aula_4_2013.2

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Profª Aldecira Gadelha, M.Sc.
Aula 4
 Torção em seções circulares.
Tópicos Abordados:
Objetivos:
No estudo da torção serão discutidos os efeitos da 
aplicação de esforços torcionais em elemento 
linear longo, tal como um eixo ou um tubo. 
Será considerado o elemento que tenha seção 
transversal circular.
Determinaremos tanto a distribuição de tensões no 
interior do elemento com o ângulo de torção, 
quando o material comporta-se de maneira linear-
elástica.
APLICAÇÃOAPLICAÇÃO
DEFINIÇÃODEFINIÇÃO
Momentos de torção, momentos torcionais ou torque 
(T e T´) é o momento que tende a torcer o elemento 
em torno do seu eixo longitudinal.
Especificamente, são peças sujeitas à ação de 
conjugados. Tais conjugados são:
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO 
EM UM EIXO CIRCULAREM UM EIXO CIRCULAR
Eixo gira
Seção 
transversal 
apresenta 
uma rotação
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO 
EM UM EIXO CIRCULAREM UM EIXO CIRCULAR
As retas 
longitudinais 
interceptam os 
círculos sempre sob 
mesmo ângulo. 
Retas 
longitudinais
Círculos
Reta radial
Neste ponto, devemos mostrar uma 
propriedade dos eixos circulares:
1. Quando um eixo circular fica submetido à 
torção, todas as seções transversais se 
mantêm planas e conservam sua forma, 
isso ocorre porque o eixo é axissimétrico.
Em outras palavras, enquanto as várias 
seções transversais, ao longo do eixo 
apresentam ângulos de torção diferentes, 
cada seção gira como uma placa rígida.
Podemos então estar certos de que as seções 
transversais se manterão planas e indeformadas 
quando a torção for aplicada.
As deformações resultantes acontecerão de 
maneira uniforme ao longo de todo o comprimento 
do eixo circular.
Todas as deduções vão se basear na suposição de 
extremidades rígidas do eixo.
Seções transversais não 
se mantêm planas e 
perder a forma inicial
Elemento retangular
Análise experimental
Elemento losango
Análise experimental
DETERMINAÇÃO DA DETERMINAÇÃO DA 
DEFORMAÇÃO DE DEFORMAÇÃO DE 
CISALHAMENTOCISALHAMENTO
Tomando agora um eixo 
circular de comprimento L e 
raio c, que foi torcido em um 
ângulo de torção Ф.
antes da deformação
após a deformação
Extermidade 
fixa
Sabendo que a deformação por cisalhamento γ (gama) 
em um certo elemento é medida pela variação do 
ângulo formado pelos lados do elemento.
Assim, a deformação de 
cisalhamento γ deve ser igual ao 
ângulo formado pelas linhas AB e 
A’B.
Portanto, quando γ é pequeno, 
podemos expressar o 
comprimento do arco AA’ por
AA’ = L γ
Ao mesmo tempo, na seção 
transversal extrema, temos:
AA’ = ρ φ
Deste modo, 
Círculos permanecem 
inalterados
ConclusãoConclusão
Então, a deformação 
por cisalhamento é 
máxima na superfície 
da barra circular, 
onde ρ = c. 
Ainda,
ANÁLISE PRELIMINAR DAS ANÁLISE PRELIMINAR DAS 
TENSÕES EM UM EIXOTENSÕES EM UM EIXO
Consideramos o eixo AB sujeito à ação de torção T 
e T´, de mesma intensidade e de sentidos opostos, 
nos pontos A e B.
Cortamos o eixo por uma seção perpendicular ao 
eixo longitudinal em um ponto qualquer C.
 O diagrama de corpo livre da parte BC deve incluir as 
forças elementares de cisalhamento dF que a parte AC 
exerce sobre parte BC, quando o eixo for torcido.
 Para ocorrer o equilíbrio da parte BC, o conjunto de dF deve 
produzir um momento de torção interno.
 Para expressar escrevemos:
TENSÕES NO REGIME TENSÕES NO REGIME 
ELÁSTICOELÁSTICO
Vamos considerar agora o caso em que o 
momento de torção (TORQUE) T tem um valor tal 
que as tensões no material se mantêm abaixo da 
tensão de cisalhamento de escoamento.
Aplicando a Lei de Hooke, temos:
Da equação abaixo e multiplicando por G,
 assim:
Onde: G – módulo de 
elasticidade transversal
x G
ConclusãoConclusão
Distribuições de Tensões de Distribuições de Tensões de 
Cisalhamento na seção Cisalhamento na seção 
transversaltransversal
A integral depende somente da geometria 
do eixo, ou seja, ela representa o momento 
polar de inércia J da área da seção 
transversal do eixo calculada em torno da 
linha central longitudinal do eixo.
τ = (ρ/c) 
τmáx
máx
Arrumando a equação acima:
ÂNGULO DE TORÇÃO NO ÂNGULO DE TORÇÃO NO 
REGIME ELÁSTICOREGIME ELÁSTICO
Esta equação para 
determinar G
Ângulo de torção:
Neste ensaio aplica-se o Torque (T) e enquanto o 
início de escoamento não ocorre, os valores de Ф e 
T serão tais que se levados a um gráfico ФxT, 
resultarão em uma linha reta. 
A declividade da reta representa a quantidade 
JG/L, de onde podemos calcular o módulo de 
elasticidade transversal G. 
Ensaio para determinação de 
G: