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Universidade Tecnolo´gica Federal do Parana´ UTFPR — Campus Pato Branco Lista de Revisa˜o de Conteu´dos - Aplicac¸o˜es de Integrais 1. Calcule a a´rea delimitada pelo eixo x e pela para´bola y = 6− x− x2. 2. Seja f(x) = sen x em [0, 2pi]. Determine: (a) A integral definida de f(x) no intervalo [0, 2pi]. (b) A a´rea entre o gra´fico de f(x) e o eixo x no intervalo [0, 2pi]. 3. Um tumor tem aproximadamente a mesma forma que o so´lido formado pela rotac¸a˜o sob a curva y = 1 3 √ 16− 4x2 em torno do eixo x, onde x e y esta˜o em cm. Determine o volume do tumor. 4. Determine o comprimento da curva y = 1 2 (ex + e−x), 0 ≤ x ≤ 2. 5. Determine a a´rea da regia˜o entre o eixo x e o gra´fico de f(x) = x3 − x2 − 2x, sendo −1 ≤ x ≤ 2. 6. Determine a a´rea da regia˜o compreendida entre a para´bola y = 2− x2 e a reta y = −x. 7. Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o em torno do eixo x, das regio˜es limitadas pelas retas e pelas curvas dadas: (a) y = x, y = 1, x = 0; (b) y = x2 + 1, y = x+ 3; (c) y = sec x, y = √ 2, −pi4 ≤ x ≤ pi4 . 8. Determine a a´ra da regia˜o do primeiro quadrante que e´ limitada por y = √ x, y = x− 2 e pelo eixo x. 9. Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o, em torno do eixo y, da regia˜o compreendida entre o eixo y e a curva x = 2y , 1 ≤ y ≤ 4. 10. Determine a a´rea compreendida entre as curvas x = 2y2, x = 0 e y = 3. 11. A regia˜o entre a curva y = √ x, 0 ≤ x ≤ 4, e o eixo x gira em torno desse eixo para gerar um so´lido. Determine seu volume. 12. Determine a a´rea compreendida entre as curvas y = x2 e y = −x2 + 4x. 13. O c´ırculo x2 + y2 = a2 e´ girado em torno do eixo x para gerar uma esfera. Determine seu volume. 14. Determine o volume do so´lido obtido com a rotac¸a˜o, em torno da reta y = 1, da regia˜o definida por y = √ x e pelas retas y = 1 e x = 4. 15. A regia˜o limitada pelas curvas y = x2 + 1 e por y = −x+ 3 determina um so´lido quando girado em torno do eixo x. Determine o volume deste so´lido. 16. Determine o comprimento da curva y = (x/2)2/3 de x = 0 a x = 2. 17. Calcule a a´rea da regia˜o entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = cos2 x e o eixo x de [0, 2pi]. 18. Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o de cada regia˜o em torno do eixo y: (a) A regia˜o delimitada pelo triaˆngulo com ve´rtices em (1, 0), (2, 1) e (1, 1); (b) A regia˜o, no primeiro quadrante, limitada pela para´bola y = x2, pelo eixo x e pela reta x = 2. 19. Calcule a a´rea da regia˜o entre o gra´fico da func¸a˜o f(x) = sen2 x e o eixo x de [0, 2pi]. 20. A regia˜o compreendida entre a para´bolda y = x2 e a reta y = 2x no primeiro quadrante gira em torno do eixo y para gerar um so´lido. Determine o volume deste so´lido. 21. Determine o comprimento das curvas: 1 (a) x = 1− t, y = 2 + 3t, −23 ≤ t ≤ 1; (b) y = x2, −1 ≤ x ≤ 2 (c) x = cos t, y = t+ sen t, 0 ≤ t ≤ pi; (d) x = t3, y = 3t2/2, 0 ≤ t ≤ √3; (e) x = 8cos t+ 8t sen t, y = 8cos t− 8t sen t, 0 ≤ t ≤ pi2 ; 22. Determine a a´rea da regia˜o em forma de he´lice compreendida entre a curva x− y3 = 0 e a reta x− y = 0. 23. Determine a a´rea da regia˜o no primeiro quadrante delimitada pelas retas y = x e x = 2, a curva y = 1x2 e o eixo x. RESPOSTAS 1. 125 6 u. a. 2. (a) 0 (b) 4 u. a. 3. V ∼= 15 cm3. 4. ≈ 3, 63 u. c. 5. 37 12 u. a. 6. 9 2 u. a. 7. (a) 2pi 3 u. v. (b) 117pi 5 u. v. (c) pi(pi − 2) u. v. 8. 10 3 u. a. 9. 3pi u. v. 10. 18 u. a. 11. 8pi u. v. 12. 8 3 u. a. 13. 4 3 pia3 u. v. 14. 7pi 6 u. v. 15. 117pi 5 u. v. 16. ≈ 2, 27 u. c. 17. pi u. a. 18. (a) 4pi 3 u. v. (b) 8pi u. v. 19. pi u. a. 20. 8pi 3 u. v. 21. (a) 5 √ 10 3 u. c. (b) ≈ 6, 13 u. c. (c) xx (d) 7 u. c. (e) xx 22. 1 2 u. a. 23. 1 u. a. Lista elaborada e digitada pela professora Ms. Marieli Musial Tumelero. Refereˆncia Bibliogra´fica: ANTON, H., BIVENS, I. e DAVIS, S. Ca´lculo. vol. 1. Traduc¸a˜o: Claus I. Doering. 8 ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. GUIDORIZZI, H. L. Um curso de ca´lculo, vol.1 e 2. 5a ed. LTC Editora, Rio de Janeiro, RJ: 2002. LEITHOLD, L. O ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol.1. 3a ed. Sa˜o Paulo: Harbra, 1994. LIMA, J. D. Apostila de Ca´lculo I. UTFPR, Pato Branco, 2008. STEWART, James. Ca´lculo. Vol. 2. 6a ed. Sa˜o Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2009. SWOKOWSKI, E. W. Ca´lculo com geometria anal´ıtica. Vol. 1. 2a ed. Sa˜o Paulo: Makron Books do Brasil,1994. THOMAS, G. B. Ca´lculo. Vol. 1. 10aed. Sa˜o Paulo: Person, 2002. 2
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