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Universidade Federal do Ceara´. Departamento de Matema´tica. CB0664 - Ca´lculo Fundamental Aplicac¸o˜es da Integral Definida Segunda Lista de Exerc´ıcios (1) Utilizando sec¸o˜es planas paralelas, mostre que o volume de uma piraˆmide quadran- gular reta, com altura h e base quadrada de lado a, e´ igual a a2h 3 . (2) Utilizando integral de sec¸o˜es planas paralelas, mostre que o volume do cone circular reto, de altura h e raio da base r, e´ igual a pir2h 3 . (3) Usando o Ca´lculo Integral, calcule o volume de um tronco de piraˆmide, de altura h, cuja base e´ um quadrado de lado a e cujo topo e´ um quadrado de lado b. Resp. V = h 3 (a2 + ab+ b2)u.v. (4) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o triaˆngulos equ¨ila´teros, todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm como um dos seus lados cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro. Resp. V = 4 √ 3r3 3 u.v. (5) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles, todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm como um dos seus catetos cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro. Resp. V = 8r3 3 u.v. 1 (6) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o triaˆngulos retaˆngulos iso´sceles, todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm como hipotenusa cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro. Resp. V = 4r3 3 u.v. (7) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o semi-elipses, todas situadas em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm o eixo menor como cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro e a medida do eixo maior igual ao dobro da medida do eixo menor. (Considere a a´rea da elipse de semi-eixos maior e menor a e b, respectivamente, igual a piab ). Resp. V = 4pir3 3 u.v. (8) Calcule o volume de um so´lido que tem para base um c´ırculo de raio r e cujas sec¸o˜es transversais a um diaˆmetro da mesma sa˜o semi-elipses, todas contidas em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a contem, e que teˆm o eixo menor como cordas da circunfereˆncia da base, perpendiculares a esse diaˆmetro e todas elas teˆm a mesma excentricidade e. Resp. V = 2pir3 3 √ 1− e2u.v. (9) Calcule o volume de um so´lido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor a e b, respectivamente, e cujas sec¸o˜es transversais ao eixo menor sa˜o semi- c´ırculos, todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a con- tem, e tendo para diaˆmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo menor. Resp. V = 2pia2b 3 u.v. (10) Calcule o volume de um so´lido que tem para base uma elipse de semi-eixo maior e menor a e b, respectivamente, e cujas sec¸o˜es transversais ao eixo maior sa˜o semi- c´ırculos, todos situados em um mesmo semi-espac¸o em relac¸a˜o ao plano que a con- tem, e tendo para diaˆmetros cordas da elipse da base, perpendiculares ao eixo maior. (Observe que esse volume e´ menor do que o volume do item anterior). Resp. V = 2piab2 3 u.v. (11) Calcule o volume do so´lido de base B = {(x, y) ∈ R2; y2 ≤ x ≤ 3− 3y2 cujas sec¸o˜es por planos perpendiculares ao eixo Ox sa˜o quadrados com um lado apoiado em B. Resp. V = 6u.v. 2 (12) Determine a a´rea da regia˜o do plano limitada simultaneamente pelas seguintes cur- vas: (a) y = lnx, x = 2 e o eixo Ox. Resp. (2 ln 2− 1)u.a (b) x = 8 + 2yy2,y = 1, y = 3 e x = 0. Resp. 46 3 u.a (c) xy = 4 e x+ y = 5. Resp. ( 15 2 − 8 ln 2)u.a (d) y = 2x, y = 2xx2, x = 0 e x = 2. Resp. ( 2 ln 2 − 4 3 )u.a (e) y = 2x, y = 1 e y = 2 x . Resp. (−3 4 + 2 ln 2)u.a (f) y = |x2 − 4| e y = 2. Resp. ( 16 √ 2 + 24 √ 6− 64 3 )u.a (g) y = x3 − 3x e y = 2x2. Resp. 71 6 u.a (h) y = 9 x , y = 9x e y = x. Resp. (18 ln 3)u.a (i) f(x) = x|x| e g(x) = x3. Resp. 1 6 u.a (j) x = y2 − 2 e x = 6− y2. Resp. 64 3 u.a (13) ] Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o do plano limitada pelo gra´fico da func¸a˜o f(x) = cosh(x), com x ∈ [1, 1], em torno do eixo Ox. Resp. V = pi(e4 + 4e2 − 1) 4e2 u.v (14) Calcule o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o do plano limitada pelo gra´fico da elipse 9x2 + y2 = 9 em torno do: (a) Eixo maior. Resp. V = 4pi u.v. 3 (b) Eixo menor. Resp. V = 12pi u.v. (15) Determine o volume do so´lido obtido pela rotac¸a˜o da regia˜o compreendida entre o(s) gra´fico(s) de: (a) y = (x1)(x3)2 e o eixo x, ao redor do eixo y. Resp. V = 24pi 5 u.v. (b) y = 3 √ x , x = 8 e o eixo x, ao redor do eixo x. Resp. V = 96pi 5 u.v. (c) y = 2 √ x− 1 e y = x1, ao redor da reta x = 6. Resp. V = 272pi 15 u.v. (d) x = (y2)2 e y = x, ao redor da reta y = 1. Resp. V = 27pi 2 u.v. (e) y = sinx, para 0 ≤ x ≤ pi, ao redor do eixo x. Resp. V = pi2 2 u.v. ”No Pain, No Gain” 4
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