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Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Espaços Vetoriais – 2a Parte Paulo Goldfeld Marco Cabral Departamento de Matemática Aplicada Universidade Federal do Rio de Janeiro Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Definição (dependência linear) Um conjunto de vetores é linearmente dependente (LD) se existe um vetor que é c.l. dos demais ou, equivalentemente, se o vetor nulo pode ser expresso como c.l. não-trivial destes vetores. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Definição (independência linear) Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se ele não é LD ou, equivalentemente, se a única forma de expressar o vetor nulo como c.l. destes vetores é com uma c.l. trivial. Convenção O conjunto vazio é dito LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Definição (independência linear) Um conjunto de vetores é linearmente independente (LI) se ele não é LD ou, equivalentemente, se a única forma de expressar o vetor nulo como c.l. destes vetores é com uma c.l. trivial. Convenção O conjunto vazio é dito LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Teorema (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk = ∑ i<k αivi . Prova Se: trivial. Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja ∑k i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial. Se αk fosse zero, ∑k−1 i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, αk 6= 0 e vk = − ∑k−1 i=1 αi αk vi . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Teorema (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk = ∑ i<k αivi . Prova Se: trivial. Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja ∑k i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial. Se αk fosse zero, ∑k−1 i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, αk 6= 0 e vk = − ∑k−1 i=1 αi αk vi . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Teorema (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk = ∑ i<k αivi . Prova Se: trivial. Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja ∑k i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial. Se αk fosse zero, ∑k−1 i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, αk 6= 0 e vk = − ∑k−1 i=1 αi αk vi . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Teorema (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk = ∑ i<k αivi . Prova Se: trivial. Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja ∑k i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial. Se αk fosse zero, ∑k−1 i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, αk 6= 0 e vk = − ∑k−1 i=1 αi αk vi . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Teorema (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk = ∑ i<k αivi . Prova Se: trivial. Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja ∑k i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial. Se αk fosse zero, ∑k−1 i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, αk 6= 0 e vk = − ∑k−1 i=1 αi αk vi . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Teorema (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk = ∑ i<k αivi . Prova Se: trivial. Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja ∑k i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial. Se αk fosse zero, ∑k−1 i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, αk 6= 0 e vk = − ∑k−1 i=1 αi αk vi . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear Teorema (caracterização dos conjuntos LD) Os vetores v1,v2, . . . ,vp são LD se e só se existe um vetor que é combinação linear dos anteriores, vk = ∑ i<k αivi . Prova Se: trivial. Só se: seja k ≥ 1 mínimo tal que v1,v2, . . . ,vk são LD. Seja ∑k i=1 αivi = 0 c.l. não-trivial. Se αk fosse zero, ∑k−1 i=1 αivi = 0 seria c.l. não-trivial, contrariando a minimalidade de k. Assim, αk 6= 0 e vk = − ∑k−1 i=1 αi αk vi . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear – Exemplo (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim. α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7) = ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ)) = (0,0,0) m 1α +4β +7γ = 0 2α +5β +8γ = 0 3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0 3 6 7 0 ∼ 1 4 7 00 −3 −6 0 0 0 −2 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear – Exemplo (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim. α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7) = ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ)) = (0,0,0) m 1α +4β +7γ = 0 2α +5β +8γ = 0 3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0 3 6 7 0 ∼ 1 4 7 00 −3 −6 0 0 0 −2 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear – Exemplo (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim. α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7) = ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ)) = (0,0,0) m 1α +4β +7γ = 0 2α +5β +8γ = 0 3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0 3 6 7 0 ∼ 1 4 7 00 −3 −6 0 0 0 −2 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear – Exemplo (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim. α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7) = ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ)) ? = (0,0,0) m 1α +4β +7γ = 0 2α +5β +8γ = 0 3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0 3 6 7 0 ∼ 1 4 7 00 −3 −6 0 0 0 −2 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear – Exemplo (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim. α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7) = ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β+ 8γ), (3α+ 6β + 7γ)) = (0,0,0) m 1α +4β +7γ = 0 2α +5β +8γ = 0 3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0 3 6 7 0 ∼ 1 4 7 00 −3 −6 0 0 0 −2 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear – Exemplo (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim. α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7) = ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ)) = (0,0,0) m 1α +4β +7γ = 0 2α +5β +8γ = 0 3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0 3 6 7 0 ∼ 1 4 7 00 −3 −6 0 0 0 −2 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dependência Linear – Exemplo (1,2,3), (4,5,6) e (7,8,7) é LI? Sim. α(1,2,3) + β(4,5,6) + γ(7,8,7) = ((α+ 4β + 7γ), (2α+ 5β + 8γ), (3α+ 6β + 7γ)) = (0,0,0) m 1α +4β +7γ = 0 2α +5β +8γ = 0 3α +6β +7γ = 0 1 4 7 02 5 8 0 3 6 7 0 ∼ 1 4 7 00 −3 −6 0 0 0 −2 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn ... = ... en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn ∑ αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v m αi = vi ∀i Definição (base) Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se expressa de forma única como combinação dos seus elementos. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn ... = ... en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn ∑ αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v m αi = vi ∀i Definição (base) Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se expressa de forma única como combinação dos seus elementos. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn ... = ... en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn ∑ αiei = (α1, α2, . . . , αn) ? = (v1, v2, . . . , vn) = v m αi = vi ∀i Definição (base) Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se expressa de forma única como combinação dos seus elementos. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn ... = ... en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn ∑ αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v m αi = vi ∀i Definição (base) Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se expressa de forma única como combinação dos seus elementos. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base e1 = (1,0,0, . . . ,0,0) ∈ Rn e2 = (0,1,0, . . . ,0,0) ∈ Rn ... = ... en = (0,0,0, . . . ,0,1) ∈ Rn ∑ αiei = (α1, α2, . . . , αn) = (v1, v2, . . . , vn) = v m αi = vi ∀i Definição (base) Um conjunto ordenado é base se todo vetor do espaço se expressa de forma única como combinação dos seus elementos. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 1 {e1,e2} é base de R2. Exemplo 2 {(1,0), (1,1), (0,1)} não é base de R2. (2,2) = 0(1,0) + 2(1,1) + 0(0,1) = 2(1,0) + 0(1,1) + 2(0,1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 1 {e1,e2} é base de R2. Exemplo 2 {(1,0), (1,1), (0,1)} não é base de R2. (2,2) = 0(1,0) + 2(1,1) + 0(0,1) = 2(1,0) + 0(1,1) + 2(0,1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 1 {e1,e2} é base de R2. Exemplo 2 {(1,0), (1,1), (0,1)} não é base de R2. (2,2) = 0(1,0) + 2(1,1) + 0(0,1) = 2(1,0) + 0(1,1) + 2(0,1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 3 β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn ∑ αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .) = (v1, v2, v3, . . .) = v m α1 = v1 α1 + α2 = v2 α1 + α2 + α3 = v3 ... ⇐⇒ α1 = v1 α2 = v2 − α1 = v2 − v1 α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2 ... Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 3 β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn ∑ αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .) = (v1, v2, v3, . . .) = v m α1 = v1 α1 + α2 = v2 α1 + α2 + α3 = v3 ... ⇐⇒ α1 = v1 α2 = v2 − α1 = v2 − v1 α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2 ... Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 3 β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn ∑ αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .) ? = (v1, v2, v3, . . .) = v m α1 = v1 α1 + α2 = v2 α1 + α2 + α3 = v3 ... ⇐⇒ α1 = v1 α2 = v2 − α1 = v2 − v1 α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2 ... Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 3 β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn ∑ αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .) = (v1, v2, v3, . . .) = v m α1 = v1 α1 + α2 = v2 α1 + α2 + α3 = v3 ... ⇐⇒ α1 = v1 α2 = v2 − α1 = v2 − v1 α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2 ... Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 3 β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn ∑ αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .) = (v1, v2, v3, . . .) = v m α1 = v1 α1 + α2 = v2 α1 + α2 + α3 = v3 ... ⇐⇒ α1 = v1 α2 = v2 − α1 = v2 − v1 α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2 ... Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 3 β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn é base. ∑ αibi = (α1, α1 + α2, α1 + α2 + α3, . . .) = (v1, v2, v3, . . .) = v m α1 = v1 α1 + α2 = v2 α1 + α2 + α3 = v3 ... ⇐⇒ α1 = v1 α2 = v2 − α1 = v2 − v1 α3 = v3 − (α1 + α2) = v3 − v2 ... Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 4 β = {1, t , t2, . . . , tn} ⊂ Pn é base. É evidente que todo vetor do espaço pode ser expresso como c.l. destes vetores. Unicidade: sabemos que n∑ i=0 ai t i = n∑ i=0 bi t i ∀t ⇔ ai = bi , i = 0,1, . . . ,n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e CoordenadaDimensão Base Exemplo 4 β = {1, t , t2, . . . , tn} ⊂ Pn é base. É evidente que todo vetor do espaço pode ser expresso como c.l. destes vetores. Unicidade: sabemos que n∑ i=0 ai t i = n∑ i=0 bi t i ∀t ⇔ ai = bi , i = 0,1, . . . ,n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Exemplo 4 β = {1, t , t2, . . . , tn} ⊂ Pn é base. É evidente que todo vetor do espaço pode ser expresso como c.l. destes vetores. Unicidade: sabemos que n∑ i=0 ai t i = n∑ i=0 bi t i ∀t ⇔ ai = bi , i = 0,1, . . . ,n. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Base Teorema β é base de H se e só se β é LI e gera H. Prova Só se: Seja β base de H. Da definição de base, segue que β é gerador. Da unicidade de representação de 0, segue que β é LI. Se: Seja β LI e gerador. Todo vetor pode ser gerado como c.l. dos vetores de β. Suponha v = ∑n i=0 αivi = ∑n i=0 ξivi . Então, ∑n i=0(αi − ξi)vi = 0. Como β é LI, αi − ξi = 0 ∀i . Portanto αi = ξi ∀i e a representação é única. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Definição (coordenadas) As coordenadas do vetor v na base β = {b1,b2, . . . ,bn}, são os coeficientes αi ’s usados para combinar linearmente os vetores bi ’s de forma a gerar v. [v]β = α1 α2 ... αn ⇐⇒ v = n∑ i=1 αibi Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Exemplo 1 ε = {e1,e2, . . . ,en} v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen [ (v1, v2, . . . , vn) ] ε = v1 v2 ... vn coordenadas de vcom relação à base ε Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Exemplo 1 ε = {e1,e2, . . . ,en} v = (v1, v2, . . . , vn) = v1e1 + v2e2 + · · ·+ vnen [ (v1, v2, . . . , vn) ] ε = v1 v2 ... vn coordenadas de vcom relação à base ε Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Exemplo 2 β ={(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn v = (v1, v2, . . . , vn) = v1b1+(v2−v1)b2+ · · ·+(vn−vn−1)bn [ (v1, v2, . . . , vn) ] β = v1 v2 − v1 ... vn − vn−1 coordenadas de v com relação à base β Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Exemplo 2 β = {(1,1, . . . ,1), (0,1, . . . ,1), . . . , (0, . . . ,0,1)} = {b1,b2, . . . ,bn} ⊂ Rn v = (v1, v2, . . . , vn) = v1b1+(v2−v1)b2+ · · ·+(vn−vn−1)bn [ (v1, v2, . . . , vn) ] β = v1 v2 − v1 ... vn − vn−1 coordenadas de v com relação à base β Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Observação v = (v1, v2, . . . , vn) [v]ε = v1 v2 ... vn [v]β = v1 v2 − v1 ... vn − vn−1 Não confundir coordenadas e entradas. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Observação v = (v1, v2, . . . , vn) [v]ε = v1 v2 ... vn [v]β = v1 v2 − v1 ... vn − vn−1 Não confundir coordenadas e entradas. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas v = (2,4) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas v = (2,4) ε = { (1,0), (0,1) } [v]ε = [ 2 4 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas v = (2,4) β = { (1,1), (0,1) } [v]β = [ 2 2 ] Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [v]β = 23 −1 v = ? v = 2(1,1,1) + 3(1,0,1)− (2,0,−1) = (3,2,6) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [v]β = 23 −1 v = ? v = 2(1,1,1) + 3(1,0,1)− (2,0,−1) = (3,2,6) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [v]β = 23 −1 v = ? v = 2(1,1,1) + 3(1,0,1)− (2,0,−1) = (3,2,6) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [(4,3,7)]β = ? a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1) = (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3) = (4,3,7) 1a1 + 1a2 + 2a3 = 4 1a1 + 0a2 + 0a3 = 3 1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3 1 1 −1 7 ∼ 1 0 0 30 1 0 3 0 0 1 −1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [(4,3,7)]β = ? a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1) = (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3) = (4,3,7) 1a1 + 1a2 + 2a3 = 4 1a1 + 0a2 + 0a3 = 3 1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3 1 1 −1 7 ∼ 1 0 0 30 1 0 3 0 0 1 −1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [(4,3,7)]β = ? a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1) = (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3) = (4,3,7) 1a1 + 1a2 + 2a3 = 4 1a1 + 0a2 + 0a3 = 3 1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3 1 1 −1 7 ∼ 1 0 0 30 1 0 3 0 0 1 −1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [(4,3,7)]β = ? a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1) = (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3) = (4,3,7) 1a1 + 1a2 + 2a3 = 4 1a1 + 0a2 + 0a3 = 3 1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3 1 1 −1 7 ∼ 1 0 0 30 1 0 3 0 0 1 −1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {(1,1,1), (1,0,1), (2,0,−1)} é base de R3. [(4,3,7)]β = 33 −1 a1(1,1,1) + a2(1,0,1) + a3(2,0,−1) = (a1 + a2 + 2a3, a1, a1 + a2 − a3) = (4,3,7) 1a1 + 1a2 + 2a3 = 4 1a1 + 0a2 + 0a3 = 3 1a1 + 1a2 + (−1)a3 = 7 1 1 2 41 0 0 3 1 1 −1 7 ∼ 1 0 0 30 1 0 3 0 0 1 −1 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Parábola passando por (-2,2), (-1,1) e (1,3)? Solução 1: Montar sistema linear (vide slides antigos). Solução 2: β = {1, x + 2, (x + 2)(x + 1)} base de P2: p(x) = α+ β(x + 2) + γ(x + 2)(x + 1) 2 = p(−2) = α+ 0+ 0 ⇒ α = 2 1 = p(−1) = 2+ β + 0 ⇒ β = −1 3 = p(1) = 2− 3+ 6γ ⇒ γ = 2/3 [p]β = 2−1 2/3 p(x) = 2− (x + 2) + 2 3 (x + 2)(x + 1) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V . As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn. Neste contexto, no entanto, usa-se a notação [v]β = α1... αn ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)). Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se α1... αn . Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε = α1... αn . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V . As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn. Neste contexto, no entanto, usa-se a notação [v]β = α1... αn ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)). Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se α1... αn . Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε = α1... αn . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V . As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn. Neste contexto, no entanto, usa-se a notação [v]β = α1... αn ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)). Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se α1... αn . Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε = α1... αn . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas Seja β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V . As coordenadas de v ∈ V na base β formam uma n-upla ordenada de números reais, isto é, [v]β ∈ Rn. Neste contexto, no entanto, usa-se a notação [v]β = α1... αn ( e não [v]β = (α1, . . . , αn)). Às vezes, para denotar (α1, . . . , αn), usa-se α1... αn . Lembre que [(α1, . . . , αn)]ε = α1... αn . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V u = ∑n i=1 αivi , w = ∑n i=1 γivi , u+w = ∑n i=1(αi + γi)vi [u]β = α1... αn , [w]β = γ1... γn [u+w]β = α1 + γ1... αn + γn = α1... αn + γ1... γn = [u]β + [w]β Analogamente, [ξu]β = ξα1... ξαn = ξ[u]β . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V u = ∑n i=1 αivi , w = ∑n i=1 γivi , u+w = ∑n i=1(αi + γi)vi [u]β = α1... αn , [w]β = γ1... γn [u+w]β = α1 + γ1... αn + γn = α1... αn + γ1... γn = [u]β + [w]β Analogamente, [ξu]β = ξα1... ξαn = ξ[u]β . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V u = ∑n i=1 αivi , w = ∑n i=1 γivi , u+w = ∑n i=1(αi + γi)vi [u]β = α1... αn , [w]β = γ1... γn [u+w]β = α1 + γ1... αn + γn = α1... αn + γ1... γn = [u]β + [w]β Analogamente, [ξu]β = ξα1... ξαn = ξ[u]β . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V u = ∑n i=1 αivi , w = ∑n i=1 γivi , u+w = ∑n i=1(αi + γi)vi [u]β = α1... αn , [w]β = γ1... γn [u+w]β = α1 + γ1... αn + γn = α1... αn + γ1... γn = [u]β + [w]β Analogamente, [ξu]β = ξα1... ξαn = ξ[u]β . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas β = {v1,v2, . . . ,vn} base de V u = ∑n i=1 αivi , w = ∑n i=1 γivi , u+w = ∑n i=1(αi + γi)vi [u]β = α1... αn , [w]β = γ1... γn [u+w]β = α1 + γ1... αn + γn = α1... αn + γ1... γn = [u]β + [w]β Analogamente, [ξu]β = ξα1... ξαn = ξ[u]β . Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas O mapeamento [ · ]β : V → Rn v 7→ [v]β é linear, isto é, preserva soma vetorial e multiplicação por escalar [u+ v]β = [u]β + [v]β ∀u,v ∈ V [αu]β = α[u]β ∀α ∈ R, ∀u ∈ V ou, equivalentemente, preserva combinações lineares [αu+ γv]β = α[u]β + γ[v]β ∀α, γ ∈ R, ∀u,v ∈ V Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Esp. Vet. IIEspaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Coordenadas O mapeamento [ · ]β : V → Rn v 7→ [v]β é linear, isto é, preserva soma vetorial e multiplicação por escalar [u+ v]β = [u]β + [v]β ∀u,v ∈ V [αu]β = α[u]β ∀α ∈ R, ∀u ∈ V ou, equivalentemente, preserva combinações lineares [αu+ γv]β = α[u]β + γ[v]β ∀α, γ ∈ R, ∀u,v ∈ V Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Definição (dimensão finita) Um espaço que admite base finita é de dimensão finita. Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita. Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base. Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base. P é de dimensão infinita. De fato, dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer, defina N = max p∈β grau(p) e q(x) = xN+1. Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Definição (dimensão finita) Um espaço que admite base finita é de dimensão finita. Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita. Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base. Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base. P é de dimensão infinita. De fato, dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer, defina N = max p∈β grau(p) e q(x) = xN+1. Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Definição (dimensão finita) Um espaço que admite base finita é de dimensão finita. Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita. Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base. Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base. P é de dimensão infinita. De fato, dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer, defina N = max p∈β grau(p) e q(x) = xN+1. Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Definição (dimensão finita) Um espaço que admite base finita é de dimensão finita. Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita. Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base. Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base. P é de dimensão infinita. De fato, dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer, defina N = max p∈β grau(p) e q(x) = xN+1. Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Definição (dimensão finita) Um espaço que admite base finita é de dimensão finita. Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita. Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base. Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base. P é de dimensão infinita. De fato, dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer, defina N = max p∈β grau(p) e q(x) = xN+1. Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Definição (dimensão finita) Um espaço que admite base finita é de dimensão finita. Um espaço que não admite, é dito de dimensão infinita. Rn é de dimensão finita, pois ε = {e1,e2, . . . ,en} é base. Pn é de dimensão finita, pois ε = {1, x , x2, . . . , xn} é base. P é de dimensão infinita. De fato, dado β = {p1,p2, . . . ,pn} ⊂ P conjunto finito qualquer, defina N = max p∈β grau(p) e q(x) = xN+1. Então q ∈ P, mas q 6∈ 〈β〉. β não é base. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Sejam aij tais que vj = m∑ i=1 aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m j=1,...,n . Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0. n∑ j=1 xjaj = 0 ⇒ n∑ j=1 xjaij = 0 ∀i ⇒ m∑ i=1 n∑ j=1 xjaij ui = 0 ⇒ n∑ j=1 xj ( m∑ i=1 aijui ) = n∑ j=1 xjvj = 0 ⇒ γ não é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Sejam aij tais que vj = m∑ i=1 aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m j=1,...,n . Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0. n∑ j=1 xjaj = 0 ⇒ n∑ j=1 xjaij = 0 ∀i ⇒ m∑ i=1 n∑ j=1 xjaij ui = 0 ⇒ n∑ j=1 xj ( m∑ i=1 aijui ) = n∑ j=1 xjvj = 0 ⇒ γ não é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Sejam aij tais que vj = m∑ i=1 aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m j=1,...,n . Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0. n∑ j=1 xjaj = 0 ⇒ n∑ j=1 xjaij = 0 ∀i ⇒ m∑ i=1 n∑ j=1 xjaij ui = 0 ⇒ n∑ j=1 xj ( m∑ i=1 aijui ) = n∑ j=1 xjvj = 0 ⇒ γ não é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Sejam aij tais que vj = m∑ i=1 aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m j=1,...,n . Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0. n∑ j=1 xjaj = 0 ⇒ n∑ j=1 xjaij = 0 ∀i ⇒ m∑ i=1 n∑ j=1 xjaij ui = 0 ⇒ n∑ j=1 xj ( m∑ i=1 aijui ) = n∑ j=1 xjvj = 0 ⇒ γ não é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Sejam aij tais que vj = m∑ i=1 aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m j=1,...,n . Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0. n∑ j=1 xjaj = 0 ⇒ n∑ j=1 xjaij = 0 ∀i ⇒ m∑ i=1 n∑ j=1 xjaij ui = 0 ⇒ n∑ j=1 xj ( m∑ i=1 aijui ) = n∑ j=1 xjvj = 0 ⇒ γ não é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Sejam aij tais que vj = m∑ i=1 aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m j=1,...,n . Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0. n∑ j=1 xjaj = 0 ⇒ n∑ j=1 xjaij = 0 ∀i ⇒ m∑ i=1 n∑ j=1 xjaij ui = 0 ⇒ n∑ j=1 xj ( m∑ i=1 aijui ) = n∑ j=1 xjvj = 0 ⇒ γ não é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Sejam β = {u1,u2, . . . ,um} , γ = {v1,v2, . . . ,vn} ⊂ H. Se β é gerador e γ é LI, então m ≥ n. Sejam aij tais que vj = m∑ i=1 aijui . Defina A = [aij ] i=1,...,m j=1,...,n. Suponha n > m. Neste caso, existe x 6= 0 tal que Ax = 0. n∑ j=1 xjaj = 0 ⇒ n∑ j=1 xjaij = 0 ∀i ⇒ m∑ i=1 n∑ j=1 xjaij ui = 0 ⇒ n∑ j=1 xj ( m∑ i=1 aijui ) = n∑ j=1 xjvj = 0 ⇒ γ não é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Toda base de um subespaço vetorial de dimensão finita tem o mesmo número de elementos. Sejam β = {v1,v2, . . . ,vn} e γ = {u1,u2, . . . ,um} bases. β é LI γ é gerador } ⇒ n < m β é gerador γ é LI } ⇒ m < n ⇒ m = n Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Toda base de um subespaço vetorial de dimensão finita tem o mesmo número de elementos. Sejam β = {v1,v2, . . . ,vn} e γ = {u1,u2, . . . ,um} bases. β é LI γ é gerador } ⇒ n < m β é gerador γ é LI } ⇒ m < n ⇒ m = n Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Toda base de um subespaço vetorial de dimensão finita tem o mesmo número de elementos. Sejam β = {v1,v2, . . . ,vn} e γ = {u1,u2, . . . ,um} bases. β é LI γ é gerador } ⇒ n < m β é gerador γ é LI } ⇒ m < n ⇒ m = n Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Definição (dimensão) A dimensão de um (sub)espaço vetorial de dimensão finita é o número de vetores em (qualquer) uma de suas bases. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Lema Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉. vk = ∑ i 6=k αivi . Dado w ∈ 〈S〉, temos w = ∑ i γivi = ∑ i 6=k γivi + γkvk = ∑ i 6=k γivi + γk ∑ i 6=k αivi = ∑ i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Lema Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉. vk = ∑ i 6=k αivi . Dado w ∈ 〈S〉, temos w = ∑ i γivi = ∑ i 6=k γivi + γkvk = ∑ i 6=k γivi + γk ∑ i 6=k αivi = ∑ i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Lema Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉. vk = ∑ i 6=k αivi . Dado w ∈ 〈S〉, temos w = ∑ i γivi = ∑ i 6=k γivi + γkvk = ∑ i 6=k γivi + γk ∑ i 6=k αivi = ∑ i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Lema Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉. vk = ∑ i 6=k αivi . Dado w ∈ 〈S〉, temos w = ∑ i γivi = ∑ i 6=k γivi + γkvk = ∑ i 6=k γivi + γk ∑ i 6=k αivi = ∑ i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Lema Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉. vk = ∑ i 6=k αivi . Dado w ∈ 〈S〉, temos w = ∑ i γivi = ∑ i 6=k γivi + γkvk = ∑ i 6=k γivi + γk ∑ i 6=k αivi = ∑ i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Lema Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉. vk = ∑ i 6=k αivi . Dado w ∈ 〈S〉, temos w = ∑ i γivi = ∑ i 6=k γivi + γkvk = ∑ i 6=k γivi + γk ∑ i 6=k αivi = ∑ i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Lema Dado um conjunto S = {v1,v2, . . . ,vn} LD, seja vk c.l. dos demais. Então 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉 = 〈S〉. vk = ∑ i 6=k αivi . Dado w ∈ 〈S〉, temos w = ∑ i γivi = ∑ i 6=k γivi + γkvk = ∑ i 6=k γivi + γk ∑ i 6=k αivi = ∑ i 6=k (γi + γkαi)vi ∈ 〈v1, . . . ,vk−1,vk+1, . . . ,vn〉. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Todo conjunto gerador contém uma base. Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior). Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI. (Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Todo conjunto gerador contém uma base. Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior). Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI. (Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Todo conjunto gerador contém uma base. Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior). Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI. (Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Todo conjunto gerador contém uma base. Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior). Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI. (Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Todo conjunto gerador contém uma base. Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior). Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI. (Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Todo conjunto gerador contém uma base. Se o conjunto é LI, nada a fazer. Se é LD, há um vetor que é combinação linear dos demais. Descarte este vetor; o subconjunto obtido ainda é gerador (pelo lema anterior). Repita o procedimento até que o subconjunto obtido seja LI. (Assumimos tacitamente que o conjunto inicial é finito.) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base. Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto, os vi ’s não são descartados no processo. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base. Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto, os vi ’s não são descartados no processo. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base. Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto, os vi ’s não são descartados no processo. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base. Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto, os vi ’s não são descartados no processo. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base. Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto, os vi ’s não são descartados no processo. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Teorema Todo conjunto LI pode ser estendido a uma base. Ou seja, se {v1,v2, . . . ,vp} é LI, existem vp+1, . . . ,vn tais que {v1,v2, . . . ,vp,vp+1, . . . ,vn} é base. Seja {v1,v2, . . . ,vp} LI e β = {u1,u2, . . . ,un} base. Note que {v1,v2, . . . ,vp,u1,u2, . . . ,un} é gerador. Aplique o resultado anterior, notando que, enquanto o subconjunto é LD, existe um vetor que é combinação linear dos anteriores. Este não pode ser um dos vi ’s. Portanto, os vi ’s não são descartados no processo. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 28 Esp. Vet. II Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão Dimensão Corolário Em um espaço de dimensão n: um conjunto com mais de n vetores não é LI; um conjunto com menos de n vetores não é gerador e um conjunto de n vetores é gerador se e só se é LI. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 28 Espaços Vetoriais (In)Dependência Linear Base e Coordenada Dimensão
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