gabarito_calculo3_P3_2013

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Terceira Prova de Ca´lculo III - 2013
Unifesp- 1o semestre - 29/08/2013
Nome: Turma:
Matr´ıcula:
Assinatura:
Questa˜o Nota
1
2
3
Total
Instruc¸o˜es:
- Identifique com seu nome completo e sua turma a folha de respostas.
- Na˜o e´ permitido o uso de qualquer equipamento eletroˆnico durante a prova.
- Na˜o sera˜o aceitas respostas sem justificativas.
- A prova pode ser feita a la´pis.
1a Questa˜o (3,0 pontos) Resolva o problema de valor inicial:
(x+ sen(y))dx+ (xcos(y)− 2y)dy = 0, y(0) = 0
Resoluc¸a˜o
Esta e´ uma E.D.O. na forma diferencial
M(x, y)dx+N(x, y)dy = 0
sera´ exata se
∂M
∂y
=
∂N
∂x
e de fato
∂M
∂y
= cos(y) =
∂N
∂x
.
A soluc¸a˜o de uma EDO exata e´ U(x, y) = C2 tal que
∂U
∂x
= M,
∂U
∂y
= N,
ou seja
U(x, y) =
∫
Mdx+ C(y) =
∫
(x+ sen(y))dx+ C(y),
logo
U(x, y) =
x2
2
+ xsen(y) + C(y)
∂U
∂y
= xcos(y) +
dC
dy
= N = xcos(y)− 2y ⇒ dC
dy
= −2y
1
logo C = −y2 + C e´. Assim
U(x, y) =
x2
2
+ xsen(y)− y2 = C
y(0) = 0⇒ 1 · C = 0
logo
U(x, y) =
x2
2
+ xsen(y)− y2 = 0
e´ a soluc¸a˜o do P.V.I.
2a Questa˜o (5,0 pontos) Resolva o problema de valor inicial:
y′′ − y′ − 2y = 4x2, y(0) = 2, y′(0) = 1
Resoluc¸a˜o
Resolvemos a EDO homogeˆnea correspondente
y′′ − y′ − 2y = 0
com y = eλx pois e´ uma EDO de 2a ordem homogeˆnea com coeficientes constantes.
Logo
eλx(λ2 − λ− 2) = 0
λ2 − λ− 2 = 0
e´ a equac¸a˜o caracter´ıstica, onde
λ =
1
2
± 1
2
√
1 + 8 =
{
λ1 = 2
λ2 = −1
Logo y1 = e
2x e y2 = e
−x. Ou seja
yh(x) = c1y1 + c2y2 = c1e
2x + c2e
−x.
Usamos o me´todo dos coeficientes a determinar para determinar yp que deve ter a
forma
yp = k0 + k1x+ k2x
2.
Substituindo yp na EDO na˜o-homogeˆnea temos
2k2 − (k1 + 2k2x)− 2(k0 + k1x+ k2x2) = 4x2
−2k2x2 − (2k2 + 2k1)x+ (2k2 − k2 − 2k0) = 4x2
Logo 
−2k2 = 4
2k2 + 2k1 = 0
2k2 − k1 − 2k0 = 0
∴ k2 = −2
∴ k1 = 2
∴ k0 = k2 − k12 = −2− 1 = −3
2
Assim yp e´ dado por
yp = −3 + 2x− 2x2.
A soluc¸a˜o geral e´ enta˜o
y(x) = yh(x) + yp(x)
y(x) = c1e
2x + c2e
−x − 2x2 + 2x− 3.
A soluc¸a˜o do problema de valor inicial deve satisfazer as condic¸o˜es
y(0) = 2 e y′(0) = 1
y(0) = c1 + c2 − 3 = 2 ∴ c1 + c2 = 5
y′(0) = 2c1 − c2 + 2 = 1 ∴ 2c1 − c2 = 1
c2 = 5− c1 ⇒ 2c1 − (5− c1) = −1 ∴ 3c1 = 4
∴ c1 =
4
3
⇒ c2 = 5− 4
3
=
15− 4
3
=
11
3
E a soluc¸a˜o do PVI e´
y(x) =
4
3
e2x +
11
3
e−x − 2x2 + 2x− 3.
3a Questa˜o (3,0 pontos) Determine a relac¸a˜o de recorreˆncia e escreva os cinco primeiros termos
das soluc¸o˜es em se´rie de poteˆncias da EDO abaixo:
y′ + xy = 0
Resoluc¸a˜o
Suponha
y(x) =
∞∑
m=0
amx
m.
Substituindo na EDO
∞∑
n=1
nanx
n−1 +
∞∑
n=0
anx
n+1
︸ ︷︷ ︸
n→n−2
= 0
∞∑
n=1
nanx
n−1 +
∞∑
n=2
an−2xn−1 = 0
a1 +
∞∑
n=2
{nan + an−2}xn−1 = 0
3
comparando os coeficientes de x
a1 = 0
an = −an−2
n
, n ≥ 2
assim a0 e´ indeterminado e aj = 0, se j for ı´mpar, pois a1 = 0
a2 = −a0
2
, a4 = −a2
4
=
a0
8
a6 = −a4
6
= −a0
48
portanto,
y(x) = a0
(
1− x
2
2
+
x4
8
− x
6
48
. . .
)
= a0e
−x2
2
4