Propriedades dos quadriláteros notáveis

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PROPRIEDADES DOS QUADRILÁTEROS NOTÁVEIS
Professora: Claudimar Lopes de Souza
9º ano
PARALELOGRAMOS
Propriedades dos ângulos e lados:
Vamos considerar um paralelogramo ABCD, traçar a diagonal 𝐴𝐶 e observar os ângulos ෝ𝑟,
ෝ𝑠, ො𝑥 e ො𝑦. 
Do paralelismo de 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 com a transversal 𝐴𝐶, vem: Ƹ𝑟 ≡ Ƹ𝑠 (1)
Do paralelismo de 𝐴𝐷 e 𝐵𝐶 com a transversal 𝐴𝐶, vem: ො𝑥 ≡ ො𝑦 (2)
Vamos decompor o paralelogramo em dois triângulos: ΔABC e ΔCDA. Temos: 
ൡ
Ƹ𝑟 ≡ Ƹ𝑠
𝐴𝐶 é comum
ො𝑥 ≡ ො𝑦
⟹ ΔABC ≡ ΔCDA ⟹ ቐ
෡𝐵 ≡ ෡𝐷
𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷
𝐵𝐶 ≡ 𝐷𝐴
(4)
As congruências (1), (2) e (3) permitem enunciar: 
Em qualquer paralelogramo, os ângulos opostos são congruentes.
As congruências (4) e (5) nos dão a propriedade:
Em qualquer paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
ALA (3)
(5)
Propriedades das diagonais
Vamos considerar um paralelogramo ABCD, traçar as diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷, que se cortam em
M, e observar os ângulos ෝ𝑟, ෝ𝑠, ො𝑥 e ො𝑦.
Do paralelismo de 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 com a transversal 𝐴𝐶, vem: Ƹ𝑟 ≡ ො𝑥
Do paralelismo de 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 com a transversal 𝐵𝐶, vem: Ƹ𝑠 ≡ ො𝑦
Note que 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷 e observe os triângulos ABM e CDM:
ൡ
Ƹ𝑟 ≡ Ƹ𝑠
𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷
Ƹ𝑠 ≡ ො𝑦
⟹ ΔABM ≡ ΔCDM ⟹ ቊ𝐴𝑀 ≡ 𝐶𝑀
𝐵𝑀 ≡ 𝐷𝑀
Sendo 𝐴𝑀 ≡ 𝐶𝑀, M é o ponto médio do segmento 𝐴𝐶 .
Como 𝐵𝑀 ≡ 𝐷𝑀, M é o ponto médio do segmento 𝐵𝐷.
Daí podemos escrever: 
Em qualquer paralelogramo as diagonais se cortam ao meio.
As propriedades vistas são válidas para os retângulos, para os losangos e para os 
quadrados, pois eles são paralelogramos particulares.
ALA
Propriedades recíprocas:
Valem as recíprocas das três propriedades que vimos:
• Todo quadrilátero cujos ângulos opostos são dois a dois congruentes
é um paralelogramo.
• Todo quadrilátero cujos lados opostos são dois a dois congruentes é
um paralelogramo.
• Todo quadrilátero cujas diagonais se cortam ao meio é um
paralelogramo.
Lados opostos paralelos e congruentes
Vamos considerar um quadrilátero ABCD com os lados opostos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 paralelos e
congruentes.
𝐴𝐵// 𝐶𝐷 e 𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷
Tracemos agora a diagonal 𝐴𝐶 e vamos observar os ângulos Ƹ𝑟 e Ƹ𝑠
Do paralelismo de 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 com a transversal 𝐴𝐶, vem: Ƹ𝑟 ≡ Ƹ𝑠
Observando os triângulos ABC e CDA, vem:
ൡ
𝐴𝐵 ≡ 𝐶𝐷
Ƹ𝑟 ≡ Ƹ𝑠
𝐴𝐶 é comum
⟹ ΔABC ≡ ΔCDA ⟹ ො𝑥 ≡ ො𝑦
De ො𝑥 ≡ ො𝑦 vem que 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶.
Como 𝐴𝐷 // 𝐵𝐶 e 𝐴𝐵 // 𝐶𝐷 , então ABCD é paralelogramo.
Podemos concluir que:
Todo quadrilátero que possui dois lados opostos paralelos e congruentes é
paralelogramo
LAL
Retângulos
Todo retângulo é um paralelogramo. Por isso, em qualquer retângulo: 
• os ângulos opostos são congruentes;
• os lados opostos são congruentes;
• as diagonais cortam-se ao meio.
Diagonais congruentes
ൡ
𝐵𝐶 ≡ 𝐴𝐷
෠𝐵 ≡ መ𝐴
𝐴𝐵 é comum
⟹ ΔABC ≡ ΔBAD ⟹ 𝐴𝐶 ≡ 𝐵𝐷
Podemos concluir: 
Em qualquer retângulo as diagonais são congruentes.
Vale também a recíproca:
Todo paralelogramo que tem diagonais congruentes é um retângulo.
LAL
Losangos
Todo losango é paralelogramo. Por isso em qualquer losango:
• os ângulos opostos são congruentes;
• os lados opostos são congruentes;
• as diagonais cortam-se ao meio.
Diagonais perpendiculares
Vamos considerar um losango ABCD e seja M o ponto de encontro das diagonais 𝐴𝐶 e 𝐵𝐷.
Sabemos que 𝐴𝑀 ≡ 𝐶𝑀 e 𝐵𝑀 ≡ 𝐷𝑀
Observe os triângulos ADM e CDM e os ângulos ො𝑥 e ො𝑦.
ൡ
𝐴𝐷 ≡ 𝐶𝐷
𝐴𝑀 ≡ 𝐶𝑀
𝐷𝑀 é comum
⟹ ΔADM ≡ ΔCDM ⟹ ො𝑥 ≡ ො𝑦
De ො𝑥 ≡ ො𝑦 e x + y = 180º, concluímos que x = y = 90º; logo, 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷
Em qualquer losango as diagonais são perpendiculares.
Vale também a recíproca: 
Todo paralelogramo que tem diagonais perpendiculares é um losango
LLL
QUADRADOS
Todo quadrado é um paralelogramo, é um retângulo e é um losango. Por isso, um quadrado
qualquer tem todas as propriedades dos paralelogramos, dos retângulos e dos losangos.
Em particular vale para os quadrados a propriedade:
Em qualquer quadrado as diagonais cortam-se ao meio, são congruentes e são
perpendiculares.
• 𝐴𝑀 ≡ 𝐶𝑀 ≡ 𝐵𝑀 ≡ 𝐷𝑀
• 𝐴𝐶 ≡ 𝐵𝐷
• 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷
É válida a recíproca:
Todo paralelogramo que possui diagonais congruentes e perpendiculares é quadrado.
TRAPÉZIO ISÓSCELES
Um trapézio isósceles tem as propriedades já vistas para trapézios em 
geral: 
መ𝐴 + ෠𝐵 + መ𝐶 + ෡𝐷 = 360°
መ𝐴 + ෡𝐷 = 180° 𝑒 ෠𝐵 + መ𝐶 = 180°
Além dessas, há propriedades características do trapézio isósceles,
como veremos a seguir:
Ângulos das bases congruentes
Vamos considerar um trapézio isósceles ABCD de bases 𝐴𝐵 𝑒 𝐶𝐷 e
lados congruentes 𝐴𝐷 𝑒 𝐵𝐶 𝐴𝐷 ≡ 𝐵𝐶 .
Tracemos por C uma paralela a 𝐴𝐷 e determinando um ponto E na base
𝐴𝐵 .
Obtemos, então, um paralelogramo AECD e um triângulo isósceles
CEB.
Observando os ângulos መ𝐴, ෠𝐸 𝑒 ෠𝐵 assinalados na figura, temos:
ൠ
Do ΔCEB isósceles: ෠𝐵 ≡ ෠𝐸
Do paralelogramo: መ𝐴 ≡ ෠𝐸
⟹ መ𝐴 ≡ ෠𝐵 (1)
Por outro lado: መ𝐴 + ෡𝐷 = 180° , ou seja, ෡𝐷 = 180° - መ𝐴
෠𝐵 + መ𝐶 = 180°, ou seja, መ𝐶 = 180° - ෠𝐵
Em vista de (1), vem: መ𝐶 ≡ ෡𝐷 (2)
De (1) e (2), vem: 
Num trapézio isósceles, os ângulos das bases são congruentes
Num trapézio isósceles as diagonais são congruentes
(Esta poderá ser provada pelo caso LAL de congruência de triângulos)
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