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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VIC¸OSA
CENTRO DE CIEˆNCIAS EXATAS E TECNOLO´GICAS
DEPARTAMENTO DE MATEMA´TICA
1a Lista de Exerc´ıcios de MAT131 - Introduc¸a˜o a A`lgebra 2010 I
To´pico: Argumentos
1. Alguns dos enunciados seguintes sa˜o argumentos. Aqueles que forem
argumentos identifique as suas premissas e a sua conclusa˜o:
(a) As pessoas inteligentes como voceˆ deveriam fazer um curso supe-
rior. Va´ para a Universidade!
(b) Na˜o posso ajuda´-lo se eu na˜o souber o que esta´ errado e ainda na˜o
sei o que esta´ errado
(c) Ele prometeu casar com ela e, assim, e´ o que ele fara´. Portanto,
se ele faltar ao compromisso, ele estara´ definitivamente errado.
(d) A nenhum homem e´ consentido ser juiz em causa pro´pria; porque
seu interesse certamente influira´ em seu julgamento e, improvavel-
mente, corrompera´ a sua integridade. (James Madison)
(e) Em uma democracia, o pobre tem mais poder que um rico,
porque ha´ mais dos primeiros, e a vontade da maioria e´ suprema.
(Aristo´teles)
2. Verificar se os argumentos seguintes sa˜o va´lidos ou sa˜o sofismas.
(a) Todos os oˆnibus que na˜o param neste ponto, sa˜o oˆnibus que sa˜o
especiais.
O u´ltimo oˆnibus na˜o passou nesse ponto.
Logo, o u´ltimo oˆnibus era especial.
(b) Todos os peixes sa˜o mamı´feros.
Todos os mamı´feros sa˜o humanos.
Existem vegetais que sa˜o peixes.
Portanto, existem vegetais que sa˜o humanos.
1
(c) Se 0 na˜o e´ par, enta˜o 7 na˜o e´ ı´mpar.
Mas 0 e´ par.
Logo, 7 e´ primo.
(d) Se 푚 = 0, enta˜o, 푚+ 푛 = 푛
se 푛 = 0, enta˜o, 푚+ 푛 = 푚. Logo, se 푚 = 0, enta˜o, 푛 ∕= 0.
(e) Amelinha na˜o foi trabalhar essa noite, porque usava um colar e
ela nunca usa um colar para trabalhar.
(f) Nenhum indiv´ıduo obstinado que nunca admite um erro e´ bom
professor. Portanto, como alguns indiv´ıduos, bem informados,
sa˜o pessoas obstinadas que nunca admitem um erro, alguns bons
professores na˜o sa˜o pessoas bem informadas.
3. Verificar se os argumentos a seguir sa˜o va´lidos ou sa˜o sofismas.
(a) Algum 푎 e´ 푏.
Todo 푐 e´ 푎.
Logo, todo 푐 e´ 푏
(b) Nenhum 푎 e´ 푏.
Todo 푐 e´ 푎.
Logo, nenhum 푐 e´ 푏.
(c) Todo 푎 e´ 푏.
Algum 푐 e´ 푏.
Logo, algum 푐 na˜o e´ 푎.
(d) Todo 푎 e´ 푏.
Nenhum 푐 e´ 푏.
Logo, nenhum 푐 e´ 푎.
4. Partindo das premissas:
Todo repo´rter e´ versa´til.
Todo repo´rter e´ formado e jornalismo.
Joˆ Soares e´ vesa´til.
Chico An´ısio e´ jornalista.
2
Pode-se concluir:
(a) Chico An´ısio e´ versa´til.
(b) Joˆ Soares e´ repo´rter.
(c) Ha´ jornalistas versa´teis.
5. Na deduc¸a˜o: a inflac¸a˜o na˜o e´ aumento dos prec¸os, nem este e´ culpa do
empresa´rio. Logo, o empresa´rio na˜o e´ responsa´vel pela inflac¸a˜o, pode-
se afirmar que:
(a) A conclusa˜o esta´ correta.
(b) Deve-se concluir que a culpa e´ do governo.
(c) As premissas sa˜o falsas.
(d) a conclusa˜o e´ falsa.
(e) Nada se pode concluir.
6. Considere as premissas:
“Os bebeˆs sa˜o ilo´gicos”.
“Pessoas ilo´gicas sa˜o desprezadas”.
“Quem sabe amestrar um crocodilo na˜o e´ desprezado”.
Assinale a u´nica alternativa que e´ uma consequeˆncia lo´gica das treˆs
premissas apresentadas:
(a) bebeˆs na˜o sabem amestrar crocodilos.
(b) pessoas desprezadas sa˜o ilo´gicas.
(c) pessoas desprezadas na˜o sabem amestrar crocodilos.
(d) pessoas ilo´gicas na˜o sabem amestrar crocodilos.
(e) bebeˆs sa˜o desprezados.
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7. Quais das condic¸o˜es abaixo sa˜o necessa´rias para o nu´mero natural 푛
ser mu´ltiplo de 10?
(a) 푛 e´ mu´ltiplo de 5.
(b) 푛 e´ mu´ltiplo de 25.
(c) 푛 e´ mu´ltiplo de 20.
(d) 푛 = 30.
(e) 푛2 e´ mu´ltiplo de 5.
(f) 푛 e´ par e e´ mu´ltiplo de 5.
8. O racioc´ınio abaixo foi extra´ıdo de um filme do grupo Monty Python
(“Monty Python em Busca do Ca´lice sagrado”), onde ha´ um julga-
mento em prac¸a pu´blica para decidir se uma mulher 퐴 e´ feiticeira ou
na˜o. “Feiticeiras sa˜o queimadas, assim como madeira. Basta ver enta˜o
se 퐴 e´ de madeira. Para isso na˜o adianta tentar construir uma ponte
com 퐴, pois existem pontes de pedra. E´ melhor ver se 퐴 flutua, como
a madeira. Como patos tambe´m flutuam, basta ver se 퐴 pesa o mesmo
que um pato. Se isso acontecer, 퐴 e´ feiticeira.”
Descubra todos os erros nesta cadeia de argumentos.
To´picos: Conectivos e Proposic¸o˜es
1. Determine o valor lo´gico (V ou F) das seguintes proposic¸o˜es:
(a) As ra´ızes da equac¸a˜o 푥3 − 1 sa˜o todas reais.
(b) A expressa˜o 푛2 − 푛+ 41 so´ produz nu´meros primos.
(c) 0, 4 sa˜o as ra´ızes da equac¸a˜o 푥3 − 16 = 0.
(d) 0, 4 sa˜o ra´ızes da equac¸a˜o 푥3 − 16 = 0.
4
(e) 1 + 3 + 5 + ...+ (2푛− 1) = 푛2
(f) O produto de dois nu´meros ı´mpares e´ um nu´mero ı´mpar.
2. Considere as sentenc¸as:
푝: Tales e´ filho de Wilson.
푞: Tales e´ neto de Jonofon.
Escreva, na forma simbo´lica, cada uma das sentenc¸as seguintes:
(a) Tales na˜o e´ filho de Wilson.
(b) Na˜o e´ verdade que Tales na˜o e´ filho de Wilson.
(c) Tales e´ filho de Wilson e neto de Jonofon.
(d) Tales e´ filho de Wilson ou neto de Jonofon.
3. Seja a proposic¸a˜o: “Pedro foi cac¸ar ontem e eu o acompanhei; hoje ele
foi pescar e eu na˜o o acompanhei”. Simbolizar matematicamente.
4. Sejam as proposic¸o˜es:
푝: O rato entrou no buraco.
푞: O gato seguiu o rato.
Forme sentenc¸as, na linguagem natural, que correspondam a`s
proposic¸o˜es seguintes:
(a) ∼ 푝 ∧ 푞
(b) 푝∧ ∼ 푞
(c) ∼ 푝∨ ∼ 푞
(d) ∼ (∼ 푝)
(e) ∼ (푝 ∧ 푞)
5
(f) ∼ (푝 ∨ 푞)
5. Sejam as proposic¸o˜es: 푝: Gosto de viajar e 푞: Visitei o Chile. Escreva
as sentenc¸as verbais que esta˜o apresentadas pelas proposic¸o˜es abaixo:
(a) ∼ 푞 →∼ 푝.
(b) (푝∧ ∼ 푞)→∼ 푝
(c) (푝∨ ∼ 푞) ∧ (∼ 푝→ 푞).
To´picos: Valor Lo´gico, tabela verdade, tautologia e contradic¸a˜o
1. Determinar “P(FF, FV, VF, VV)”em cada um dos seguintes quesitos:
(a) 푃 (푝, 푞) = (푝 ∨ 푞)∧ ∼ (푝 ∧ 푞)
(b) 푃 (푝, 푞) =∼ 푝 ∧ (푞 → 푝)
(c) 푃 (푝, 푞) = (푝∧ ∼ 푞) ∨ (∼ 푝 ∧ 푞) .
2. Eis uma previsa˜o: “Se o prefeito na˜o agir mas o governador intervir,
enta˜o ou o promotor especial sera´ indicado ou o prefeito sera´ obrigado
a retirar-se.” Em que condic¸o˜es a previsa˜o resultara´ falsa?
3. Construa as tabelas-verdade das seguintes proposic¸o˜es:
(a) (푝→ 푞)→ 푝 ∧ 푞.
(b) (푝↔∼ 푞)→∼ 푝 ∧ 푞.
(c) (푝↔∼ 푞)→ 푞 → 푝.
6
(d) (푝 ∧ 푞 → 푟) ∨ (∼ 푝↔ 푞∨ ∼ 푟).
(e) 푝→ (푝→∼ 푟)↔ 푞 ∨ 푟
4. Sabendo-se que os valores lo´gicos das proposic¸o˜es 푝, 푞 e 푟 sa˜o respec-
tivamente V, F e F,determine o valor lo´gico (V Ou F) das seguintes
proposic¸o˜es:
(a) (푝↔ 푝→ 푞 ∨ (푝→ 푟)
(b) (푝 ∧ 푞 → 푟)→ (푝→ (푞 → 푟)).
(c) (푝 ∧ (∼ 푞 → 푝)) ∧ ((푝↔∼ 푞)→ 푞∨ ∼ 푝).
5. Descreva as sentenc¸as abaixo em termos de proposic¸o˜es simples e op-
eradores lo´gicos:
(a) Se elefantes podem subir em a´rvores, enta˜o 3 e´ um nu´mero irra-
cional.
(b) E´ proibido fumar cigarro ou charuto.
(c) E´ falso que se Montreal e´ a capital do Canada´, enta˜o a pro´xima
copa sera´ realizada no Brasil.
(d) Se e´ falso que Montreal e´ a capital do Canada´, enta˜o a pro´xima
copa sera´ realizada no Brasil.
6. Determine o valor lo´gico das proposic¸o˜es enunciadas no exerc´ıcio ante-
rior. Justifique.
7. Considerando que a proposic¸a˜o Todos os pelicanos comem peixe seja
verdadeira, quais das proposic¸o˜es abaixo sa˜o verdadeiras?
7
(a) Se uma ave e´ um pelicano, enta˜o ela come peixe.
(b) Se uma ave na˜o e´ um pelicano, enta˜o ela na˜o come peixe.
(c) Se uma ave come peixe, enta˜o ela e´ um pelicano.
(d) Se uma ave na˜o come peixe, enta˜o ela na˜o e´ um pelicano.
8. Apresente uma negac¸a˜o para cada uma das proposic¸o˜es abaixo:
(a) Bruno ira´, mas ele na˜o vai jogar.
(b) No´s venceremos o primeiro jogo ou o segundo.
(c) Se na˜o ha´ sandu´ıches, vou comer um cachorro-quente.
(d) Nem todas as pessoas teˆm acesso ao ensino de terceiro grau.
9. Simplifique as proposic¸o˜es abaixo, indicando em cima de cada s´ımbolo
de equivaleˆncia as propriedades lo´gicas utilizadas:
(a) ∼ (푝 ∨ 푞) ∨ (푝∧ ∼ 푞)
(b) (∼ 푝 ∨ 푞) ∧ 푝
(c) ∼ (((푝 ∨ 푞)∧ ∼ 푞) ∨ (푞 ∧ 푟)).
(d) ∼ ((∼ 푝→∼ 푞) ∨ ((푞 ∧ 푝)↔∼ 푝)).
(e) (푝 ∨ 푞)→ ((푝 ∧ 푞) ∨ (푝∧ ∼ 푞) ∨ (∼ 푝 ∧ 푞)).
(f) ((푞 ↔ 푟 ∨ 푞))↔ (푝 ∧ (∼ (∼ 푞))).
(g) (((푝 ∨ 푞)→ (∼ 푟)) ∨ ((((∼ 푞) ∧ 푟) ∧ 푞))).
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10. Seja a proposic¸a˜o : ∼ 푝 ∧ [(푝∨ ∼ 푞) ∧ (∼ 푝→ 푞)].
(a) Simplifique-a.
(b) Negue-a.
(c) Determine seu valorlo´gico.
11. Determine quais das proposic¸o˜es abaixo sa˜o tautologias, contradic¸o˜es
ou contigeˆncias:
(a) (푝↔ 푞) ∨ 푝→ 푞.
(b) (푞 → 푝)→ (푝→ 푞).
(c) ∼ 푝 ∧ (푝∧ ∼ 푞).
(d) ((푝→ 푞)↔ 푞)→ 푝.
(e) (푝→ 푞)→ (푝→ 푞 ∨ 푟).
(f) ∼ (푝 ∨ 푞)→ (푝↔ 푞).
To´picos: implicac¸o˜es e equivaleˆncias
1. Determine se a proposic¸a˜o P implica logicamente na proposic¸a˜o Q, nos
seguintes casos:
(a) P: 푝↔ 푞 e Q: (푝→ 푞) ∧ (푞 → 푝);
(b) P: ∼ 푝 e Q: 푞 → 푝.
(c) P: 푝 ∧ 푞 e Q: 푝↔ 푞:
9
(d) P: 푝↔∼ 푞 e Q: 푝→ 푞.
2. Julgar cada uma das seguintes proposic¸o˜es:
(a) ∼ 푝 ∧ 푝⇔∼ 푝.
(b) ∼ [∼ (푝 ∨ 푞)]⇔ 푝 ∨ 푞.
(c) 푞 → 푝⇔∼ 푝→∼ 푞.
(d) (푝∨ ∼ 푞) ∧ (∼ 푝 ∨ 푞)⇔ 푝↔ 푞.
(e) (푝↔ 푞)∨ ∼ 푝⇔ 푝→ 푞.
(f) (푝→∼ 푟) ∧ (푞 →∼ 푟)⇔ 푟 → (푝 ∨ 푞).
(g) (푝→ 푞)→ 푟 ⇔ (푝∧ ∼ 푟)→∼ 푞.
3. Considere as proposic¸o˜es: “푝”, “푞”,“푟”e ”푠”dadas por:
푝 : 5 = 8
푞 : 4 < 3
푟 : 9 > 7
푠 : 8 < 10
e deˆ o valor verdadeiro (v) ou falso (f):
(a) 푟 ⇔ 푠
(b) ∼ (푟 ⇔ 푞)
(c) ∼ (푝⇔ 푠).
To´picos: Sentenc¸as abertas e quantificadores
1. Das expresso˜es seguintes, quais sa˜o as proposic¸o˜es ou sentenc¸as aber-
tas?
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(a) 7 + 8 = 51
(b) 푥− 5 = 9
(c) 6− 2푥 ≥ 4.
(d) 6 > 3 e 4 + 2 = 8
2. Expresse as proposic¸o˜es abaixo em forma simbo´lica utilizando o quan-
tificador existencial:
(a) A equac¸a˜o 푥3 = 27 tem uma soluc¸a˜o no conjunto dos nu´meros
naturais.
(b) 1.000.000 na˜o e´ o maior nu´mero natural
(c) Existe um nu´mero irracional.
(d) Existe um nu´mero primo par.
3. Julgue os itens a seguir:
(a) 푥2 − 푥− 12 ∕= 0⇔ 푥 ∕= −3 ou 푥 ∕= −4.
(b) 푥2 − 푥− 12 ∕= 0⇔ 푥 ∕= −3 e 푥 ∕= −4.
4. Se a sentenc¸a “푥2−7푥+12 = 0⇔ 푥 = 3 ou 푥 = 4”e´ verdadeira, enta˜o,
qual o valor lo´gico da sentenc¸a ”푥2 − 7푥+ 12 ∕= 0⇔ 푥 ∕= 3 푥 ∕= 4”?
5. Determinar o conjunto-verdade em ℤ de cada uma das seguintes sen-
tenc¸as abertas:
(a) 2푥2 − 18 = 0
11
(b) 2푥+ ∣푥− 1∣ = −2
(c) 푥2 − 푥− 20 = 0
6. Sejam 퐴 = 2, 3, 4, 5,∃푥, ∀푥, o conjunto dos nu´meros naturais e ℝ o
conjunto dos nu´meros reais. Determine o valor lo´gico das proposic¸o˜es
abaixo, justificando a sua resposta.
Exemplo: (∃푥 ∈ 퐴)(푥 + 3 = 8) e´ verdadeira, pois 5 ∈ 퐴 tal que 5 + 3
= 8.
(a) (∃푥 퐴)(푥+ 3 < 5).
(b) (∃푥 ℕ)(∀푦 ℕ)(푥+ 푦 = 0).
(c) (∀푥 ℕ)(∣푥∣ = 푥).
(d) (∀푦 ℝ)(∃!푥 ℝ)(푦 = 푥2).
(e) (∃푥 ℕ)(푥 > 푥+ 1).
(f) (∀푥 ℝ)(푥 < 0→ (∃푦 ℝ)푦2 = 푥).
(g) (∀푥 ℕ)((∃푥 ℕ)푥+ 푦 =).
(h) (∀푦 ℕ)((∃!푥 ℕ)푦 = 푥2).
(i) (∀푎, 푏, 푐, 푑 ∈ ℕ)(푎 ∕= 푏 ∧ 푐 ∕= 푑→ 푎+ 푐 ∕= 푏+ 푑).
7. Determinar o conjunto-verdade em ℝ de cada uma das seguintes sen-
tenc¸as abertas:
(a) ∣5푥+ 6∣ = 3푥− 2
(b) ∣7푥− 1∣+ 3 = 0
(c) ∣푥− 16∣+ ∣푥+ 6∣ = 13.
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8. Dados os conjuntos 퐴 = {3, 4, 6} e 퐵 = {4, 6, 9, 11}, determinar o
conjunto-verdade da sentenc¸a “푥∣푦” (푥 divide 푦) em 퐴×퐵.
9. Determinar o conjunto-verdade da sentenc¸a aberta“푚.푑.푐.(푥, 푦) = 3 em
퐴× 퐴,sendo 퐴 = {2, 3, 6, 9}.
10. Dados os conjuntos 퐴 = {−1, 0, 1, 2} e 퐵 = {0, 1, 3}, determinar o
conjunto-verdade da sentenc¸a aberta “푥+ 푦 < 2” em 퐴×퐵.
11. Determinar o conjunto-verdade da sentenc¸a aberta “푥2 + 푦2 = 4” em
ℤ× ℤ.
12. Determinar o conjunto-verdade em 퐴 = {1, 2, 3, ..., 12} de cada uma
das seguintes sentenc¸as abertas compostas:
(a) 푥 e´ par ∧푥+ 4 ≤ 12.
(b) 3 divide 푥 ∧ 푥 < 9.
(c) (푥+ 6) ∈ 퐴 ∨ (푥2 − 6) /∈ 퐴.
13. Sejam as sentenc¸as abertas em 푅: 푝 (푥) : “3푥−4 ≤ 0” e 푞 (푥) : “푥+2 ≥
0”, determine:
(a) O conjunto-verdade de 푝 (푥) ∧ 푞 (푥)
(b) O conjunto-verdade de 푝 (푥)→ 푝 (푥)
14. Sejam as sentenc¸as abertas em 퐴 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, 푝(푥) :
”푥3 ∈ 퐴” e 푞(푥):”x e´ ı´mpar”. Determinar o conjunto-verdade de:
(a) 푝(푥)→ 푞(푥)
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(b) 푝(푥)↔ 푞(푥)
(c) 푝(푥) ∨ 푞(푥)
15. Sendo 퐴 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, dar um contra-exemplo para cada
uma das proposic¸o˜es:
(a) (∀푥 ∈ 퐴)(푥+ 7 < 15)
(b) (∀푥 ∈ 퐴)(푥∣60)
16. Julgue as sentenc¸as de cada um dos itens seguintes:
(a) 푥− 4 = 0⇔ 푥2 − 16 = 0
(b) 3푥− 7 = 2푥+ 1⇔ 푥2 − 16푥+ 64 = 0
17. Dada a proposic¸a˜o (∀푥)푝(푥)→ (∃푎)(∼ 푞(푥)).
(a) dar a negac¸a˜o.
(b) encontre uma sentenc¸a 푝 (푥) e 푞 (푥) tal que o valor verdade da
proposic¸a˜o acima seja falso.
18. Seja a sentenc¸a aberta 푝(푥) : 푥2 ≤ 16 e 푥 ∕= {−4, 4}
(a) Transforme-a em proposic¸a˜o usando o quantificador universal.
(b) Determine o conjunto universo e o conjunto verdade.
(c) Demosntre que o valor lo´gico dessa proposic¸a˜o e´ falso.
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(d) Altere o conjunto universo da proposic¸a˜o acima para que o seu
valor lo´gico deˆ verdadeiro.
To´picos: Condicional, Teoremas e Provas
1. Determinar:
(a) a contrapositiva da proposic¸a˜o rec´ıproca de “푝→∼ 푞”
(b) a rec´ıproca da proposic¸a˜o contrapositiva de “∼ 푞 →∼ 푝”
(c) a contrapositiva da proposic¸a˜o rec´ıproca de “푥 = 8→ 푥 < 9”
(d) a rec´ıproca da proposic¸a˜o inversa da proposic¸a˜o contrapositiva
de“∼ 푞 → 푝”
2. Apresente, se poss´ıvel, um exemplo de proposic¸a˜o condicional ver-
dadeira tal que:
(a) a rec´ıproca seja verdadeira.
(b) a rec´ıproca seja falsa.
(c) a contrapositiva seja verdadeira.
(d) a contrapositiva seja falsa.
3. Escreva a rec´ıproca e a contrapositiva de cada uma das proposic¸o˜es
abaixo:
(a) Se a lua esta´ cheia, os vampiros saem de casa.
(b) Se uma girafa tem dor de garganta, ela na˜o faz gargarejo.
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(c) Se uma proposic¸a˜o e´ definic¸a˜o, enta˜o sua rec´ıproca e´ verdadeira.
4. Demonstre as implicac¸o˜es abaixo e verifique se vale a rec´ıproca, justif-
icando sua resposta:
(a) 퐴 ⊂ 퐵 e 퐶 ⊂ 퐷 ⇒ 퐴 ∩ 퐶 ⊂ 퐵 ∩퐷.
(b) 퐴 ⊂ 퐵 e 퐶 = 퐵 − 퐴⇒ 퐴 = 퐵 − 퐶.
(c) Se 퐴 ∩퐵 = ⊘ e 퐴 ∪퐵 = 퐶 enta˜o 퐴 = 퐶 −퐵.
(d) 퐴 ∪퐵 = 푈 ⇒ 퐴 ∩퐵 = 퐴푐 ⊂ 퐵.
(e) 퐴 ∩퐵 = ⊘ ⇒ 퐴 ∪퐵푐 = 퐵푐.
5. Demonstre as equivaleˆncias abaixo:
(a) 퐴 = 퐵 ⇔ 퐴−퐵 = 퐵 − 퐴
(b) 퐴 ⊂ 퐵 ⇔ 퐴−퐵 = ⊘
(c) 퐴 ∪퐵 = 퐴 ∩퐵 ⇔ 퐴 = 퐵.
(d) 퐴푐 ⊂ 퐵푐 ⇔ 퐴 ∪퐵 = 퐴.
(e) 퐴푐 ⊂ 퐵푐 ⇔ 퐴 ∩퐵 = 퐵
6. Demonstre que valem as seguintes igualdade:
(a) 퐴 ∪ (퐴푐 ∩퐵) = 퐴 ∪퐵.
(b) 퐴 ∩ (퐴푐 ∪퐵) = 퐴 ∩퐵.
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(c) (퐴−퐵)− 퐶 = 퐴− (퐵 ∪ 퐶)
(d) 퐴 ∪ (퐵 − 퐶) = (퐴 ∪퐵)− (퐶 − 퐴)
(e) 퐴− (퐵 ∪ 퐶) = (퐴−퐵) ∩ (퐴− 퐶)
(f) (퐴 ∪퐵)− 퐶 = (퐴− 퐶) ∪ (퐵 − 퐶)
(g) (퐴 ∩퐵) ∩ (퐴−퐵) = (퐴−퐵) ∩ (퐵 − 퐴) = ⊘
(h) (퐴−퐵) ∪ (퐵 − 퐴) = (퐴 ∪퐵)− (퐴 ∩퐵).
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