Lista de Exercícios - Vetores

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Última atualização: 11/02/2008. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Cursos de Engenharia 
 Disciplina: Geometria Analítica 
 Professor(a): _____________________________________________ 
 Aluno(a): ________________________________________________ 
 
 3ªªªª Lista de Exercícios 
 
 2 
Questão 1. 
Questão 3. 
Questão 4. 
Questão 5. 
Questão 2. 
Questão 6. 
Questão 7. 
Considere um paralelogramo ABCD e faça o que se pede. 
 
 I – Determine geometricamente: 
 a) 
→
+DAC b) 
→
−+ )DB(B c) 
→→
+DAAB 
 d) 
→→
+DCBA e) 
→→
+ ABAD f) 
→→
+CAAB 
 g) 
→→
+DAAC h) 
→→→
++ BCCAAB i) 
→→
++ CAABD j) 
→→→
++ ADDBBC 
II – Escreva os vetores dados a seguir como combinação linear dos vetores 
→
ABe 
→
AD , sabendo que M e N 
são pontos médios de AC e AB, respectivamente. 
 a) 
→
AB b) 
→
AC c) 
→
DA d) 
→
AM e) 
→
BM f) 
→
MN 
 
Considere um paralelepípedo de arestas AB, AD e AE e dê o valor lógico (Verdadeiro ou Falso) 
 das afirmações dadas a seguir. 
 
a) CD AB+
���� ����
 é L.I. b) FG e DA
���� ����
 são L.I. c) AB, AC e AD
���� ���� ����
 são L.I. 
d) EF e FG
��� ����
 são L.D. e) AD, DH e HG
���� ���� ����
 são L.D. f) HG, BF e AD
���� ���� ����
são L.I. 
g) FE, DH e AF
��� ���� ����
são L.D. h) AC e GE
���� ����
 são L.I. 
i) AC BE GB e AG+ +
���� ���� ���� ����
 são L.I. j) AF HF e AH−
���� ���� ����
 são L.D. 
 
Considere um paralelepípedo de arestas AB, AD e AE e a base 








=
→→→
AE,AD,ABα . 
 Determine: 
 a) As coordenadas dos vetores 
→
AC , 
→
DG e 
→
HB em relação à base α . 
 
 b) As coordenadas dos pontos F e G em relação ao sistema 







 →→→
AE,AD,AB,A . 
 
 
Considere o ponto ( )351 −= ,,A e os vetores ),,(v 210=� , ),,(u 021=� e ),,(w 111=� e determine: 
 a) wvu
���
++ 2 b) wu
��
+− c) u
�
⋅
2
1
 d) vAB
�
+= 
 
 
Em cada item dado a seguir, verifique se os vetores são LI. 
 a) )0,0,1(u −=
�
 b) )3,2,1(v =
�
 e )0,0,0(u =
�
 
 c) )1,3,1(u −=
�
 e )3/3,1,3/1(v −−=
�
 d) )2,1,1(u =
�
, )1,0,1(v =
�
 e )1,1,0(w =
�
. 
 
 
Considere os pontos A(0,0,0), B ( 1,0,3) , C( 2,3,0), D(1,3,-3) e E(0,0,3) . 
Verifique se: 
a) ABCD é um paralelogramo. b) ABCE é um paralelogramo. 
c) ABCE é um tetraedro. d) AB, AC e AE são arestas de um paralelepípedo. 
 
Sejam ( )102 −= ,,u� , ( )130 ,,v =� , ( )264 −−= n,,mw� , A(1,–2,0), B(–2,–2,1) e C(3,0,2). 
 Faça o que se pede: 
a) Verifique se o conjunto }AB,v,u{
→
��
 é L.I. ou L.D. 
b) Determine as coordenadas do ponto D, vértice do paralelogramo ABCD. 
c) Determine um vetor a
�
 que tenha o sentido oposto de u
�
 e o dobro do módulo deu
�
. 
d) Calcule os valores de m e n para que w
�
 seja paralelo ao vetor vu
��
+ . 
 
 
 3 
Questão 8. 
Questão 9. 
Questão 11. 
Questão 10. 
Questão 12. 
Questão 13. 
Questão 14. 
Questão 15. 
Considerando 2=u
�
, av =
�
, o ângulo entre os vetores u
�
 e v
�
igual a °45 e 
o produto 23=⋅ vu
��
, determine: 
a) O módulo do vetor v
�
. b) uu
��
⋅ c) ( )uvu ��� −⋅ 3 d) v
u
proj
�
�
 
 
Sejam os vetores ),,(u 303−=
�
, )2 , ,(v 10=
�
 e kjiw
���
�
−+= 22 . Determine: 
a) O módulo de w
�
. b) O versor de v
�
. c) o ângulo entre vetores u
�
 e v
�
. 
d) O vetor de mesmo sentido que v
�
 e de módulo igual a 53 . 
e) O vetor a
�
 tal que ( a
�
,u
�
) = 180
o
 e o módulo de a
�
 = 22 . 
f) Um vetor ortogonal a u
�
. g) A projeção do vetor v
�
 na direção do vetor u
�
. 
h) 0s cossenos diretores do vetor w
�
. 
 
 
Determine as coordenadas do vetor v
�
sabendo que 10=v
�
 e que dois dos seus 
 cossenos diretores são 
5
3
=αcos e 0=βcos . 
 
Considere os vetores u
�
, v
�
 e w
�
ortogonais dois a dois, tais que 
1== wu
��
 e 2=v
�
. Determine geometricamente: 
 a) vu
��
× b) uw
��
× c) wu
��
× d) vw
��
× e) ( )wuw ��� 2+× 
 
 
Considere os vetores )3,0,1(u −=
�
, )3 ,1 ,0(v =
�
 e k6i2w
��
�
−= e determine: 
a) Um vetor ortogonal aos vetores u
�
 e v
�
. 
b) A área do triângulo ABC onde v2AB
�
=
→
 e uBC
�
−=
→
. 
c) A área do paralelogramo ABCD, onde wAD
�
=
→
 e vAC
�
=
→
. 
d) ( )vuw ��� ×⋅ 
 
Considere o paralelogramo ABCD onde A (1,0,3), C(2, 2,3) e )1,3,0(AB −=
→
. 
 Determine: 
 a) As coordenadas dos outros dois vértices. 
 b) A área desse paralelogramo. 
 
Considere o retângulo ABCD tal que )0,3,1(AC =
→
e dois dos cossenos diretores de 
→
AB 
 são 
5
52−
=αcos e 
5
5
=βcos . Determine: 
 a) As coordenadas do vetor 
→
AB . b) A área do triângulo ADC. 
 
 
Considere os vetores )3,0,1(u −=
�
, )3 ,1 ,0(v =
�
, ( )912 ,,t −=
�
 e kjiw
���
�
+−= 3 . 
 I - Determine: 
 a) [ ]w,v,u ��� b) [ ]w,u,v ��� c) [ ]t,v,u ��� 
 
 II – Verifique se os conjuntos de vetores a seguir são bases do espaço e, em caso afirmativo, classifique 
 a base em positiva ou negativa. 
 a) { }w,v,u ��� b) { }w,u,v ��� c) { }t,v,u ��� 
 
 
 
 4 
Questão 17. 
Questão 16. 
Questão 18. 
Questão 19. 
Questão 20. 
Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que: 
 
 (i) A ( 1,2,3), B( 2, 3, 4), ),,(AD 031=
→
 e |
→
AE | = 22 . 
(ii) Dois dos cossenos diretores de 
→
AE são 
2
2
=βcos e 
2
2
=γcos . 
 
I - Determine: 
a) O volume desse paralelepípedo. 
b) A área da base ABCD. 
c) As coordenadas do ponto F, sabendo que ABFE é uma das faces desse paralelepípedo. 
d) A altura desse paralelepípedo em relação à base ABCD. 
 
II - Responda: Por que a altura desse paralelepípedo em relação à base ABCD não coincide 
com o módulo do vetor 
→
AE? . 
 
 
Considere que os pontos A(1,–2,3), B(4,–2,6), C(1,0,4) e D(1,-2, -1) 
são vértices de um tetraedro. Calcule o volume desse tetraedro e 
 a área da base ACD. 
 
 
Do paralelepípedo de arestas AB, AD e AE sabe-se que ( )111 ,,A = , ( )112 ,,B = , ( )153 ,,D = 
 e que o ponto E pertence ao eixo Oz. Determine as coordenadas de E para que o volume desse paralelepípedo 
 seja igual a 12 unidades de volume. 
 
 
Do paralelogramo ABCD sabe-se que: 
 (i) ),,(AD 201=
→
 e os cossenos diretores de 
→
AC são agudos e congruentes. 
 (ii) Os vetores 
→
AE e 
→
AC são L.D. e 0=⋅
→→
AEAD . 
 
 Calcule a área do triângulo ADE. 
 
 
Considere os vetores ( )201 ,,u =� , ( )220 ,,v =� e o tetraedro ABCD tal que: 
 (i) 52=
→
|AB| e °=







 →
0u,AB
�
. 
 (ii) 0
�
�
=×
→
vAC e 12=⋅
→
uAC
�
 (iii) 0
�
�
=⋅
→
uAD e 0
�
�
=⋅
→
vAD 
 Determine as coordenadas do vetor
→
AD para que o volume desse tetraedro seja 48 unidades de volume. 
 
 
 
 
 
1. I - a) B b) D c) 
→
DB d) 0
�
 e) 
→
AC f) 
→
DA g)
→
AB h) 0
�
 i) A j) 
→
AC 
 
 II - a) 
→→→
⋅+⋅= ADABAB 01 b) 
→→→
⋅+⋅= ADABAC 11 c) 
→→→
⋅−+⋅= AD)(ABDA 10 
 
 d) 
→→→
⋅+⋅= ADABAM
2
1
2
1
 e) 
→→→
⋅+⋅−= ADABBM
2
1
2
1
 f) 
→→→
⋅





−+⋅= ADABMN
2
1
0 
Respostas 
 
 5 
2. a) F b) F c) F d) F e) F f) V g) F h) F i) F j) V 
 
3. a) ( )011 ,,AC =
→
, ( )101 ,,DG =
→
 e ( )111 −−=
→
,,HB . 
 b) ( )101 ,,F = e ( )111 ,,G = . 
 
4. a) (2, 5, 5) b) (0, -1, 1) c) (1/2, 1, 0 ) d) B = ( 1, 6, -1) 
 
5. a) LI b) LD c) LD d) LD 
 
6. a) ABCD é um paralelogramo. b) ABCE não é um paralelogramo. 
 c) ABCE é um tetraedro. d) AB, AC e AE são arestas de um paralelepípedo. 
 
7.a) LI b) D(6,0,1) c) (–4,0,2) d) m = –1 e n = 2 . 
 
8. a) 3=v
�
 b)4 c) 429 − d) 
2
23
 
 
9. a) 3 b) 







=
5
52
5
5
0 ,,vo
�
 c) ( )
5
10
arccosv,u =
��
 d) ( )6301 ,,t =
�
 e) ( )6,0,2t2 −=
�
 
 f) ( )z,y,xt3 =
�
, tal que –3x + 3z = 0 e Ry ∈ . g) ( )101 ,,projv
u
−=
�
� h) 
3
2
== βα coscos e 
3
1
=γcos 
 
10. ), ,(v 806=
�
ou ), ,(v 806 −=
�
. 
 
11. a) wvu
���
2=× b) vuw
���
2
1
=× c) vwu
���
2
1
−=× d) uvw
���
2−=× e) ( ) vwuw ����
2
1
2 =+× 
 
12. a) ( )133 −−= ,,t λ
�
 , R∈λ b) 19 unidades de área. c) 192 unidades de área. d) 0. 
 
13. a) ( )2,3,1B = e ( )4,1,2D −= b) 14 unidades de área. 
 
14. a) 




 −= 0,
5
1
,
5
2
AB b) 
10
7
 unidades de área. 
15. I – a) -13 b) 13 c) 0. 
 II – a) { }w,v,u ��� é uma base negativa. b) { }w,u,v ��� é uma base positiva c) { }t,v,u ��� não é uma base. 
16. I - a) 6 unidades de volume. b) ( )652 ,,F = c) 14 unidades de área. d) 
7
143
 unidades de comprimento. 
 II – Porque o vetor 
→
AE não é ortogonal aos vetores 
→
AB e 
→
AD . 
 
17. 4=V unidades de volume e 4=S unidades de área. 
 
18. ( )400 ,,E = ou ( )200 −= ,,E . 
19. 6 unidades de área. 
20. ( )448 ,,AD −−=
→
 ou ( )448 −=
→
,,AD .