Lista 3_Alg Linear

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Campus do Serta˜o
A´lgebra Linear: Lista de Exerc´ıcios 3
Professor: Rodrigo Fernandes de Moura Melo
(1) Verifique quais dos operadores a seguir sa˜o invers´ıveis. Em caso afirmativo, determine o operador
inverso.
(a) f : R2 → R2, f(x, y) = (3x− 4y,−x+ 2y).
(b) f : R2 → R2, f(x, y) = (2x− y,−4x+ 2y).
*(c) T : P1 → P1, T (a0 + a1x) = 5a0 + 2a1 − (4a0 + 2a1)x.
(d) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x− y + 2z, y − z, 2y − 3z).
(e) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x− y + 2z, y − z,−2x+ y − 3z).
*(f) D : P2 → P2, D(p(x)) = p′(x).
(2) Seja f : R2 → R2 o operador cuja matriz com relac¸a˜o a` base B = {v1 = (1, 3); v2 = (−1, 4)} e´
T =
 1 3
−2 5

(a) Encontre f(v1)B e f(v2)B .
(b) Encontre f(v1) e f(v2).
(c) Enonctre matriz que representa f na base canoˆnica.
*(3) Seja T : P2 → P2 o operador linear definido por T (p(x)) = p(3x− 5), isto e´,
T (a0 + a1x+ a2x
2) = a0 + a1(3x− 5) + a2(3x− 5)2.
(a) Encontre a matriz que representa T na base B =
{
1, x, x2
}
.
(b) Cacule T (1 + 2x+ 3x2).
(c) Cacule T (900).
(d) Cacule T (−5 + 2x).
(e) Cacule T (25− 20x+ 4x2)
(4) Sejam B = {v1, v2, v3, v4} uma base de um espac¸o vetorial V e f : V → V o operador linear definido
por f(v1) = v2; f(v2) = v3; f(v3) = v4; f(v4) = v1. Encontre a matriz que representa f na base B.
(5) Seja f : R3 → R3 o operador tal que
f(1, 1, 1) =
(
0, 1,
√
2
)
, f
(√
2, 0,
√
2
)
= (0, 0, 2), f(−1, 1, 1) =
(√
2, 1, 0
)
.
(a) Encontre a matriz que representa f na base canoˆnica.
(b) Mostre que f e´ ortogonal e sime´trico.
(6) Verifique quais dos operadores a seguir sa˜o ortogonais.
(a) f : R2 → R2, f(x, y) = (−y,−x).
(b) f : R2 → R2, f(x, y) = (x+ y, x− y).
(c) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x, 0, 0).
(d) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x, y cos θ + zsenθ,−ysenθ + z cos θ).
*(e) D : P2 → P2, D(p(x)) = p′′(x).
(7) Qual a inversa da matriz A =

1√
2
2
3
1
3
√
2
− 1√
2
2
3
1
3
√
2
0 − 1
3
4
3
√
2
 ?
(8) (a) Deˆ um exemplo de um operador sime´trico f : R3 → R3. tal que f(0, 1, 0) = (1, 2,−3).
(b) Determine m e n para que o operador f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x+2z,mx+4y+nz, 2x−3y+z)
seja sime´trico.
(9) Seja f : R2 → R2 um operador que dobra o comprimento do vetor u = (2, 1) e triplica o comprimento
do vetor v = (1, 2), sem alterar suas direc¸o˜es nem inverter seus sentidos.
(a) Calcule f(0, 3).
(b) Determine f(x, y).
(c) Qual a matriz do operador de f na base {u, v}?
(10) Demonstre.
(a) Se um operador linear f : V → V admite λ = 0 como valor pro´prio, enta˜o f na˜o e´ invers´ıvel.
(b) Uma matriz A e sua transposta At possuem os mesmos valores pro´prios.
(c) Os valores pro´prios de uma matriz triangular (ou diagonal) sa˜o os elementos da diagonal principal.
*(11) Verifique que os vetores da questa˜o 3, itens c, d e e, sa˜o autovetores do operador T .
(12) [Base de autovetores em R3]
Um espac¸o V , de dimensa˜o n, pode possuir uma base formada por autovetores de um operador
f : V → V , mesmo que este possua um nu´mero de autovalores menor que n.
(a) Verifique que os vetores v1 = (2,−1, 0), v2 = (1, 2, 0) e v3 = (0, 0, 1) formam uma base de R3 e sa˜o
autovetores do operador f : R3 → R3, f(x, y, z) = (−2x,−2y, 3z), mas que este operador possui
apenas dois autovalores.
(b) Verifique que os vetores v1 = (3,−2, 2), v2 = (1, 1,−1) e v3 = (3, 3, 6) formam uma base de R3 e
sa˜o autovetores do operador f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x+ y + z, 2y + z, 2y + 3z), mas que este
operador possui apenas dois autovalores.
(c) Verifique que qualquer base do R3 e´ composta por autovetores do operador f : R3 → R3,
f(x, y, z) = (2x, 2y, 2z), mas que este operador possui apenas um autovalor.
(13) Encontre os autovalores e autovetores dos operadores a seguir.
(a) f : R2 → R2, f(x, y) = (x+ 2y,−x+ 4y).
(b) f : R2 → R2, f(x, y) = (5x− y, x+ 3y).
(c) f : R2 → R2, f(x, y) = (y,−x).
(d) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z).
(e) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x,−2x− y, 2x+ y + 2z).
(f) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x+ 2y + z,−x+ 3y + z, 2y + 2z).
(g) f : R3 → R3, f(x, y, z) = (x+ 2y + z,−x+ 3y + z, 2y + 2z).
*(h) T : P2 → P2 dado na questa˜o 3.
(14) Determine, caso exista, a matriz que diagonaliza os operadores da questa˜o anterior.
(15) [Diagonalizac¸a˜o de Matrizes Sime´tricas]
Seja T uma matriz n× n sime´trica. Verifique os itens a seguir.
(a) Se λ1 e λ2 sa˜o autovalores distintos de T associados aos autovetores v1 e v2, mostre que v1⊥v2.
(b) Se T possui n autovalores distintos, e´ poss´ıvel mostrar que existem uma matriz invers´ıvel M e
uma matriz diagonal D tais que D = M−1TM . Use letra a para mostrar que as colunas de M
sa˜o vetores ortogonais.
(c) Caso necessa´tio, e´ poss´ıvel normalizar cada coluna de M do item anterior. Mostre que, neste caso,
M e´ ortogonal e que D = M t · T ·M .
(d) Encontre a matriz ortogonal M que diagonaliza a matriz sime´trica
T =

14
25
0 48
25
0 3 0
48
25
0 − 14
25
 .
Em seguida calcule M t · T ·M .