8Funcoes_trigonometricas

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8. Derivadas das funções trigonométricas 
 
Obteremos agora a derivada de uma importante categoria de funções da Matemática: as 
funções trigonométricas, bem como das suas inversas. Essencialmente encontraremos a 
derivada da função ( ) ( )f x sen x= e da função ( ) ( )cosf x x= , onde x é um número real 
que representa a medida em radianos de um arco. 
Para essa finalidade vamos estabelecer dois limites muito importantes. O primeiro é 
( )
0
lim 1
sen
θ
θ
θ→
= . Para provar esse fato, consideremos a figura a seguir. 
 
Nela estão mostrados uma circunferência de centro no ponto O e raio r , bem como os 
triângulos retângulos ABO e DCO . Nessa figura, θ representa a medida, em radianos, 
do ângulo ˆAOB . Sabemos que a medida θ do ângulo ˆAOB em radianos é dada por 
�AC
r
θ = , ou seja, 
�AC r θ= ⋅ . 
 Também da figura, podemos concluir que ( ) ABsen
r
θ = , ou seja, 
( )AB r sen θ= ⋅ 
e que ( ) DC DCtg
rOC
θ = = , ou seja, 
( )DC r tg θ= ⋅ . 
Vamos guardar esses valores momentaneamente e voltarmos a examinar a figura. 
A partir dela, notamos que 
�AC AC DC≤ ≤ . 
Nossa idéia é utilizar essa desigualdade para calcularmos ( )
0
lim
sen
θ
θ
θ→
. De fato, a partir 
da desigualdade acima e dos valores obtidos acima, temos que 
( ) ( )r sen r r tgθ θ θ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ 
 
Dividindo todos os membros por r , obtemos: 
( ) ( ) ( )( )cos
sen
sen tg
θθ θ θ
θ
≤ ≤ = . 
Agora dividindo todos os membros por ( )sen θ , obtemos: 
( ) ( )
11
cossen
θ
θ θ
≤ ≤ 
Invertendo essas frações, obtemos 
( ) ( )1 cossen θ θθ≥ ≥ . 
Agora, tomando o limite quando 0θ → , obtemos: 
( ) ( )
0 0 0
lim1 lim limcos
sen
θ θ θ
θ θ
θ→ → →
≥ ≥ 
Como ( )
0 0
lim1 limcos 1
θ θ
θ
→ →
= = , temos pelo Teorema do Confronto1 que 
( )
0
lim 1
sen
θ
θ
θ→
= 
O segundo limite muito importante para nos ajudar no cálculo da derivada das funções 
trigonométricas é ( )
0
cos 1
lim 0
θ
θ
θ→
−
= . Para obtê-lo, vamos usar o limite anterior. De fato, 
basta observar que: 
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )( )
( )
( )( )
( ) ( )
( )
2 2
0 0 0 0
0
cos 1 cos 1 cos 1 cos 1
lim lim lim lim
cos 1 cos 1 cos 1
0lim 1 0.
cos 1 2
sen
sen sen
θ θ θ θ
θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ θ θ θ θ
θ θ
θ θ
→ → → →
→
− − + − −
= ⋅ = = =
+ ⋅ + ⋅ +
− ⋅ = − ⋅ =
+
 
Atente bem que, no cálculo acima, usamos que ( )
0
lim 0sen
θ
θ
→
= e que ( )
0
limcos 1
θ
θ
→
= . 
Portanto, acabamos de verificar que: 
( )
0
cos 1
lim 0
θ
θ
θ→
−
= 
 
Vejamos agora como obter as derivadas das principais funções trigonométricas. 
Comecemos pela função ( ) ( )f x sen x= . Vamos calcular sua derivada no ponto x 
utilizando a definição . 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. O teorema do confronto diz que se , e f g h são funções tais que ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ , para todo x 
próximo de a e se ( ) ( )lim lim
x a x a
f x h x L
→ →
= = , então ( )lim
x a
g x L
→
= . 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
cos cos
' lim lim
cos 1
lim limcos 0 cos 1 cos
h h
h h
sen x h sen x sen x h sen h x sen x
sen x
x h
h sen h
sen x x sen x x x
h h
→ →
→ →
+ − + −
= = =
 − 
+ = ⋅ + ⋅ = 
 
 
 
Em resumo 
 
( )( ) ( )' cossen x x= . 
 
Passemos agora ao cálculo da derivada da função ( ) ( )cosf x x= , no ponto x , utilizando 
a definição. 
 
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
0 0
0 0
cos cos cos cos cos
cos ' lim lim
cos 1
limcos lim cos 0 1
h h
h h
x h x x h sen h sen x x
x
x h
h sen h
x sen x x sen x sen x
h h
→ →
→ →
+ − − −
= = =
 − 
− = ⋅ − ⋅ = − 
 
 
 
Em resumo 
 
( )( ) ( )cos 'x sen x= − . 
 
 A partir dessas, podemos determinar as derivadas das outras funções trigonométricas: 
( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
cos
tan , tan
cos
sen x xf x x f x co x
x sen x
= = = = , ( ) ( ) ( )
1
sec ,
cos
f x x
x
= = e 
( ) ( ) ( )
1
cof x sec x
sen x
= = . 
 
Utilizaremos essencialmente a regra para a derivada do quociente de duas funções. 
Comecemos pela derivada de ( ) ( )( ) ( )tancos
sen xf x x
x
= = . 
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
22 2
2
2 2 2
cos ' cos '
tan '
cos cos
cos cos cos 1 1
sec
cos cos cos cos
x sen x sen x xsen xf x x f x
x x
x x sen x sen x x sen x
x
x x x x
⋅ − ⋅
= = ∴ = =
⋅ − ⋅ −  +
= = = =     
  
 
 
Em resumo: 
 
( )( ) ( )2tan ' secx x= . 
 
Comecemos pela derivada de ( ) ( )( ) ( )
cos
tan
xf x co x
sen x
= = . 
( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
22 2
2
2 2 2
cos ' cos 'cos
tan '
cos cos cos 1 1
sec
sen x x x sen xxf x co x f x
sen x sen x
sen x sen x x x x sen x
co x
sen x sen x sen x sen x
⋅ − ⋅
= = ∴ = =
⋅ − − ⋅  − −
= = − = − = −     
  
 
Em resumo: 
 
( )( ) ( )2tan ' secco x co x= − . 
 
Agora passaremos à derivada da função ( ) ( ) ( )
1
sec
cos
f x x
x
= = . 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
cos 1 ' 1 cos '1
sec '
cos cos
cos 0 1
sec tan
cos cos cos cos
x xf x x f x
x x
x sen x sen x sen x
x x
x x x x
⋅ − ⋅
== = ∴ = =
⋅ − −
= = ⋅ = ⋅
 
Em resumo, 
 
( )( ) ( ) ( )sec ' sec tanx x x= ⋅ . 
 
Finalmente, chegamos ao cálculo da derivada da função ( ) ( ) ( )
1
cof x sec x
sen x
= = . 
 
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )( )
( )
( ) ( )( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2
1 ' 1 '1
co '
0 cos cos cos1
sec tan
sen x sen xf x sec x f x
sen x sen x
sen x x x x
co x co x
sen x sen x sen x sen x
⋅ − ⋅
= = ∴ = =
⋅ −
= − = − ⋅ = − ⋅
 
Em resumo, 
 
( )( ) ( ) ( )sec ' sec tanco x co x co x= − ⋅ . 
 
 
 
Exercícios propostos 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. Calcule a derivada das seguintes funções 
 
a. ( ) xxf 2cos= c. ( ) ( )53cos 2 ++= xxxf 
b. ( ) ( )2 2f x sen x x= + d. ( ) xsenxf 33= 
e. . 2( ) t (2 3 1)f x g x x= − + 
 
f. s n( )
1 cos
e xf x
x
=
+
, 
 
 
 
2. Calcule o valor da derivada da função ( ) xsenxxf 33cos += no ponto em que 
2
pi
=x . 
 
3. Se yxy =)cos( , determine 
dx
dy
. 
 
4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de yx cos= no ponto 





 −
3
,
2
1 pi
. 
 
 
 
 
5. Calcule os seguintes limites trigonométricos. 
 
(a) ( )
0
6
lim
sen
θ
θ
θ→
 
(b) ( )0lim 7senθ
θ
θ→
 
(c) ( )( )0
3
lim
8
sen
senθ
θ
θ→
 
(d) ( )
4
4
lim
4x
sen x
x→
−
−
 
(e) ( )
0
cos 2 1
lim
z
z
z→
−
 
 
_______________________________________________ 
Soluções 
 
 
a. 1. A função externa é ( ) xxg cos= e a interna é ( ) xxh 2= . Logo, usando a regra 
da cadeia, ficamos com: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xsenxsenxhxhgxf 2222''' −=×−== . 
 
b. A função externa é ( ) senxxg = e a interna é ( ) 2 2h x x x= + . Logo, usando a regra 
da cadeia, ficamos com: 
 
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2' ' ' cos 2 2 2f x g h x h x x x x= = + × + . 
 
c. A função externa é ( ) xxg cos= e a interna é ( ) 53 2 ++= xxxh . Logo, usando a 
regra da cadeia, ficamos com: 
 
( ) ( ) ( )1653' 2 +×++−= xxxsenxf . 
 
 
d. Aqui temos uma composição de três funções. Podemos raciocinar como antes. 
Mas podemos usar uma outra idéia. Vamos derivando “de fora para dentro” do 
seguinte modo: derivamos a mais externa, sem mexer em quem está dentro dela. Em 
seguida multiplicamos esse resultado pela derivada segunda mais externa, sem 
mexer em quem está dentro dela. E assim sucessivamente. Feito isso, ficaremos 
com: 
( ) ( )( ) ( ) 33cos33' 2 ××= xxsenxf . 
 
 
e. 2 2( ) sec (2 3 1) (4 3)f x x x x′ = − + ⋅ − 
 
 
f. 
2 2
2 2 2
(1 cos )(cos ) (s n )( s n ) cos cos s n cos 1 1( ) (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 1 cos
x x e x e x x x e x xf x
x x x x
+ − − + + +
′ = = = =
+ + + +
 
 
 
 
2. Note que ( ) ( ) ( ),xnxmxf += onde ( ) xxm 3cos= e ( ) xsenxn 3= . Assim vamos 
usar a regra da cadeia duas vezes. Uma para a função ( ) xxm 3cos= e outra para a 
função ( ) xsenxn 3= . Para m , a funçãoexterna é ( ) 3xxg = e a interna é 
( ) xxh cos= . Usando a regra da cadeia, obtemos: 
 
 
( ) ( ) ( ) xsenxsenxxxm 22 cos3cos3' −=−×= 
 
Procederemos da mesma forma para obtermos a derivada de n . Nesse caso a função 
externa é ( ) 3xxg = mais a interna passa a ser ( ) senxxh = . Usando a regra da 
cadeia, obtemos: 
 
( ) ( ) .cos3cos3' 22 xxsenxsenxxn == . 
 
Como a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas das duas, temos 
que: 
 
( ) xsenxxxsenxf 22 cos3cos3' −= . 
 
Agora fazendo 2
pi
=x obtemos 
 
0
2
cos
2
3
2
cos
2
3
2
'
22
=−=




 pipipipipi
sensenf , 
 
Uma vez que .0
2
cos =
pi
 
 
 
 
3. ( )cos( ) s n( ) (1) s n( ) s n( )d dy dy dyxy y e xy x y x e xy y e xy
dx dx dx dx
 
= ⇒ − + = ⇒ − − = 
 
 
( ) s n( )s n( ) 1 s n( )
1 s n( )
dy dy dy y e xyy e xy x e xy
dx dx dx x e xy
−
⇒ − = + ⇒ =
+
 
 
 
 
4. 
3
2
2
31
3
sin1)sin(1 =⇒=⇒










 −
−=⇒−=
dx
dy
dx
dy
dx
dy
dx
dyy pi . Agora você já 
sabe o coeficiente angular. Já tem o ponto, so falta a reta. 
 
 
 
 
5. 
(a) Perceba que 
 
 
] 
 
(b) Perceba que 
 
Portanto: 
 
 E daí: 
 
 
(c) Note que 
 
 Daí 
 
Portanto: 
 
 
(d) Observe que se fizermos 4xθ = − , teremos que 4 0x θ→ ⇔ → . Portanto 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(e) Perceba que: