Aula 16 - Controle e Automação I

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CRITÉRIO DE ESTABILIDADE 
DE NYQUIST 
Prof: Almir Kimura Junior 
EST – Escola Superior de Tecnologia 
UEA – Universidade do Estado do Amazonas 
 
 
 
 
 
Manaus, Brasil 
 
 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST 
 Determina a estabilidade de um sistema de malha fechada 
com base na resposta em frequência de malha aberta e nos 
pólos de malha aberta. 
 
 
 
 
 Para obter estabilidade, todas as raízes da equação 
característica de 1+G(s)H(s)=0 devem ficar no semiplano 
esquerdo do plano s . 
 O critério de estabilidade de Nyquist relaciona a resposta 
em frequência de malha aberta G(jω)H(jω) ao número de 
zeros e polos de 1+ G(jω)H(jω). 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST 
 A principal vantagem desse critério consiste que pode-se 
determinar a estabilidade absoluta do sistema de malha 
fechada, pode ser determinada graficamente a partir das 
curvas de resposta em frequência de malha aberta e não há 
necessidade de determinar de maneira efetiva os polos de 
malha fechada. 
 As curvas de resposta em frequência de malha aberta 
obtidas analítica e experimentalmente, podem ser 
utilizadas na análise de estabilidade. 
 Isso é conveniente porque, no projeto de um sistema de 
controle, expressões matemáticas de alguns dos 
componentes frequentemente não são conhecidas; apenas 
os dados da resposta em frequência estão disponiveis. 
 
 
 
 
 
 O critério de estabilidade de Nyquist é fundamentado em 
um teorema a partir da teoria de variáveis complexas. 
 Para entender o critério, primeiro discutiremos o 
mapeamento de contorno no plano complexo. 
 Vamos supor que a função de transferência de malha 
aberta G(s)H(s) seja representada pela relação de 
polinômios em s. 
 
 
 
 
 
 
 
 Equação característica do sistema 
 
 
 
 
 
 
CRITÉRIO DE ESTABILIDADE DE NYQUIST 
ESTUDO PRELIMINAR 
 A uma dada trajetória contínua e fechada, no plano s, 
corresponde uma curva fechada no plano F(s). 
 O número e o sentido dos envolvimentos da origem do plano 
F(s) pela curva fechada serão relacionados com a estabilidade 
do sistema 
 
 
 Temos a seguinte função de transferência de malha aberta: 
 
 
 A equação característica é: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DO ARGUMENTO 
 Para cada ponto no plano s corresponde um ponto no plano F(s) 
 Por exemplo: s= 2+j1, então F(s) será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Assim, o ponto s=2+j1 no plano s é mapeado no ponto 2-j1 no 
plano F(s). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DO ARGUMENTO 
PRINCÍPIO DO ARGUMENTO 
PRINCÍPIO DO ARGUMENTO 
 Pela análise, podemos ver que o sentido do envolvimento da 
origem do plano F(s) pelo lugar geométrico de F(s) depende do 
fato de o contorno no plano s envolver um polo ou um zero. 
 Note que a localização de um polo ou um zero no plano s, seja 
no semiplano direito ou no semiplano esquerdo, não faz 
diferença, mas o envolvimento de um polo ou um zero faz. 
 Por ultimo se o contorno no plano s envolver igual número de 
polos e de zeros, então a curva fechada correspondente no 
plano F(s) não envolverá a origem do plano F(s). 
 A discussão realizada é uma explicação gráfica do teorema do 
mapeamento, que é a base do critério de estabilidade de 
Nyquist. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
PRINCÍPIO DO ARGUMENTO 
Critério de estabilidade de Nyquist 
 O plano s para o critério de estabilidade de Nyquist e 
denominada contorno de Nyquist, constítuida do eixo 
imaginário do plano s e de uma semi circunferência de raio 
arbitrariamente grande, que envolva inteiramente o 
semiplano direito s. conforme é mostrado na figura abaixo. 
Critério de estabilidade de Nyquist 
 Seja F(s) a curva representativa da imagem 1+G(s)H(s), 
calculada sobre o contorno de Nyquist. 
 Pelo princípio do argumento: 
 
 
 
 
 
 Como Nz é o numero de polos de malha fechada no 
semiplano direito, então o sistema é estável se e somente 
Nz=0, ou seja, 
 
 Que é o critério de estabilidade de Nyquist 
 
 
 
Critério de estabilidade de Nyquist 
 Geralmente, desenha-se a curva de G(s)H(s) em vez de 
1+G(s)H(s). Nesse caso, o número de envolvimento da 
origem do plano 1+G(s)H(s) se transforma no número de 
envolvimentos no ponto -1+j0 do plano G(s)H(s). 
 Portanto, o critério de estabilidade de Nyquist pode ser 
enunciado assim: 
 
 Um sistema em malha fechada é estável se e somente se o 
número de envolvimentos do ponto -1+j0 pela curva 
G(s)H(s) no sentido anti-horário for igual ao número de 
polos de malha aberta com parte real positiva 
 
 Se G(s)H(s) não possuir polos no semiplano direito de s 
(Np=0), então para que o sistema em malha fechada seja 
estável, a curva G(s)H(s) não deve envolver o ponto -1+j0. 
 
 
 
 
 
 
 
 Como Nz é o numero de polos de malha fechada no 
semiplano direito, então o sistema é estável se e somente 
Nz=0, ou seja, 
 
 Que é o critério de estabilidade de Nyquist 
 
 
 
EXEMPLO 
 Considere um sistema com a função de transferência 
de malha aberta 
 
 
 Cujos polos são s=-1 e s=-10. 
 O módulo de G(jω)H(jω) é dado por 
 
 
 E a fase 
 
 
EXEMPLO 
 Na tabela abaixo são apresentados os valores do 
módulo e da fase de G(jω)H(jω) para algumas 
freqüências 0< ω <∞. 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O sistema em malha aberta não possui polos no 
semiplano direito. O diagrama polar de Nyquist não 
envolve o ponto -1+j0. Portanto, conclui-se que o 
sistema em malha fechada é estável. 
 
 
EXEMPLO 
 Considere um sistema com a função de transferência 
de malha aberta 
 
 
 Cujo os polos são s=+2 e s=-10. 
 O módulo de G(jω)H(jω) é dado por 
 
 
 E a fase 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 Na tabela abaixo são apresentados os valores do 
módulo e da fase de G(jω)H(jω) para algumas 
freqüências 0< ω <∞. 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 O sistema em malha aberta possui um polo no 
semiplano direito (Np=1). Como o diagrama polar 
envolve o ponto -1+j0 uma vez no sentido anti-
horário (N=-Np=-1), então o sistema em malha 
fechada é estavel 
 
 
Critério de estabilidade de Nyquist 
 Examinando a estabilidade de sistemas lineares de controle 
utilizando o critério de estabilidade de Nyquist, observa-se 
que pode ocorrer três possibilidades: 
 Não existe nenhum envolvimento do ponto -1+j0. Isso implica 
que o sistema será estável se não houver polos de G(s)H(s) no 
semiplano direito do plano s; caso contrário, o sistema é 
instável. 
 Existe um ou mais envolvimentos do ponto -1+j0 no sentido 
anti-horário. Nesse caso, o sistema será estável se o número de 
envolvimentos no sentido anti-horário for o mesmo que o 
número de polos de G(s)H(s) no semiplano direito do plano s; 
caso contrário o sistema será instável. 
 Existe um ou mais envolvimentos no ponto -1+j0 no sentido 
horário. Nesse caso o sistema é instável 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MARGENS DE ESTABILIDADE DIAGRAMA DE NYQUIST 
 As principais vantagens são: 
 Pode ser aplicada tanto a função de transferência calculada 
como para a resposta em frequência medida 
experimentalmente, que muitas vezes é mais fácil de ser 
obtida 
 Fornece uma indicação de margens de segurança nos sistemas 
estáveis em malha fechada, tais como variações máximas no 
ganho CC ou em quaisquer parâmetro, que o sistema tolera 
sem perder a estabilidade; 
 Sugere modificações no sistema para evitar a instabilidade ou 
melhorar o desempenho; 
 
 Sinteticamente, as margens de estabilidade são medidas de 
distância do diagrama de Nyquist ate o ponto -1 + j0. Essas 
medidas são as margem de ganho MG e a margem de fase MF 
 
MARGENS DE ESTABILIDADE DIAGRAMA DE NYQUIST 
 A margem de ganho MG indica quantas vezes o módulo da 
função de transferência de um sistema de malha aberta na 
frequência ω em que a fase é -180°, deve ser aumentado ou 
diminuído para que o diagrama de Nyquist passepelo ponto 
crítico -1+j0, ou seja, 
 
 
 A margem de fase MF indica quanto a fase de um sistema em 
malha aberta, na frequência em que o módulo é igual a 1, deve 
ser variada para que o diagrama de Nyquist passe pelo ponto 
crítico -1+j0, ou seja, 
 
PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS 
POLARES) 
 
PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS 
POLARES) 
 
PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS 
POLARES) 
 
PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS 
POLARES) 
 
PRINCIPAIS VANTAGENS (DIAGRAMAS 
POLARES)