Lista 6 - C2

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Ca´lculo II - Lista 6
1. Calcule as derivadas parciais como indicado:
(a) Usando a definic¸a˜o calcule fx(x, y) e fy(x, y) para f(x, y) = x y
2−x3 y.
(b) f(x, y) = sen(3 x) cos(x2 + y2) ; fx(x, y) e fy(x, y);
(c) f(x, y) =
x y
x2 + y2
; fx(x, y) e fy(x, y);
(d) f(x, y) = e−(x
2+y2) ; fx(x, y) e fy(x, y).
2. Calcule as derivadas parciais e as derivadas parciais de ordem superior
como indicado:
(a) f(x, y, z) =
√
3x2 + y2 − 2 z2 ; fx(x, y, z), fy(x, y, z) e fz(x, y, z);
(b) f(x, y, z) =
x y
x + y + z
; fx(x, y, z), fy(x, y, z) e fz(x, y, z);
(c) f(x, y, z) = ex sen(y z) ; fxyz;
(d) f(x, y, z) =
x2
y + 2 z
;
∂3f
∂x2∂y
e
∂3f
∂z∂y∂x
;
3. Seja z = f(x, y) uma func¸a˜o com derivadas parciais no ponto (x0, y0) ∈
Df . Responda as seguintes perguntas, lembrando que o gra´fico da func¸a˜o
g(x) = f(x, y0) e´ a intersec¸a˜o do plano y = y0 com o gra´fico de f(x, y).
(a) Qual e´ a interpretac¸a˜o geome´trica de
∂f
∂x
(x0, y0)? Explique e desenhe;
(b) Para f(x, y) = −x
2
2
− y2 + 25
8
, calcule a inclinac¸a˜o da reta tangente
ao gra´fico de g no ponto
(
1
2
, 1, f
(
1
2
, 1
))
.
1
(c) Interprete geometricamente
∂f
∂y
(x0, y0). Explique e desenhe.
4. Considere a func¸a˜o
f(x, y) =

x y(x2 − y2)
x2 + y2
se (x, y) 6= (0, 0);
0 se (x, y) = (0, 0).
(1)
(a) Calcule fx(x, y) e fy(x, y) para (x, y) 6= (0, 0);
(b) Use a definic¸a˜o e calcule fx(0, 0) e fy(0, 0).
5. Considere a func¸a˜o dada em (1) e responda as seguintes perguntas:
(a) Use a definic¸a˜o e calcule fxy(0, 0) e fyx(0, 0);
(b) Usando o Teorema de Clairaut (veja pa´gina 817 do livro) e o
resultado do item (a), o que podemos concluir sobre fxy e fyx?
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