Potenciação e Radiciação

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POTENCIAÇÃO 
 
Seja 𝒂 ∈ ℝ e 𝒏 ∈ ℕ maior que 1. Potência de base 𝒂 e expoente 𝒏 é o produto de 𝒏 fatores iguais a 𝒂. 
Representa-se a potência pelo símbolo 𝒂𝒏. 
 𝑎𝑛 = 𝑎 · 𝑎 · 𝑎 · … · 𝑎 , ∀𝑛 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2 
 𝑛 fatores 
Exemplo: 
 23 = 2 · 2 · 2 = 8, o nº 2 é a base, o nº 3 é o expoente e o nº 8 é chamado de potência. 
 
𝑎1 = 𝑎 
Exemplos: 24 = 2 · 2 · 2 · 2 = 16 
 (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = 16 
 −24 = −2 · 2 · 2 · 2 = −16 
 
𝑎−1 =
1
𝑎𝑛
 
Exemplos: 2−3 =
1
 23 
=
1
 2·2·2 
=
1
 8 
= 0,125 
 (−2)−3 =
1
(−2)3 
=
1
 (−2)·(−2)·(−2)
=
1
−8 
= −
1
8 
= −0,125 
 −2−3 = −
1
 23 
= −
1
 2·2·2 
= −
1
 8 
= −0,125 
 
 
 Definição: Para expoente zero 𝑎0 = 1 
 
 
 
Fundamentos do Cálculo Integral e Diferencial 
 
 3 – POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO Profª Lilian Brazile 
 
 
 
 
 
 
 
 
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expoente par → + 
 Regras de sinais: 
expoente ímpar → − 
 
Exemplos: 
1) (+3)2 = +9 
2) (−3)2 = +9 
3) (+2)3 = +8 
4) (−2)3 = −8 
5) (+8)0 = +1 
6) (−5)0 = +1 
7) (+13)1 = +13 
 
8) (−9)1 = −9 
9) (+13)1 = +13 
10) (−9)1 = −9 
11) (
1
2
)
4
=
1
16
 
12) (−
1
2
)
4
= +
1
16
 
13) (−
1
2
)
3
= −
1
8
 
 
 
Propriedades 
 
𝑎𝑚 · 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 
𝑎𝑚 ∶ 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 
(𝑎𝑚)𝑛 = 𝑎𝑚·𝑛 
𝑎𝑚 · 𝑏𝑚 = (𝑎 · 𝑏)𝑚 
𝑎𝑚
𝑏𝑚
= (
𝑎
𝑏
)
𝑚
 
 
Exemplos: 
1) 23 · 25 = 23+5 = 28 
2) 23 · 2(−5) = 23+(−5) = 2−3 =
1
8
 
3) 210 ÷ 26 = 210−6 = 24 
4) 210 ÷ 2−6 = 210−(−6) = 210+6 = 216 
5) (25)7 = 25·7 = 235 
 
 
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6) 
26 · 27· (24)
2
25 · 23
=
26 · 27 · 28
25 · 23
=
221
28
= 221−8 = 213 
7) (2 · 5)2 = 25 · 52 = 4 · 25 = 100 
8) (
4
3
)
2
=
42
32
·
16
9
 
 
 
Potência de base 10 
 
 Expoente positivo; indica a quantidades de zeros após o algarismo 1. 
 Expoente negativo; indica a quantidades de casas decimais após a vírgula. 
 
 
Exemplos: 
1) 103 = 1 000 
2) 108 = 100 000 000 
3) 10−2 = 0,01 
4) 10−9 = 0,000000001 
 
 
 
Notação Científica 
 
É composta pelo produto de dois fatores, sendo o primeiro um número maior que 1 e menor 
que 10 e, o segundo, uma potência de base 10. 
 
 
 Exemplos: 
1) 0,0000002 = 2 . 10−7 
2) 3 000 000 = 3 . 106 
3) 0,00054 = 5,4 . 10−4 
4) 1 500 000 000 = 1,5 . 109 
 
 
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RADICIAÇÃO 
 
Seja 𝒂 ∈ ℝ+ e 𝒏 ∈ ℕ
∗, chama-se raiz enésima de 𝒂, o número 𝒃 tal que √𝒂
𝒏 = 𝒃 ⇒ 𝒃𝒏 = 𝒂 
 
Exemplos: 
 √16 = √42
2
= 4 ⇒ 42 = 16 
√8
3
= √23
3
= 2 ⇒ 23 = 8 
 
 
 √𝑎 → radical 
No símbolo √𝒂
𝒏 , temos: 𝒂 → radicando 
 𝒏 → índice da raíz 
 
Sendo 𝒏 ∈ ℕ, 𝑛 ≥ 2, temos: 
 Se 𝒏 par e 𝒂 < 𝟎 ; só é definida nos reais para radicandos positivos, ou seja, a 
expressão √𝒂
𝒏
 não tem significado real. 
 
 Se 𝒏 ímpar; sempre é definida nos reais; 
 
 
Exemplos: 
 
1) √−81
4
= ∄ 
 
2) √−4 = ∄ 
 
3) √−8
3
= √(−2)3
3
= −2 
 
 
 
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4) √16
4
= √24
4
= 2 
16
8
4
2
1
|
|
2
2
2
2
24
 
 
5) √8
3
= √23
3
= 2 
8
4
2
1
|
2
2
2
23
 
 
6) √−3125
5
= −√55
5
= −5 
3125
625
125
25
5
1
|
|
5
5
5
5
5
55
 
 
7) √50 = √2 · 52 = √2 · √52 = 5√2 
50
25
5
1
|
2
5
5
2 · 52
 
 
8) √−48
3
= √−23 · 2 · 3 
3
= −√23
3
 · √2 · 3
3
= −2√6
3
 
48
24
12
6
3
1
|
|
2
2
2
2
3
24 · 3
 
 
9) √300 = √22 · 3 · 52 = √22 · √3 · √52 = 2 · 5 √3 = 10√3 
300
150
75
25
5
1
|
|
2
2
3
5
5
22 · 3 · 52
 
 
 
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 Potência de um expoente racional; Seja 𝒂 ∈ ℝ+, 𝒏 ∈ ℕ
∗ e 
𝒎
𝒏
 ∈ ℚ. A potência é 
definida por: 𝒂
𝑚
𝑛⁄ = √𝒂𝒎
𝒏
 . 
 Exemplos: 
2
2
3 = √22
3
 
2
1
5 = √21
5
= √2
5
 
 
 
 
Propriedades 
 
√𝑎 · 𝑏
𝑛
= √𝑎
𝑛 · √𝑏
𝑛
 
√
𝑎
𝑏
𝑛
 = 
√𝑎
𝑛
√𝑏
𝑛 
𝑎
𝑚
𝑛⁄ = √𝑎𝑚
𝑛
= ( √𝑎
𝑛
)
𝑚
 
√ √𝑎
𝑛𝑚 = √𝑎
𝑚·𝑛
 
√𝑎𝑚
𝑛
= √𝑎𝑚·𝑝
𝑛·𝑝
 
 
 
Exemplos: 
1) √2 · √8 = √2 · 8 = √16 = 4 
2) 
√50
√2
= √
50
2
= √25 = 5 
3) √15 = √151·3
2·3
= √153
6
= √3375
6
 
4) √√7
3
= √7
2·3
= √7
6
 
5) (√2)
2
= √22 = √4 = 2 
6) √√√2 = √2
2·2·2
= √2
8
= 21/8 
 
 
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Racionalização de denominadores 
 
 Racionalizar o denominador de uma fração significa eliminar todos os radicais (ou potências 
de expoentes fracionários) que existem no denominador da mesma, sem porém alterar o seu 
valor. 
 Exemplos: 
1) 
2
√3
=
2
√3
·
√3
√3
=
2 · √3
√3 · √3
=
2·√3
(√3)
2 =
2√3
3
 
2) 
2
√3−√8
=
2
(√3−√8)
·
(√3+√8)
(√3+√8)
=
 2√3 + 2√8
(√3 · √3)+(√3 · √8)−(√8 · √3)−(√8·√8)
=
 2√3 + 2√8
(√9)+(√24)−(√24)−(√64)
=
 2√3 + 2√8
3−8
=
 2√3 + 2√8
−5
= −
 2√3 + 2√8
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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EXERCÍCIOS 
 
1) Calcule as potenciações abaixo: 
 
a) (+7)2 = 
b) (−7)2 = 
c) (−5)3 = 
d) 122 = 
e) (−8)3 = 
f) (+11)2 = 
g) (−4)4 = 
h) (+10)4 = 
i) (+2)8 = 
j) (−1)10 = 
k) 150 = 
l) (−13)2 = 
m) 161 = 
n) (+9)3 = 
o) (−3)6 = 
p) (+6)2 = 
q) (−14)1 = 
r) (
1
5
)
−3
= 
 
 
 
 
2) Escreva em uma só potência: 
 
a) 22 · 27 = 
b) 328 ∶ 317 = 
c) 215 ∶ 23 = 
d) 512 ∶ 5−5 = 
e) (25)8 = 
f) (−3)5 · (−3)10 = 
g) (5−2)13 = 
h) (39)3 = 
 
i) 510 · 5−18 = 
j) 
72 · 73 · 75 
74
= 
k) 
43 · 4 · 412 
45
= 
l) 
617 · 65 
64 · 62
= 
m) 
63 · 63 
67 · 65
= 
n) √75
3
= 
o) √−53 =
7
 
 
 
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3) Calcule os radicais abaixo: 
 
a) √12 = 
b) √27
3
= 
c) √128 = 
d) √81
3
= 
e) √243 = 
f) √64
3
= 
g) √216 = 
h) √648
3
= 
i) √32
4
= 
j) √200 = 
k) √−50 = 
l) √1024
5
= 
 
 
 
4) Resolva as seguintes expressões: 
 
a) (−6)2 ∶ 3 + √25 = 
b) (−6)2 ∶ 3 + √25 = 
c) (−6)4 ∶ (+1)2 − √16
4
= 
d) (−12)2 ∶ (√64) . 07 = 
e) (−3)5 ∶ (−9)2 − √8
3
= 
f) (−5)4 ∶ (√25) · (−2)7 = 
g) (+4)3 ∶ 8 + √49 = 
h) (+8)2 ∶ √4 + 9 = 
i) (+6)2 ∶ √9 + 11 = 
j) (+12)2 ∶ √16 − 5 = 
 
k) (−3)4 ∶ (√81) · (−1)7 = 
l) (+2)3 ∶ 4 + √81 = 
m) (+2)4 ∶ (−2)2 − √125
3
= 
n) (−10)2 ∶ 2 + √16 = 
o) (−2)4 ∶ (−4)2 − √27
3
= 
p) (+3)2 ∶ √9 + 5 = 
q) (−2)4 ∶ (√64) · (−1)7 = 
r) √12 · √3 +
√12
√3
= 
s) 
 √√64
3
 
√16
6 − 0
1 + 3 = 
 
 
5) Racionalize: 
 
a) 
1
√3
= 
b) 
12
2√5
= 
c) 
7
21√7
= 
d) 
 13+√2 
√6
= 
 
e) 
5 
3−√7
= 
f) 
10
2+√3
= 
g) 
13√5 
√3−√7
= 
h) 
16
5√3−2
=