Probabilidade: Adição, Condicional e Regra do Produto

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

Prof.: Duarte
Aula 5
III. Adição de Probabilidade
Sendo A e B eventos do mesmo espaço amostral E, tem-se que:
III. Adição de Probabilidade
Obs: Se A e B são mutuamente exclusivos, então, e, neste caso, ficamos com: 
III. Adição de Probabilidade
Exemplos: 
1) Num grupo de 30 pessoas, 15 são assinantes do Terra, 12 são assinantes do UOL e 3 assinam os dois. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dele:
a) Assinar o Terra ou o UOL?
b) Não assinar nenhum dos dois?
a)
III. Adição de Probabilidade
Exemplos: 
b)
Outro modo de fazer:
1) Num grupo de 30 pessoas, 15 são assinantes do Terra, 12 são assinantes do UOL e 3 assinam os dois. Escolhendo-se uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade dele:
a) Assinar o Terra ou o UOL?
b) Não assinar nenhum dos dois?
III. Adição de Probabilidade
Exemplos: 
2) De um baralho de 52 cartas, sendo 13 de cada naipe (copas, espadas, ouros e paus), uma pessoa retira uma carta. Qual a probabilidade da carta ser de copas ou de ouros?
São mutuamente exclusivos.
III. Adição de Probabilidade
Exemplos: 
Obs.: daria para fazer direto.
2) De um baralho de 52 cartas, sendo 13 de cada naipe (copas, espadas, ouros e paus), uma pessoa retira uma carta. Qual a probabilidade da carta ser de copas ou de ouros?
IV. Probabilidade Condicional
Muitas vezes, o fato de sabermos que certo evento ocorreu, modifica a probabilidade que atribuímos a outro evento. Podemos pensar na probabilidade do evento B, tendo ocorrido o evento A, isto é, a probabilidade condicional de B em relação a A, indicaremos por P(B/A) (lemos probabilidade de B dado A) e será calculado por:
IV. Probabilidade Condicional
3) No lançamento de um dado, qual a probabilidade de obter-se um número maior que 2, sabendo que a face superior apresentou um número menor ou igual a 4?
Espaço Amostral:
Evento A:
Evento B:
IV. Probabilidade Condicional
4) Seja o lançamento de 2 dados e a observação das faces voltada para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos:
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5.
b) Somas das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais.
Evento A: { (1,1) , (2,2) , (3,3) ,(4,4) , (5,5) , (6,6) } e n(A) = 6.
Evento B: { (1,1) , (1,2) ,(1,3) , (1,4) ,(2,1) , (2,2) , (2,3) , (3,1) , 	 (3,2) , (4,1) } e n(B) = 10.
IV. Probabilidade Condicional
4) Seja o lançamento de 2 dados e a observação das faces voltada para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos:
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5.
b) Somas das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais.
a) Neste caso calculamos a probabilidade de A dado B: P(A/B).
IV. Probabilidade Condicional
4) Seja o lançamento de 2 dados e a observação das faces voltada para cima. Suponha que haja interesse nas probabilidades dos seguintes eventos:
a) Faces iguais, sabendo que a soma é menor ou igual a 5.
b) Somas das faces menor ou igual a 5, sabendo que as faces são iguais.
b) Agora calculamos a probabilidade de B dado A: P(B/A).
V. Regra do Produto
Uma das consequências da expressão da probabilidade condicional é a regra do produto, obtida a partir da definição da probabilidade condicional:
V. Regra do Produto
5) Uma urna contém 8 bolas azuis e 2 brancas. Retiramos, ao acaso, 2 bolas, uma após a outra, sem reposição. Se a primeira foi uma azul, qual a probabilidade da segunda ser branca?
V. Regra do Produto
Para a primeira azul temos: 
Qual o Espaço Amostral para a segunda retirada?
Sendo a primeira azul para a segunda branca temos: 
8 bolas azuis e 2 brancas
V. Regra do Produto
6) Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos, ao acaso, 2 cartões, um após o outro, sem reposição, e observamos as cores dos dois cartões.
a) qual a probabilidade de que ambos sejam amarelos?
b) qual a probabilidade do primeiro ser vermelho e o segundo amarelo?
c) qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo?
V. Regra do Produto
a) qual a probabilidade de que ambos sejam amarelos?
Para o primeiro amarelo temos: 
Para o segundo amarelo o espaço amostral será: n(E2) = 11
Sendo o primeiro amarelo para o segundo amarelo temos: 
V. Regra do Produto
b) qual a probabilidade do primeiro ser vermelho e o segundo amarelo?
Para o primeiro vermelho temos: 
Para o segundo amarelo o espaço amostral será: n(E2) = 11
Sendo o primeiro vermelho para o segundo amarelo temos: 
Observação: 
V. Regra do Produto
c) qual a probabilidade de ocorrer exatamente 1 cartão amarelo?
Queremos a probabilidade de ocorrer (A1 ,V2) ou (V1 , A2), ou seja, a união dos dois eventos. Como esses eventos são mutuamente exclusivos, então a probabilidade é dada pela soma, ou seja:
Regra do Produto para 3 Eventos
Para 3 eventos A, B e C, vale a seguinte regra do produto:
Regra do Produto para 3 Eventos
7) Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos 3 cartões, um após o outro, sem reposição. Qual é a probabilidade de que os 3 sejam amarelos?
(pois existem 4 amarelos dentre os 12 cartões). 
(ao retiramos o segundo cartão só temos 3 amarelos e 11 no total).
(ao retiramos o terceiro cartão só temos 2 amarelos e 10 no total).
Regra do Produto para Eventos Independentes
Dois ou mais eventos são independentes quando a ocorrência de um dos eventos não influencia a probabilidade da ocorrência dos outros.
Se dois eventos A e B são independentes, então:
Regra do Produto para Eventos Independentes
8) Uma caixa contém 4 cartões amarelos e 8 vermelhos. Retiramos 2 cartões, um após o outro, sendo que o primeiro cartão é reposto antes da retirada do segundo cartão. Qual é a probabilidade de que ambos sejam amarelos?
(pois existem 4 amarelos dentre os 12 cartões). 
(como há reposição, existem 4 amarelos dentre 12 cartões).
Como há reposição do cartão antes da segunda extração, os eventos são independentes. 
Regra do Produto para Eventos Independentes
9) Uma sacola tem 6 abacates, 10 maçãs e 4 jacas. Retirando-se aleatoriamente 3 frutas, uma de cada vez, com reposição, qual a probabilidade de serem três frutas diferentes?
Exercícios
10) Uma urna tem 100 bolas, numeradas de 00 a 99. Cada grupo de 4 bolas numeradas na sequência tem uma letra. Deste modo as bolas de 01 a 04 têm a letra A, as de 05 a 08 têm a letra B, as 09 a 12 têm a letra C, e assim sucessivamente até as bolas 97, 98, 99 e 00, que têm a letra Y, perfazendo um total de 25 letras. Tirando uma bola da urna qual a probabilidade de:
a) ser um determinado número, por exemplo 35.
b) ter a letra C.
c) ter a letra C ou D.
d) retirando duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de serem C e D?
Exercícios
a) ser um determinado número, por exemplo 35.
Espaço Amostral: n(E) = 100; n(N) = 1.
b) ter a letra C.
Como temos 4 bolas com a mesma Letra: n(C) = 4.
Exercícios
c) ter a letra C ou D.
Para C: n(C) = 4 e para D: n(D) = 4. 
São mutuamente exclusivos
Exercícios
d) retirando duas bolas, sem reposição, qual a probabilidade de serem C e D?
Para a letra C temos: 
Para a segunda letra (D):
Sendo a primeira C para a segunda D temos: 
Exercícios
11) A probabilidade de que a população atual de um país seja 50 milhões ou mais é de 95%. A probabilidade de ser 50 milhões ou menos é de 8%. Calcule a probabilidade de ser 50 milhões.
50 milhões ou mais são 95% : 
50 milhões ou menos são 8%: 
Probabilidade de ser 50 milhões:
População toda:
Exercícios
12) Escolhida uma carta de um baralho de 52 cartas e sabendo que esta carta é de copas, qual a probabilidade de ser Rei?
n(E) = 52 ; n(c) = 13 e