Baixe o app para aproveitar ainda mais
Prévia do material em texto
8. Derivadas das funções trigonométricas Obteremos agora a derivada de uma importante categoria de funções da Matemática: as funções trigonométricas, bem como das suas inversas. Essencialmente encontraremos a derivada da função ( ) ( )f x sen x= e da função ( ) ( )cosf x x= , onde x é um número real que representa a medida em radianos de um arco. Para essa finalidade vamos estabelecer dois limites muito importantes. O primeiro é ( ) 0 lim 1 sen θ θ θ→ = . Para provar esse fato, consideremos a figura a seguir. Nela estão mostrados uma circunferência de centro no ponto O e raio r , bem como os triângulos retângulos ABO e DCO . Nessa figura, θ representa a medida, em radianos, do ângulo ˆAOB . Sabemos que a medida θ do ângulo ˆAOB em radianos é dada por �AC r θ = , ou seja, �AC r θ= ⋅ . Também da figura, podemos concluir que ( ) ABsen r θ = , ou seja, ( )AB r sen θ= ⋅ e que ( ) DC DCtg rOC θ = = , ou seja, ( )DC r tg θ= ⋅ . Vamos guardar esses valores momentaneamente e voltarmos a examinar a figura. A partir dela, notamos que �AC AC DC≤ ≤ . Nossa idéia é utilizar essa desigualdade para calcularmos ( ) 0 lim sen θ θ θ→ . De fato, a partir da desigualdade acima e dos valores obtidos acima, temos que ( ) ( )r sen r r tgθ θ θ⋅ ≤ ⋅ ≤ ⋅ Dividindo todos os membros por r , obtemos: ( ) ( ) ( )( )cos sen sen tg θθ θ θ θ ≤ ≤ = . Agora dividindo todos os membros por ( )sen θ , obtemos: ( ) ( ) 11 cossen θ θ θ ≤ ≤ Invertendo essas frações, obtemos ( ) ( )1 cossen θ θθ≥ ≥ . Agora, tomando o limite quando 0θ → , obtemos: ( ) ( ) 0 0 0 lim1 lim limcos sen θ θ θ θ θ θ→ → → ≥ ≥ Como ( ) 0 0 lim1 limcos 1 θ θ θ → → = = , temos pelo Teorema do Confronto1 que ( ) 0 lim 1 sen θ θ θ→ = O segundo limite muito importante para nos ajudar no cálculo da derivada das funções trigonométricas é ( ) 0 cos 1 lim 0 θ θ θ→ − = . Para obtê-lo, vamos usar o limite anterior. De fato, basta observar que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 0 0 0 0 0 cos 1 cos 1 cos 1 cos 1 lim lim lim lim cos 1 cos 1 cos 1 0lim 1 0. cos 1 2 sen sen sen θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ → → → → → − − + − − = ⋅ = = = + ⋅ + ⋅ + − ⋅ = − ⋅ = + Atente bem que, no cálculo acima, usamos que ( ) 0 lim 0sen θ θ → = e que ( ) 0 limcos 1 θ θ → = . Portanto, acabamos de verificar que: ( ) 0 cos 1 lim 0 θ θ θ→ − = Vejamos agora como obter as derivadas das principais funções trigonométricas. Comecemos pela função ( ) ( )f x sen x= . Vamos calcular sua derivada no ponto x utilizando a definição . 1. O teorema do confronto diz que se , e f g h são funções tais que ( ) ( ) ( )f x g x h x≤ ≤ , para todo x próximo de a e se ( ) ( )lim lim x a x a f x h x L → → = = , então ( )lim x a g x L → = . ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 cos cos ' lim lim cos 1 lim limcos 0 cos 1 cos h h h h sen x h sen x sen x h sen h x sen x sen x x h h sen h sen x x sen x x x h h → → → → + − + − = = = − + = ⋅ + ⋅ = Em resumo ( )( ) ( )' cossen x x= . Passemos agora ao cálculo da derivada da função ( ) ( )cosf x x= , no ponto x , utilizando a definição. ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 cos cos cos cos cos cos ' lim lim cos 1 limcos lim cos 0 1 h h h h x h x x h sen h sen x x x x h h sen h x sen x x sen x sen x h h → → → → + − − − = = = − − = ⋅ − ⋅ = − Em resumo ( )( ) ( )cos 'x sen x= − . A partir dessas, podemos determinar as derivadas das outras funções trigonométricas: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) cos tan , tan cos sen x xf x x f x co x x sen x = = = = , ( ) ( ) ( ) 1 sec , cos f x x x = = e ( ) ( ) ( ) 1 cof x sec x sen x = = . Utilizaremos essencialmente a regra para a derivada do quociente de duas funções. Comecemos pela derivada de ( ) ( )( ) ( )tancos sen xf x x x = = . ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 cos ' cos ' tan ' cos cos cos cos cos 1 1 sec cos cos cos cos x sen x sen x xsen xf x x f x x x x x sen x sen x x sen x x x x x x ⋅ − ⋅ = = ∴ = = ⋅ − ⋅ − + = = = = Em resumo: ( )( ) ( )2tan ' secx x= . Comecemos pela derivada de ( ) ( )( ) ( ) cos tan xf x co x sen x = = . ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 2 2 2 cos ' cos 'cos tan ' cos cos cos 1 1 sec sen x x x sen xxf x co x f x sen x sen x sen x sen x x x x sen x co x sen x sen x sen x sen x ⋅ − ⋅ = = ∴ = = ⋅ − − ⋅ − − = = − = − = − Em resumo: ( )( ) ( )2tan ' secco x co x= − . Agora passaremos à derivada da função ( ) ( ) ( ) 1 sec cos f x x x = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 cos 1 ' 1 cos '1 sec ' cos cos cos 0 1 sec tan cos cos cos cos x xf x x f x x x x sen x sen x sen x x x x x x x ⋅ − ⋅ == = ∴ = = ⋅ − − = = ⋅ = ⋅ Em resumo, ( )( ) ( ) ( )sec ' sec tanx x x= ⋅ . Finalmente, chegamos ao cálculo da derivada da função ( ) ( ) ( ) 1 cof x sec x sen x = = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 ' 1 '1 co ' 0 cos cos cos1 sec tan sen x sen xf x sec x f x sen x sen x sen x x x x co x co x sen x sen x sen x sen x ⋅ − ⋅ = = ∴ = = ⋅ − = − = − ⋅ = − ⋅ Em resumo, ( )( ) ( ) ( )sec ' sec tanco x co x co x= − ⋅ . Exercícios propostos 1. Calcule a derivada das seguintes funções a. ( ) xxf 2cos= c. ( ) ( )53cos 2 ++= xxxf b. ( ) ( )2 2f x sen x x= + d. ( ) xsenxf 33= e. . 2( ) t (2 3 1)f x g x x= − + f. s n( ) 1 cos e xf x x = + , 2. Calcule o valor da derivada da função ( ) xsenxxf 33cos += no ponto em que 2 pi =x . 3. Se yxy =)cos( , determine dx dy . 4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de yx cos= no ponto − 3 , 2 1 pi . 5. Calcule os seguintes limites trigonométricos. (a) ( ) 0 6 lim sen θ θ θ→ (b) ( )0lim 7senθ θ θ→ (c) ( )( )0 3 lim 8 sen senθ θ θ→ (d) ( ) 4 4 lim 4x sen x x→ − − (e) ( ) 0 cos 2 1 lim z z z→ − _______________________________________________ Soluções a. 1. A função externa é ( ) xxg cos= e a interna é ( ) xxh 2= . Logo, usando a regra da cadeia, ficamos com: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xsenxsenxhxhgxf 2222''' −=×−== . b. A função externa é ( ) senxxg = e a interna é ( ) 2 2h x x x= + . Logo, usando a regra da cadeia, ficamos com: ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2' ' ' cos 2 2 2f x g h x h x x x x= = + × + . c. A função externa é ( ) xxg cos= e a interna é ( ) 53 2 ++= xxxh . Logo, usando a regra da cadeia, ficamos com: ( ) ( ) ( )1653' 2 +×++−= xxxsenxf . d. Aqui temos uma composição de três funções. Podemos raciocinar como antes. Mas podemos usar uma outra idéia. Vamos derivando “de fora para dentro” do seguinte modo: derivamos a mais externa, sem mexer em quem está dentro dela. Em seguida multiplicamos esse resultado pela derivada segunda mais externa, sem mexer em quem está dentro dela. E assim sucessivamente. Feito isso, ficaremos com: ( ) ( )( ) ( ) 33cos33' 2 ××= xxsenxf . e. 2 2( ) sec (2 3 1) (4 3)f x x x x′ = − + ⋅ − f. 2 2 2 2 2 (1 cos )(cos ) (s n )( s n ) cos cos s n cos 1 1( ) (1 cos ) (1 cos ) (1 cos ) 1 cos x x e x e x x x e x xf x x x x x + − − + + + ′ = = = = + + + + 2. Note que ( ) ( ) ( ),xnxmxf += onde ( ) xxm 3cos= e ( ) xsenxn 3= . Assim vamos usar a regra da cadeia duas vezes. Uma para a função ( ) xxm 3cos= e outra para a função ( ) xsenxn 3= . Para m , a funçãoexterna é ( ) 3xxg = e a interna é ( ) xxh cos= . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) ( ) xsenxsenxxxm 22 cos3cos3' −=−×= Procederemos da mesma forma para obtermos a derivada de n . Nesse caso a função externa é ( ) 3xxg = mais a interna passa a ser ( ) senxxh = . Usando a regra da cadeia, obtemos: ( ) ( ) .cos3cos3' 22 xxsenxsenxxn == . Como a derivada da soma de duas funções é a soma das derivadas das duas, temos que: ( ) xsenxxxsenxf 22 cos3cos3' −= . Agora fazendo 2 pi =x obtemos 0 2 cos 2 3 2 cos 2 3 2 ' 22 =−= pipipipipi sensenf , Uma vez que .0 2 cos = pi 3. ( )cos( ) s n( ) (1) s n( ) s n( )d dy dy dyxy y e xy x y x e xy y e xy dx dx dx dx = ⇒ − + = ⇒ − − = ( ) s n( )s n( ) 1 s n( ) 1 s n( ) dy dy dy y e xyy e xy x e xy dx dx dx x e xy − ⇒ − = + ⇒ = + 4. 3 2 2 31 3 sin1)sin(1 =⇒=⇒ − −=⇒−= dx dy dx dy dx dy dx dyy pi . Agora você já sabe o coeficiente angular. Já tem o ponto, so falta a reta. 5. (a) Perceba que ] (b) Perceba que Portanto: E daí: (c) Note que Daí Portanto: (d) Observe que se fizermos 4xθ = − , teremos que 4 0x θ→ ⇔ → . Portanto (e) Perceba que:
Compartilhar