Pontos notáveis de um triângulo (baricentro e ortocentro)

Prévia do material em texto

�
�
PONTOS NOTÁVEIS DE UM TRIÂNGULO
(BARICENTRO E ORTOCENTRO)
Pamela Beker
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Pamela_beker@live.com.pt
Alexandre Welter
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
pocabrascorp@hotmail.com
Israel Brizola da Silva
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
IsraelMarroisz@outlook.com
João Pedro Both
Universidade Tecnológica Federal do Paraná
Joaop.both@gmail.com
Introdução
	Símbolos, cálculos, razões e proporções, alguns dos muitos traços deixados pelas civilizações antigas. Um desses traços é a geometria, com papel extremamente importante para a definição de formas e áreas. Os primeiros registros utilizados pelos povos antigos, segundo Eves (2002), acerca da Geometria apareceram de algumas questões emergentes do primitivo estado em que o homem se limitava a caçar e a procurar alimento. Por meio da necessidade de aprender a semear vegetais e a criar animais, que só se reproduziam em determinadas épocas do ano, é que o homem começou a fazer anotações das estações do ano, se utilizando de desenhos para entender o comportamento das fases da lua e do sol. Mais futuramente, os egípcios utilizavam cordas para medir inundações do rio Nilo, a princípio era somente uma prática comum mas perceberam que todas as medições haviam características particulares comuns, deste momento então, começaram estudos aprofundados sobre a área.
	Por volta de 300 a.C. na Grécia, Pitágoras aprofundou estudos sobre triângulos e suas propriedades, nesta época características vindouras de práticas egípcias começam a se tornar concretas e fundamentadas.
	Na atualidade, estudos sobre geometria e suas propriedades ainda continuam, embora mais aprofundadas e particularizadas. Características como ortocentro e baricentro são definições que estão presentes em qualquer triângulo.
	Neste contexto, repassar conteúdos embasados em estudos antigos na educação básica é fundamental para estas pesquisas continuem, entretanto deve-se aplicar um conteúdo que se torne fácil para o educando, como no caso a educação básica. É necessário que seja aplicado dinâmicas em sala de aula para se tornar mais volátil a aprendizagem cognitiva, dinâmicas como softwares, jogos, perguntas.
Contexto Histórico
	Desde as sociedades primitivas, sobre geometria foram criados conceitos e teorias que seriam relacionados com o trabalho, como por exemplo os egípcios que utilizavam cordas para medir as inundações do rio Nilo para a utilização na agricultura. Euclides fundamentou conceitos geométricos com base em seus conhecimentos de arquitetura. Contudo, a descoberta das formas geométricas foi para a contribuição no trabalho e no cotidiano. 
Não existe um inventor de um triangulo, pois se trata de uma forma imaginária e totalmente conceitual. Por se tratar de uma forma bidimensional não podemos representa-la no mundo real, pois um triângulo não possui a característica de profundidade, existe apenas a reflexão imaginária de um triângulo.
 De acordo com registros históricos, os primeiros povos que começaram a materializar o conceito triangular foram os Egípcios, os babilônicos e os indianos. Vale ressaltar que não simplesmente mera coincidência o fato que as primeiras formas geométricas tenham sido descobertas pelos povos mais antigos do mundo, pelo fato de herdarem conhecimentos vindouros de antepassados promissores.
 Os Árabes usavam na pesca e no transporte de géneros, uma embarcação robusta, de formas finas, pouco alterosa e de pouco calado, chamado "Caravo", que armava com uma vela latina (triangular). Com o tempo, os árabes ocuparam pequenos territórios da península ibérica, com suas invenções e métodos de navegação, logo chamou a atenção do povo que ali residia. Os portugueses absorveram traços das técnicas utilizadas pelos árabes e as aperfeiçoaram, tanto quanto no uso das formas geométricas, tanto quanto no uso de embarcações.
	O registro da utilização do triangulo na sociedade indiana veio principalmente de práticas religiosas. Assimilavam órgãos de deuses a formas conhecidas, neste caso o triângulo. Com o tempo foram aplicando seus conhecimentos sobre geometria na arquitetura e engenharia, deste modo temos grandes monumentos religiosos indianos baseados em imagens de figuras geométricas.
	Um ponto importante utilizado pelos indianos que se propaga pelo mundo até a atualidade é a utilização de triângulos pela religiosidade, como o catolicismo que através dos anos utiliza a forma geométrica como base de catedrais, igrejas e alguns outros monumentos característicos.
	Já o povo babilônico, por residir em áreas próximas do território egípcio, não se difere muito, pois as necessidades geográficas são assimiladas, portanto os conhecimentos sobre geometria dos povos egípcios e babilônicos se coincidem. As características principais do povo babilônico foi que a lógica matemática veio antes do conceito de geometria, ou seja, já apresentavam avançados métodos de cálculo e medição, mas a geometria em si, como as demais, advém da prática cotidiana, como construções, pesca e cálculo de áreas.
	A propagação dos conhecimentos babilônicos sobre geometria foi de forma passiva, pois se tratava de um povo abrangente e rico em culturas, portanto se tornava um destino muito procurado pelos povos persas, assírios, amoritas.
	Uma das partes mais importantes sobre o estudo de geometria por volta de 400 a.C. com Platão, que com base em seus conceitos filosóficos desenvolveu o método de demonstração. Mais tarde Aristóteles observou a diferença entre postulados e axiomas. Por volta de 300 a.C., Euclides organizou a geometria como um sistema lógico único. Sua obra, Os Elementos – composta de 13 livros, cinco dos quais tratam de geometria plana, três se ocupam da geometria espacial e os demais reúnem interpretações geométricas atualmente estudadas pela álgebra, permanece como pilar do conhecimento matemático. Arquimedes (287-212 a.C.) definiu áreas e volumes, usando métodos semelhantes aos utilizados atualmente em cálculo.
	Na atualidade, o conceito triangular não é utilizado como tema principal de estudos, mas como componente essencial da geometria, portanto, estudar geometria e suas ramificações obviamente abrangerá o conteúdo de formas triangulares. Podemos citas como ramificações da geometria:
Geometria analítica
Geometria com complexos
Geometria descritiva
Geometria esférica
Geometria euclidiana
Geometria fractal
Geometria projetiva
Projeção ortogonal
Trigonometria
Como componentes importantes da sociedade atual, estes conteúdos são aplicados nas áreas de geografia, engenharia, física, química e entre outras.
Pontos notáveis de um triangulo
	Aqui falaremos sobre alguns dos pontos notáveis de um triangulo: Baricentro e Ortocentro. Para isso iremos mostrar algumas definições iniciais.
Cevianas notáveis
	O nome Ceviana foi dado a esses segmentos em homenagem ao matemático italiano Giovanni Ceva (1648-1734), que demonstrou teoremas importantes sobre elas.
	Definição de Ceviana: é todo segmento que tem uma das extremidades num vértice qualquer de um triângulo e outra num ponto qualquer da reta suporte ao dado oposto a esse vértice. Reta suporte de um segmento, ou é a reta na qual esse segmento está contido.
Figura 1 - Cevianas
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
	Conforme definição, uma das extremidades da ceviana é um vértice. Podemos dizer que a ceviana é relativa a esse vértice, ou relativa ao lado oposto do mesmo vértice. A outra extremidade da ceviana é denominada de pé. Assim na figura acima, as Cevianas AA1, AA2 e AA3 são relativas ao vértice A ou também relativas ao lado BC e os pontos A1, A2 e A3 são os pés dessas Cevianas.
	Cada vértice de um triangulo pode conter infinitas Cevianas, estas podendo ser internas ou externas. Dentre essas infinitas Cevianas, há três que são muito importantes, por isso são chamadas de notáveis, São elas:
MedianaDefinição: Mediana é toda ceviana que tem uma das extremidades no ponto médio de um lado.
Figura 2 - Medianas
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
	
Os pontos médios dos lados opostos aos vértices A, B e C são chamados Ma, Mb e Mc, e os comprimentos das medianas relativas aos mesmos lados são chamados de ma, mb e mc.
Bissetriz Interna
	Definição: Bissetriz Interna é toda ceviana que divide um ângulo interno em dois ângulos adjacentes e congruentes.
Figura 3 - Bissetrizes Internas
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
	Os pés das bissetrizes internas relativas aos vértices A, B e C são chamados de Sa, Sb e Sc, e os comprimentos dessas chamadas de sa, sb e sc.
Altura
	Definição: Altura é toda ceviana perpendicular ao seu pé passando pelo vértice oposto.
Figura 4 - Altura
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
	Chamamos de Ha a altura desde A a BC, ou a altura relativa ao lado BC. Nem sempre a altura relativa a um lado de um triângulo encontra esse lado, mas, sempre encontra sua reta suporte desse lado.
	Vistos essas definições iniciais, podemos assumir que para qualquer triângulo vales as seguintes propriedades:
As três medianas concorrem em um mesmo ponto.
As três bissetrizes internas concorrem em um mesmo ponto.
As retas suporte da altura concorrem em um mesmo ponto.
As mediatrizes dos lados concorrem em um mesmo ponto.
	Esses pontos de encontro das cevianas notáveis e das mediatrizes são denominados pontos notáveis.
Baricentro
	
	Baricentro ou centro de massa é o lugar onde se aplica uma força para se levantar o sistema em equilíbrio. Assim o lugar onde as três medianas de um triangulo interceptam-se em um mesmo ponto que divide cada mediana em duas partes, sendo que cada parte que contém o vértice é o dobro da outra. Esse ponto é denominado Baricentro do triangulo e é denotado por G.
	Demonstração do baricentro de um triângulo:
Figura 5 - Barricentro
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
	Consideremos, no triangulo ABC, os pontos Ma, Mb e Mc como pontos médios de BC, CA e AB. Existe um ponto G que está em AMa, BMb e CMc.
AMa, BMb e CMc são medianas.
	Assim temos:
AMa ∩ BMb ∩ CMc = G
AG = 2/3 AMa
BG = 2/3 BMb
CG = 2/3 CMc
Ortocentro
	É o ponto onde as três retas suportes das alturas de um triangulo interceptam-se. Esse ponto é chamado de ortocentro é denotado por G. O ortocentro pode ser interno, externo ou coincidente.
	Internos: se o triangulo for Acutângulo:
Figura 6 - Ortocentro do triângulo Acutângulo
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
Externo: se o triangulo for obtusângulo.
Figura 7 Ortocentro do triângulo Obtusângulo
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
Coincidente: se o triângulo for retângulo.
Figura 8 - Ortocentro do Triangulo Retângulo
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
Seja o triangulo:
Figura 9 - Demonstração ortocentro de um triangulo
Fonte: Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas
	Pelos vértices A, B e C, traçamos retas paralelas aos lados opostos obtendo o triângulos MNH. Assim temos que:
A pertence NH e NH//BC
B pertence HM e HM//AC
C pertence NM e NM//AB
	Analisando o triangulo temos:
A é o ponto médio de HN
B é o ponto médio de HM
C é o ponto médio de MN
Ha triangulo ABC é 1/2 altura HNM
O ENSINO DE GEOMETRIA
	A Geometria é um ramo importante da Matemática, tanto como objeto de estudo, quanto como instrumento para outras áreas. Quando se trata do processo ensino aprendizagem em Geometria, alguns fatores contribuem para o baixo desempenho dos alunos, como: 
•	1. A dificuldade do aluno de visualização de uma figura geométrica e exploração de suas propriedades; 
•	2. A dificuldade de representar situações reais do dia-dia com modelos matemáticos e de representação de figuras geométricas. 
•	3. A capacidade de raciocínio, que é o processo que conduz para a prova e a explicação dos modelos matemáticos.
Estudos comprovam que a dificuldade principal não está no aluno, mas sim no professor, ou seja, a falta de preparação do educador prejudica o aluno na sua aprendizagem. 
O professor Brum Pivatto da Universidade Federal de Santa Catarina revela que o principal fator prejudicial é que o fato histórico não tem sua devida importância nas salas de aula, como componente introdutório no estudo da geometria, apresentar os fatos que levaram a criação dos conceitos geométricos é primordial para que o aluno entenda o motivo e a importância daquele conteúdo.
[...] é essencial levar - se em consideração as complexidades provenientes da situação de classe de aula, estes por sua vez, incluem a presença de muitos alunos de motivação, prontidão e aptidões desiguais; as dificuldades de comunicação entre professor e aluno; as características particulares de cada disciplina que esta sendo ensinada; e as características das idades dos alunos
(AUSUBEL; NOVAK; HANESIAN, 1980, p. 5).
	Apresentado a proposta de introdução à geometria, o professor precisa apresentar o conteúdo desde seus entes primitivos, que se caracterizam por ser as primeiras formas geométricas que formaram as demais. Deste modo o aluno entenderá como formas e conceitos possuem características em comum.
	Contudo, somente apresentar conceitos, teorias e formações não completam o raciocínio cognitivo do aluno. De acordo com David Ausubel, é necessário que seja apresentado dinâmicas com o aluno para fugir um pouco da rotina escola, que condiz com o pensamento de Jean Piaget, um grande pensador e percursor da teoria cognitivista.
	Ainda em relação a Ausubel, o professor necessita entender o que o aluno está aprendendo, saber se aquilo demonstrado pelo educador coincide com aquilo que o aluno entendeu ou imagina. A criação de gráficos e diagramas tem um papel fundamental para a representação daquilo que o aluno sabe. De acordo com Brum Pivatto, o aluno somente conseguirá compreender totalmente o conteúdo se ele não apresentar problemas ao esboçar um diagrama embasado naquilo que foi repassado em sala de aula.
 DINÂMICAS COM SOFTWARES
	Atividades com softwares não substituem aulas teóricas tradicionais, ou seja, o papel do professor continua sendo fundamental. Com base na didática de como ensinar geometria para ensino básico, se deve propor atividades que complementam conteúdos vistos em sala de aula. Mesmo sendo uma dinâmica, se deve apresentar uma técnica, pois o aluno não pode perder o foco ou “se perder” ao longo da atividade.
	O professor deve mostrar as ferramentas que serão utilizadas, que no caso o Software Geogebra®, e como é usado para que o aluno não corra o risco de não concluir ou regredir em relação a outros alunos.
ATIVIDADES PROPOSTAS
1 – Fazer um segmento de reta e definir seu ponto médio.
2 – Fazer um segmento de reta e definir uma reta perpendicular a ela.
3 – Utilizar conhecimentos do aluno sobre pontos médio e definir o baricentro de um triângulo.
4 – Utilizar conhecimentos do aluno sobre retas perpendiculares e definir o ortocentro de um triângulo.
RESOLUÇÃO
Na primeira atividade se espera que o aluno construa um segmento de reta qualquer e defina seu ponto médio.
 Na segunda atividade, a expectativa é que o aluno construa um segmento qualquer e com os conhecimentos adquiridos em sala de aula, fazer uma reta perpendicular ao segmento feito anteriormente. Não há restrição para o local da reta perpendicular, mas que deve interceptar o segmento feito.
A ideia principal da terceira atividade é que o aluno tente se basear nos conteúdos abordados em sala de aula e nas atividades anteriores e construir um triangulo qualquer e definir o ponto médio de todos os lados da figura geométrica. Feito o processo de descoberta dos pontos médios o aluno deve traçartrês retas que interceptem o ponto médio de cada lado e seu respectivo vértice oposto, se o educando concluir com sucesso, as três retas que interceptarem os pontos médios dos lados do triângulo e o vértice oposto, se coincidiram em um ponto em comum, o baricentro.
O terceiro exercício segue a linha de raciocínio do primeiro, entretanto, necessita de um conhecimento mais embasado nas aulas teóricas da sala de aula, pois, se o aluno desenhar um triângulo acutângulo, seu ortocentro será interno, se o triangulo for um obtusângulo será externo e por fim o caso de o aluno escolher um triangulo retângulo, que terá seu ortocentro já exposto.
	Caso o aluno esboçar um triangulo acutângulo, a expectativa é que ele faça uma reta perpendicular a cada lado, mas deve coincidir com o vértice oposto de modo que, na junção de todas as retas perpendiculares se forme seu ortocentro na intersecção de todas elas.
	Se o aluno representar um triângulo obtusângulo, a expectativa é que o educando coloque a reta perpendicular do ângulo obtuso projetada internamente no lado oposto, mas os demais serão externos devido a prolongação da reta respectiva do lado que contenha o ângulo obtuso e, que nesta prolongação, defina uma reta perpendicular e que intercepte o lado mais próximo do triângulo, formando o obtusângulo no lado externo do triângulo.
	Por fim, o triângulo retângulo. O aluno deve perceber que seu ortocentro será o lado que contenha o ângulo de 90 graus.
	Esta atividade deve ser utilizada como um complemento dos estudos feitos em sala de aula, portanto, os assuntos interligados com o tema de baricentro e ortocentro devem ser estudados previamente em sala de aula, tornando assim mais fácil a aprendizagem do aluno e a auxiliar o professor em suas aulas.
Considerações finais
	O conceito de triângulo possui um contexto histórico que define sua função no cotidiano de tudo e de todos. Afirmar uma função exata para o triângulo é considerado precipitado, pois observamos o uso de formas geométricas em diversos segmentos da sociedade. Desde a sua descoberta, as figuras geométricas se tornaram alvo de diversos estudos e aperfeiçoamentos; egípcios, babilônicos, indianos, gregos criaram uma concepção antepassada das figuras geométricas que de acordo com os anos foi se adaptando de acordo com a concepção do ser humano, portanto se deve continuar os estudos no presente e no futuro. Ensinar ao aluno a importância destes estudos é primordial para a sua concepção para dar continuidade ao processo histórico.
	Para que os ensinamentos possam ser repassados, é necessário técnica sobre a didática. Compreender os processos de cognição dos alunos é fundamental para tenha harmonia entre o professor e o educando. Ausubel em suas obras relatou este relacionamento, utilizando a teoria cognitiva de Jean Piaget e Lev Vigotsky. Somente técnica não é o suficiente de acordo com o professor Brum Pivatto, é preciso de o educador esteja preparado para ensinar um determinado assunto, pois se deve ter harmonia entre todos da classe sem que haja desigualdade. Para que o professor acompanhe a cognição dos alunos, precisa-se que o educador faça uso de dinâmicas de ensino para ver se na prática existe a mesma representação que na concepção do aluno. Uma boa alternativa para respostas de cognições por parte do aluno, é atividades com uso de softwares, que de uma forma, forçará o aluno a utilizar os conteúdos aprendidos em sala de aula.
	Trabalhar o assunto de pontos notáveis de um triangulo com alunos exige uma cautela, pois cada tipo de triângulo possui uma característica diferente, como o triângulo retângulo e o triangulo obtusângulo; um possui o ortocentro internamente inserido, porém o outro necessita de um pouco mais de conhecimento para descobrir suas retas ortogonais. Diversas peculiaridades para se ter melhor controle sobre os conhecimentos que serão abordados em sala de aula.
Referências
REZENDE, Eliane Quelho Frota; QUEIROZ, Maria Lúcia Bontorim de. Geometria Euclidiana Plana e Construções Geométricas. 2ª edição. Campinas, SP: Unicamp, 2008.
STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2.ed. São Paulo: Pearson Makron Books 1987.
Boyer, Carl B., História da Matemática, Edgard Blücher, São Paulo, 1974.
Eves, Howard, Introdução à História da Matemática, Unicamp, Campinas, 1997.
El arte de la India (em espanhol) Historia de la Arte (2007).
Fundamento de Matemática Elementar, Vol. 9 – Geometria Plana – Osvaldo Dolce, Ed. Atual
Elementos de Geometria e Desenho Geométrico, Vol. 1 – José Carlos Putnoki, Ed. Scipione
REVEMAT: R. Eletr. Educ. Mat., UFSC/MTM/PPGECT, Florianópolis, SC, Brasil, eISSN 1981-1322.
���
_1509954965.unknown
_1509954967.wmf
_1509954969.wmf
_1509954970.wmf
_1509954968.wmf
_1509954966.wmf
_1509954963.wmf
_1509954964.wmf
_1509954962.wmf