Aula 10 -Variáveis aleatórias discretas

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Variáveis aleatórias discretas
Referências: 
Bussab e Morettin, Cap. 6. 
Webster, Cap.5
Variáveis aleatórias
A parte da estatística denominada “inferencial” faz uso de modelos probabilísticos mais sofisticados do que aqueles vistos até esta etapa do curso, com espaços amostrais simplificados. 
São necessários modelos mais gerais para se estudar fenômenos relacionados a vários tipos de variáveis (qualitativas, quantitativas discretas, quantitativas contínuas). 
Muito do que foi visto na parte referente à análise descritiva de dados empíricos terá o seu correspondente no modelo teórico, como os conceitos de média, variância, frequência acumulada etc.
Como as ferramentas de análise das variáveis quantitativas são mais ricas do que aquelas disponíveis para variáveis qualitativas, faz se uso de artifícios para transformar variáveis qualitativas em quantitativas. Por exemplo, ao trabalhamos com uma variável tal como sexo do indivíduo, podemos usar associar valores, como 0 e 1, para representar cada uma das categorias “feminino” e “masculino”.
Variáveis aleatórias
A construção de modelos probabilísticos para variáveis quantitativas e a inferência sobre seus parâmetros são partes fundamentais da inferência estatística. São denominadas variáveis aleatórias (v.a) essas variáveis para as quais se constroem modelos probabilísticos. 
 Dada a sua simplicidade, primeiramente são apresentados os modelos para variáveis aleatórias quantitativas DISCRETAS. 
Os modelos probabilísticos para variáveis quantitativas contínuas fazem uso de um artifício matemático, baseado numa generalização do conceito de HISTOGRAMA, e serão vistos em seguida. 
Variável aleatória discreta
Definição: Uma função X definida no espaço amostral Ω e com valores num conjunto enumerável de pontos da reta é dita uma variável aleatória discreta. Pode-se representar essa definição num esquema como o da figura 1 abaixo.
Figura 1: Definição de uma variável aleatória
Função de probabilidade
Função de probabilidade
Nas aulas anteriores, foi visto como calcular a probabilidade de ocorrência de um evento e pode-se transportar isso para construir a função de probabilidade de qualquer variável aleatória.
Exemplo: ao lançar o dado 3 vezes, quantos resultados possíveis, e quais suas probabilidades, para a variável aleatória “número de vezes que sai a face 6”?
1º passo: existem 6x6x5= 216 resultados possíveis do experimento: Ω={(1,1,1), (1,1,2), (1,1,3), ...., (6,6,6)}
Função de probabilidade
2º passo: cálculo do número de vezes que pode sair o 6 em 3 lançamentos
Número de 6 em 3 lançamentos do dado
Maneiras possíveis no 1º, 2º e 3º lançamentos
Cálculo
0
≠6, ≠6, ≠6
5x5x5= 125
1
=6, ≠6, ≠6
≠6, =6, ≠6
≠6, ≠6, =6
1x5x5=25
5x1x5=25
5x5x1=25
Total=75
2
=6, =6, ≠6
=6, ≠6, =6
≠6, =6, =6
1x1x5=5
1x5x1=5
5x1x1=5
Total=15
3
=6, =6, =6
1x1x1=1
Função de probabilidade
Valor médio de uma variável aleatória discreta 
Valor médio de uma variável aleatória discreta 
No exemplo visto anteriormente, em que a variável aleatória X era o número de vezes em que aparece a face 6 em 3 lançamentos de dado, o valor da esperança matemática de X é:
E(X)= 0x0,579 + 1x0,347 + 2x0,069+ 3x0,005 = 0,5
Isso significa que, se lançamos o dado três vezes, espera-se obter a face 6 , em média, entre 0 e 1 vezes. 
Variância de uma variável aleatória discreta 
Variância de uma variável aleatória discreta 
Gráfico de p(x): função de probabilidade de X
	
	Figura 1: gráfico de p(x): distribuição da v.a. X = número de vezes que sai a face 6 em 3 lançamentos de dado.
Propriedades dos Valores Esperados
Propriedades dos Valores Esperados
Propriedade E.1: 
	Para qualquer constante c, E(c)=c.
Propriedade E.2: 
	Para quaisquer constantes a e b, E(aX+b) = aE(X) + b.
Exempo: seja X tempertura em graus Celsius medida em determinada localidade. Em determinado dia e horário, suponha que a temperatura esperada seja E(X)=25. Se Y for a temperatura medida em graus Fahrenheit , então Y=32+(9/5)X. Pela propriedade E.2, a temperatura esperada em Fahrenheit será E(Y)=32+(9/5)E(X) =32+(9/5)*25 = 77.
Propriedades dos Valores Esperados
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Propriedades da Variância
Propriedade VAR.1:
Var(X)=0 se, e somente se, houver uma constate c, de tal forma que P(X=c)=1, em cujo caso E(x)=c.
Ou seja, a variância de qualquer constante é zero, e se uma variável aleatória tiver variância zero, então se trata de uma constante. 
Propriedade VAR.2:
Para quaisquer constantes a e b, Var (aX+b)=a2Var(X). 
Portanto, a adição de uma constante à uma variável aleatória não altera a variância, mas a multiplicação de uma variável aleatória por uma constante aumenta a variância por um fator igual ao quadrado daquela constante. 
Exemplo: X = temperatura em graus Celsius e Y= 32 + (9/5)X = temperatura em graus Fahrenheit. Então Var(Y) = (9/5)2Var(X)=(81/25)Var(X).
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Propriedades da Variância
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Desvio Padrão
Duas propriedades do desvio padrão resultantes das propriedades da variância são: 
Propriedade DP.1: 
Para qualquer constante c, dp(c)=0.
Propriedade DP.2: 
Para quaisquer constantes a e b, dp(aX+b)= |a|.dp(X).
Em particular, se a>0, então dp(aX+b) = a.dp(X).
 
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Função de Distribuição Acumulada
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Função de Distribuição Acumulada
No exemplo em que X é o número de vezes que sai a face 6 em 3 lançamentos de dados, a f.d.a de X será dada por:
	Figura 2: F.d.a para a variável X = número de vezes que sai a 		face 6 em 3 lançamentos 
 
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