AD2_metdet_ii_2015_2_Tutor (1)

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Fundac¸a˜o Centro de Cieˆncias e Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educac¸a˜o Superior a Distaˆncia do Estado do Rio de Janeiro
Me´todos Determin´ısticos II
2o Semestre de 2015
Gabarito da Avaliac¸a˜o a Distaˆncia 2 - AD2
Questa˜o 1 [3,0 pts] Responda as seguintes questo˜es a respeito da func¸a˜o f(x) = 4x+5
x2−1
(a) Determine o domı´nio de f ;
(b) Calcule e estude o sinal de f ′(x);
(c) Calcule a f ′′(x);
(d) Calcule os seguintes limites de ±1 e os limites de x→ ±∞;
(e) Junte todas estas informac¸o˜es para fazer um esboc¸o do gra´fico de f .
Soluc¸a˜o: (existem duas formas de pontuar esta questa˜o - pois foi feita uma atualizac¸a˜o no arquivo
da AD2.
1a forma: a) vale 0,3pt, b) 0,3pt pela derivada +0,3pt pelo estudo do sinal,c) 0,3pt pela derivada
+0,4pt pelo estudo do sinal, d) 0,4 pt pelo limites, e) 1,0 pt esboc¸o do gra´fico.
2a forma:a) vale 0, 3pt, b) 0, 3pt pela derivada +0, 5pt pelo estudo do sinal, c) 0, 5pt pela f ′′, d) 0, 4pt
pelo limites, e) 1, 0 pt esboc¸o do gra´fico.)
(a) Para que x ∈ Df , precisamos que o denominador x2 − 1 seja diferente de zero. Resolvendo
x2 − 1 = 0⇒ x = −1 e x = 1.
Portanto, Df = {x ∈ R : x 6= −1 e x 6= 1}.
(b) Derivando
f ′(x) =
4(x2 − 1)− (4x+ 5)× 2x
(x2 − 1)2 = −
2
(
2x2 + 5x+ 2
)
(x2 − 1)2 .
Como o denominador e´ um quadrado o u´nico que contribui para o sinal e´ o numerador. Resolvendo a
para encontrar as ra´ızes obtemos x = −1/2 e x = −2. Como a equac¸a˜o do 2a grau tem o coeficiente
do termo ao quadrado negativo segue que para −2 < x < −1/2 f ′(x) > 0 e f ′(x) < 0 no restante dos
reais menos ±1.
(c) Derivando f ′ obtemos
f ′′(x) = −2
[
(4x+ 5)(x2 − 1)2 − (2x2 + 5x+ 2)2(x2 − 1)2x
(x2 − 1)4
]
=
2
(
4x3 + 15x2 + 12x+ 5
)
(x2 − 1)3
E´ preciso fazer o estudo do sinal de f ′′. Para isso considere g(x) = 4x3 + 15x2 + 12x+ 5 e vamos
analisar o comportamento desta func¸a˜o. Observe que se voceˆ derivar e encontrar as ra´ızes, isto e´,
g′(x) = 0, tera´ x = −2 e x = −1/2. Agora avaliando g(−2) = 0 e g(−1/2) = 9/4. Portanto, g(x) so´
tera´ uma raiz em algum ponto x0 < −2. Ale´m disso, g(−3) = −4. Portanto, −3 < x0 < −2.
Da´ı levando em considerac¸a˜o que o denominador (x2 − 1)3 tem o mesmo sinal que x2 − 1. Enta˜o,
Para x ∈ (−∞, x0) ∪ (−1, 1) temos f ′′(x) < 0 e f ′′(x) > 0 no complementar deste intervalo.
(d) Precisamos calcular os limites para entender como se comporta a func¸a˜o pro´ximo aos valores que
na˜o esta definida e, no infinito. Para calcular o limx→−1− 4x+5x2−1 , observe que para −1, 25 > x > −1 o
numerador e´ positivo e maior que zero, ja´ o denominador se aproxima de zero com valores positivos.
Portanto, o limite, em questa˜o, vai para +∞. Ja´ para o limite limx→−1+ 4x+5x2−1 = −∞, uma vez que a
1
ana´lise fica invariante, exceto pelo fato de o denominador se aproximar de zero com valores negativos.
Com uma ana´lise semelhante, conclu´ımos que
lim
x→1−
4x+ 5
x2 − 1 = −∞ e limx→1+
4x+ 5
x2 − 1 = +∞.
Ja´
lim
x→±∞
4x+ 5
x2 − 1 = limx→±∞
x2
x2
· 4/x+ 5/x
2
1− 1/x2 = 0.
d) Veja o gra´fico e a direita um detalhe dele.
Figure 1: gra´fico de f(x)
Questa˜o 2 [2,0 pts] Certa empresa consegue vender o seu u´nico produto por R$1453, 00 a unidade.
Estima-se que o custo por produzir e vender q unidades e´ dado por
c(q) = q3 − 3q2 + 4q + 2.
Suponha que toda a produc¸a˜o seja vendida. Qual a quantidade que devera´ ser produzida para a
empresa maximizar o seu lucro?
Soluc¸a˜o: (montar a func¸a˜o 0,5pt, derivar 0,5pt e concluir corretamente 1,0pt) Vamos montar uma
func¸a˜o lucro da companhia, por ser
L(q) = 1453q − c(q) = −q3 + 3q2 + 1449q − 2.
Derivando temos L′(q) = −3q2+6q+1449. Igualando a zero e calculando as raz´ızes obtemos q = −21
e q = 23. portanto, como q e´ a quantidade de um determinado produto, q ≤ 0. Ale´m disso, a func¸a˜o
e´ crescente entre −21 < x < 23. Segue que em q=23 sera´ o maior valor que L assumira´. Calculando
L(23) = 22745, 00.
Questa˜o 3: [3,0 pts] Encontre as derivadas das seguintes func¸o˜es:
a) f(t) =
t+ 1
t ln(t)
b) g(t) =
3
√
t+ t√
t+ 1
c) h(x) =
√
x+
3
x2 + 3
d) l(x) =
ex
x+ 1
2
Soluc¸a˜o: a)(0,7pt) Aplicando a regra do quociente, sabendo que [t ln(t)]′ = ln(t) + 1, temos
f ′(t) = − t+ ln(t) + 1
t2 ln2(t)
b)(0,8pt)
g′(t) =
3
(√
t+ 2
)
3
√
t2 −√t+ 2
6
(√
t+ 1
)2 3√t2 .
c) (0,8pt)
h′(x) =
1
2
√
x
− 6x
(x2 + 3)2
d) (0,7pt)
l′(x) =
exx
(x+ 1)2
.
Questa˜o 4: [2,0 pts] Seja r uma reta passando pelo ponto (1, 2) e interceptando os eixos nos pontos
A = (a, 0) e B = (0, b), com a > 0 e b > 0. Determine r de modo que a distaˆncia entre A e B seja a
menor poss´ıvel.
Soluc¸a˜o: (0, 5pt por encontrar a equac¸a˜o da reta +0, 5pt pela func¸a˜o distaˆncia +0, 5pt pela derivada
correta +0, 5pt por concluir corretamente)Em primeiro lugar vamos determinar a equac¸a˜o da reta que
passa por B e (1, 2). Temos
y − b = 2− b
1− 0(x− 0),
Da´ı, y − b = (2 − b)x. Vamos determinar o ponto em que esta reta corta o eixo x. Para isso
fac¸a y = 0 e temos x = bb−2 . Como queremos determinar a e b, com a > 0 e b > 0 tais que
dis(A,B) =
√
(a− 0)2 + (0− b)2. Como a func¸a˜o raiz quadrada √ e´ crescente, podemos minimizar
apenas o radicando, e obter, f(a, b) = a2 + b2, com a restric¸a˜o de que A e B estejam sobre a reta que
passa por (1, 2). Da´ı, precisamos minimizar
f(b) =
(
b
b− 2
)2
+ b2 =
b4 − 4b3 + 5b2
(b− 2)2 .
Derivando
f ′(b) = 2b
(
b3 − 6b2 + 12b− 10
(b− 2)3
)
Temos que igual a zero o numerador. E´ claro que b = 0 e´ uma soluc¸ ao. Apesar disso, precisamos
encontrar as ra´ızes de b3 − 6b2 + 12b − 10 = 0. Na˜o quero fazer uma ana´lise deste polinoˆmio. Enta˜o
fac¸amos a seguinte mudanc¸a de coordenadas b = x+2 ao substituirmos obtemos x3−2 = 0, portanto,
e´ claro que este polinoˆmio so´ tem uma soluc¸a˜o x = 3
√
2 e portanto, as u´nicas soluc¸o˜es para f ′(b) = 0
sa˜o: b = 0 e b = 2 + 3
√
2.
Se b = 0, enta˜o a = 0. Caso b = 2 + 3
√
2 enta˜o a = 2+
3√2
3√2 .
3