑧2 − 2. 𝑧 − 1 = 0 que pode 
ser fatorada buscando 2 valores numéricos cuja soma seja -2 e cujo produto seja 
igual a -3. Os valores obtidos são -3 e 1. Reescrevendo o termo central tem-se: 
3. 𝑧2 − 3. 𝑧 + 𝑧 − 1 = 0 e agrupando termos tem-se 3. 𝑧(𝑧 − 1) + 1(𝑧 − 1) = 0 
Pode-se reescrever (3𝑧 + 1). (𝑧 − 1) = 0, que permite calcular a primeira raiz pelo 
termo e a segunda raiz é calculada por 𝑧 − 1 = 0 ou 
𝑧 = 1. 
 
i) Neste caso, usando produto notável, a fatoração de 𝑥2 − 25 = 0 é reescrita como 
sendo (𝑥 + 5). (𝑥 − 5) = 0. As raízes são 𝑥 = −5 e 𝑥 = 5. 
 
j) Para a equação 2. multiplica-se por 2 para eliminar a fração, resultando 
4. 𝑦2 − 9 = 0. que é um produto notável podendo ser reescrito como (2𝑦 + 3).(2𝑦 
− 3) = 0. O primeiro fator resulta na raiz e o segundo fator resulta 
para a raiz. 
 
Resolver as equações completando os quadrados. 
 
a) 𝑥2 − 6𝑥 = 16 
b) 𝑥2 + 4𝑥 = 5 
c) 𝑥2 + 12𝑥 = −11 
d) 2. 
e) 2𝑥2 − 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 16 
 
FATORAÇÃO II 
a) Na equação 𝑥2 − 6𝑥 = 16 o valor de b = -6. Calculando , resulta 
, que é o valor a ser somado no lado esquerdo e direito da 
igualdade. Tem-se 𝑥2 − 6𝑥 + 9 = 16 + 9 , reescrevendo o lado esquerdo com um 
produto notável e fazendo a soma no lado direito da igualdade resulta: (𝑥 − 3)2 = 
25. Extraindo a raiz em ambos os lados da igualdade tem-se 𝑥 − 3 = ±5. A 
primeira raiz é obtida pela resolução de 𝑥 − 3 = 5 cujo valor é 𝑥 = 8 e a segunda 
raiz é obtida por 𝑥 − 3 = −5 com valor 𝑥 = −2. 
 
b) Na equação 𝑥2 + 4𝑥 = 5, tem-se b = 4 que leva ao cálculo de 
 , valor que deve ser somado aos dois lados da igualdade 
para completar o quadrado. Tem-se 𝑥2 + 4𝑥 + 4 = 5 + 4, reescrevendo o lado 
esquerdo como produto notável, e realizando a soma no lado direito vem (𝑥 + 2)2 
= 9. Extraindo a raiz quadrada resulta: 𝑥 + 2 = ±3. Resolvendo a equação 𝑥 + 2 
= 3 tem-se a primeira raiz que é 𝑥 = 1; e resolvendo 𝑥 + 2 = −3 tem-se a 
segunda raiz que é 𝑥 = −5. 
 
c) Na equação 𝑥2 + 12𝑥 = −11 tem-se o valor b = 12 o que faz 
 a ser somado nos dois lados da igualdade, resultando 
𝑥2 + 12𝑥 + 36 = −11 + 36. O lado esquerdo da equação é reescrito com produto 
notável e no lado direito soma-se os valores numéricos resultando (𝑥 + 6)2 = 25. 
Extraindo a raiz quadrada vem: 𝑥 + 6 = ±5. A primeira raiz vem da solução de 𝑥 + 
6 = 5 que resulta em 𝑥 = −1 e a segunda raiz vem de 𝑥 + 6 = −5 resultando 𝑥 = 
−11. 
 
d) A equação 2. deve ser dividida por 2. Tem-se a equação 
 equivalente com b = -4. Calculando 
somando este valor aos dois lados da igualdade vem No 
lado esquerdo usa-se produto notável e no lado direito emprega-se m.m.c. para o 
trabalho com frações resultando . Extraindo raiz quadrada nos dois 
lados da igualdade vem . Resolvendo tem- como 
a primeira raiz, e resolvendo , tem- para a segunda raiz. 
 
e) Para a equação 2𝑥2 − 𝑥 = 𝑥2 − 7𝑥 + 16, agrupando os termos de iguais potências 
em x, leva a 2𝑥2 − 𝑥2 − 𝑥 + 7𝑥 = 16 ou 𝑥2 + 6𝑥 = 16. 
O valor de b = 6, leva ao cálculo Somando este valor aos 
dois lados da igualdade 𝑥2 + 6𝑥 + 9 = 16 + 9 e aplicando produto notável ao lado 
esquerdo da igualdade, e somando os dois valores do lado direito vem: (𝑥 + 3)2 = 
25. Extraindo raiz quadrada resulta 𝑥 + 3 = ±5. Tomando o sinal positivo 𝑥 + 3 
= 5, resulta 𝑥 = 2 para uma raiz, e tomando o sinal negativo 𝑥 + 3 = −5, resulta 𝑥 
= −8 para a outra raiz. 
 
Bhaskara 
 
Usando a fórmula de Bhaskara, determine as raízes das funções quadráticas: 
 
a) 𝑥2 + 9𝑥 + 8 = 0 
b) 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 
c) 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0 
d) 𝑥2 − 12𝑥 + 36 = 0 
e) 𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 0 
f) 𝑥2 + 6𝑥 + 13 = 0 
 
a) Para a equação 𝑥2 + 9𝑥 + 8 = 0 tem-se: a =1, b = 9 e c = 8, que substituído na 
fórmula de Bhaskara, resulta: 
. 
Com o uso do sinal positivo tem- e com o uso do sinal negativo 
tem- . As duas raízes são reais e distintas. 
 
b) Para a equação 𝑥2 − 5𝑥 + 6 = 0 tem-se: a =1, b = -5 e c = 6, que substituído na 
fórmula de Bhaskara resulta: 
. 
Com o uso do sinal positivo tem- e com o uso do sinal negativo 
tem- . As duas raízes são reais e distintas. 
 
 
c) Para a equação 𝑥2 + 8𝑥 + 16 = 0 tem-se: a =1, b = 8 e c = 16, que substituído na 
fórmula de Bhaskara resulta: 
. 
 
Com o uso do sinal positivo tem- e com o uso do sinal negativo 
tem- . As duas raízes são reais e iguais. 
 
d) Para a equação 𝑥2 − 12𝑥 + 36 = 0 , tem-se: a =1, b = -12 e c = 36, que substituído 
na fórmula de Bhaskara resulta: 
. 
 
Com o uso do sinal positivo tem- e com o uso do sinal negativo 
tem- . As duas raízes são reais e iguais. 
 
e) Para a equação 𝑥2 + 4𝑥 + 6 = 0 tem-se: a =1, b = 4 e c = 6, que substituído na 
fórmula de Bhaskara resulta: 
. 
 
Com o uso do sinal positivo tem- e com o uso do sinal 
negativo tem- . As duas raízes são complexas. 
 
 
f) Para a equação 𝑥2 + 6𝑥 + 13 = 0 tem-se: a =1, b = 6 e c = 13, que substituído na 
fórmula de Bhaskara resulta: 
. 
Com o uso do sinal positivo tem- e com o uso do sinal negativo 
tem- . As duas raízes são complexas. 
 
 
Tema 
Inequações 
 
inequações lineares 
Uma inequação linear pode ter uma das seguintes formas: 
ax+b<0 
ax+b≤0 
ax+b>0 
ax+b≥0 
onde a e b são números reais com a≠0. 
IMPORTANTE: A resolução de uma inequação linear segue os mesmos 
passos da resolução de uma equação linear. 
 
Vamos ver como uma inequação funciona na prática? 
Para resolvermos a inequação 3x-15≥0 vamos somar 15 aos dois membros: 
3x-15+15≥0+15, que resulta em 3x+0≥15. 
Como 3x+0=3x, temos: 3x≥15. 
O próximo passo é dividir ambos os membros por 3: 
 
Dividindo 3 por 3, e 15 por 3, temos: x≥5. 
 
Portanto, a solução do problema corresponde a x≥5. Nesse caso, a solução da 
inequação corresponde a todos os valores de x maiores ou iguais a 5. 
Graficamente, temos: 
 
 
Mais uma vez, chegou a hora de você testar o que aprendeu. 
Resolva as inequações lineares e depois confira o resultado, clicando no ícone 
abaixo. 
a. 4x - 3 > 3x - 1 
b. 5x - 8 ≥ 2x + 4 
c. 3x - 5 > 6 - 4x 
d. 4 - 6x ≥ 7 - 2x 
e. 2x - 9 < 4-3x 
f. 8x + 1 ≤ 3 - 10x 
Verifique os resultados, clicando no documento a seguir: 
 
a) A inequação 4𝑥 − 3 > 3𝑥 − 1 é resolvida por: 
Somando 3 4𝑥 > 3𝑥 + 2 
 Subtraindo 3x 𝑥 > 2 
A solução 𝑥 > 2 pode ser representada na forma de intervalo (2; +∞) ou ]2;+∞[ 
 
b) A inequação 5𝑥 − 8 ≥ 2𝑥 + 4 é resolvida por: 
Somando 8 5𝑥 ≥ 2𝑥 + 12 
 Subtraindo 2x 3𝑥 ≥ 12 
 Dividindo por 3 𝑥 ≥ 4 
A solução 𝑥 ≥ 4 pode ser representada na forma de intervalo [4:+∞) ou [4: +∞[ 
 
c) A inequação 3𝑥 − 5 > 6 − 4𝑥 é resolvida por: 
Somando 5 3𝑥 > 11 − 4𝑥 
Somando 4x 7𝑥 > 11 
 Dividindo por 7 
A solução pode ser representada na forma de intervalo 
 ] 
 
d) A inequação 4 − 6𝑥 ≥ 7 − 2𝑥 é resolvida por: 
Somando 6x 4 ≥ 7 + 4𝑥 
Subtraindo 7 −3 ≥ 4𝑥 
 Dividindo por 4 ou 
A solução pode ser representada na forma de intervalo 
 ] ou 
 
 
 
e) A inequação 2𝑥 − 9 < 4 − 3𝑥 é resolvida por: 
Somando 3x 5𝑥 − 9 < 4 
 Somando 9 5𝑥 < 13 
 Dividindo por 5 
A solução pode ser representada na forma de intervalo 
 ] [ ou 
 
f) A inequação 8𝑥 + 1 ≤ 3 − 10𝑥 é resolvida por: 
Somando 10x 18𝑥 + 1 ≤ 3 Subtraindo 1 
18𝑥 ≤ 2 
 Dividindo por 18 ou 
A solução pode ser representada na forma de intervalo 
 ou 
 
Inequações lineares (quadráticas) 
 
Em relação às inequações quadráticas, o primeiro passo é determinarmos as 
raízes utilizando a fórmula quadrática. Depois basta determinarmos quais são 
os valores da variável que satisfazem a desigualdade. 
Vamos considerar, como exemplo, a resolução da inequação 
x2-8x-20>0. Sabemos que as raízes dessa equação correspondem a x1 = 10 e 
x2 = -2. Podemos perceber que os valores que satisfazem a inequação x2-8x-
20>0 são os valores de x menores do que -2 ou os valores de x maiores do que 
10. Matematicamente podemos escreverx < -2 ou x > 10. 
 
 
Se o objetivo for resolver a inequação 
x2-8x-20≤0, a solução corresponde aos valores de x entre -2 e 10, ou seja, -
2≤x≤10. Graficamente, a representação fica assim: 
 
 
 
Agora, chegou a vez de resolver as inequações quadráticas. 
Vamos lá! 
a. x2 - 7x ≤ 18 
b. 3x2 + 8x + 4 > 0 
c. 4x2 ≥ 4x - 1 
d. 18 - 17x < x2 
Confira os resultados, clicando no ícone a seguir: 
 
a) Para a inequação 𝑥2 − 7𝑥 ≤ 18, reescrevendo vem: 𝑥2 − 7𝑥 − 18 ≤ 0. Calculando 
as raízes da equação 𝑥2 − 7𝑥 − 18 = 0, tem-se 𝑥1 = 9 e 𝑥2 = −2 para as abcissas 
das intersecções com o eixo horizontal (x). O coeficiente “a” do termo de 𝑥2 é 
positivo (1) indicando que a parábola está voltada para cima, tendo seu gráfico 
abaixo do eixo das abcissas (a inequação busca ≤ 0) no intervalo entre as 
raízes. O sinal de igual inclui os extremos do intervalo na solução, resultando [ −2; 
9] ou −2 ≤ 𝑥 ≤ 9. 
 
b) Para 3𝑥2 + 8𝑥 + 4 > 0 calcula-se as raízes da equação 3𝑥2 + 8𝑥 + 4 = 0 que 
resultam para as abcissas dos pontos de intersecção com o 
eixo horizontal. O coeficiente “a” da equação é positivo, indicando que a parábola 
está voltada para cima (côncava para cima). A parte do gráfico que fica acima do eixo 
das abcissas (a inequação busca > 0) apresenta-se em 2 partes, uma delas à 
esquerda de 𝑥1 = −2 e a outra à direita de resultando na forma de intervalo 
. 
 
c) Para 4𝑥2 ≥ 4𝑥 − 1 pode-se reescrever 4𝑥2 − 4𝑥 + 1 ≥ 0 Resolvendo a equação 
4𝑥2 − 4𝑥 + 1 = 0 tem-se uma raiz dupla de valor . Uma única raiz (ou uma 
raiz dupla) indica que o gráfico toca o eixo das abcissas no ponto 
. O coeficiente do termo em 𝑥2 é positivo, indicando que a parábola é 
côncava para cima. Para a solução da inequação, serão aceitos todos os valores 
reais devido nenhum ponto de o gráfico da parábola estar abaixo do eixo das 
abcissas. Na forma de intervalo (−∞; +∞). 
 
d) Para 18 − 17𝑥 < 𝑥2 pode-se reescrever 18 − 17𝑥 − 𝑥2 < 0 . Resolvendo a 
equação 18 − 17𝑥 − 𝑥2 = 0 tem-se as raízes 𝑥1 = −18 e 𝑥2 = 1. O coeficiente do 
termo em 𝑥2 é negativo (-1) indicando que a parábola está voltada para baixo 
(côncava para baixo). Pela inequação, deseja-se valores menores que zero, 
correspondendo aos valores à esquerda de x = -18 e à direita de x = 1. Na forma de 
intervalo tem-se (−∞; −18) ∪ (1; +∞).