Lista de Exercícios 3

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Uninassau 
Núcleo Básico de Engenharia 
Disciplina: Equações Diferenciais 
Lista de Exercícios 3 – Equações de 1ª Ordem 
 
Questão 2: dado o seguinte problema de valor inicial (PVI): 
2
3)0( , )1( 2 =+=′+ yxyxyx 
a) encontre a solução geral da EDO separável (1,5 ponto); 
b) encontre a solução do PVI (1,0 ponto). 
 
Questão 3: dada a seguinte equação diferencial: ( ) ( ) 0)cos(2)cos()(2)( =′++− yxyexysenysene xx 
a) mostre que a EDO é exata (1,0 ponto); 
b) encontre a solução dessa EDO (1,5 ponto). 
 
Questão 4: Dada a seguinte EDO de primeira ordem: 
 
a) Encontre a solução geral da EDO (1,0 ponto) 
 
b) Mostre que, independente do valor de C, (1,5 ponto) 
 
Questão 2: A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz, um capacitor 
com capacitância C farads (F) e um resistor com resistência de R ohms (Ω). 
 
A queda de voltagem no capacitor é Q/C, onde Q é a carga (em coulombs): nesse caso a 
Lei de Kirchhoff fornece: )(tE
C
QRI =+ 
Mas I = dQ/dt, assim temos )(tE
C
Q
dt
dQR =+ 
Suponha que a resistência seja de 20Ω, a capacitância de 0,1F e a força elemotriz seja 
igual a 50V. 
a) Encontre Q(t), ou seja, resolva a EDO acima sabendo que ela é separável (1,5 
ponto) 
b) Qual o valor de Q quando t tende ao infinito? (1,5 ponto) 
Questão 3: Questão: dada a EDO ( ) ( ) 0)sin()sin()cos()cos( =−++ dyyxxdxxyy 
 
a) Mostre que a EDO é exata (0,5 ponto); 
b) Resolva a EDO pelo método da EDO exata (1,0 ponto); 
c) Resolva o problema de valor inicial y(�) =0 (0,5 ponto). 
 
0)(lim =
∞→x
xy
2
22 xxexy
dx
dy
−
=+
Questão 4: Dada a seguinte EDO de primeira ordem: xex
x
y
dx
dy






+=+
2
1 
a) Encontre a solução geral da EDO (1,5 ponto) 
b) Resolva o problema de valor inicial: 2)2( −= ey (1,0 ponto) 
Questão 2: Dada a seguinte EDO de primeira ordem ( ) 0)cos(
3
)sin(3 =





++
dx
dyyxyex 
a) Mostre que a EDO não é exata (1,0 ponto); 
b) Encontre o fator integrante ���� que torna a EDO exata (1,5 ponto); 
c) Resolva a EDO exata resultante (1,5 ponto); 
d) Resolva o problema de valor inicial y(0) = 5 (1,0 ponto) 
 
Questão 4: Dada a seguinte EDO de primeira ordem: 32 xy
dx
dy
x =+ 
a) Encontre a solução geral da EDO (1,5 ponto) 
b) Resolva o problema de valor inicial: y(5) = 26 (1,0 ponto) 
Questão 2: (2,5 pontos) Resolva a seguinte EDO Separável: 0)sin()cos(1 =+− xye
dx
dyy x 
Questão 3: dada a EDO ( ) 02)ln(6 =−+





+ dyxdxx
x
y
 
a) Mostre que a EDO é exata (0,5 ponto); 
b) Resolva a EDO pelo método da EDO exata (1,0 ponto); 
c) Resolva o problema de valor inicial y(1) =0 (1,0 ponto); 
 
Questão 4: Dada a seguinte EDO de primeira ordem: 32 xy
dx
dy
x =+ 
c) Encontre a solução geral da EDO (1,5 ponto) 
d) Resolva o problema de valor inicial: y(5) = 26 (1,0 ponto) 
 
Questão 1: dada a seguinte equação diferencial separável: 22221 yxyx
dx
dy
+++= 
 
a) resolva a equação separável; 
b) resolva o problema de valor inicial: eey =)( 
c) para quais valores de y a edo possui solução? 
 
Questão 2: dada a equação diferencial 04)sin(2 =++
dx
dy
xyxx 
a) mostre que a EDO não é exata. 
b) encontre o fator )(xµ que torna a EDO exata 
c) resolva a EDO exata do item (b) 
 
Questão 3: dado o seguinte problema de valor inicial: 1)0( , )][cos()( 2 ==+ yxxytg
dx
dy
 
a) resolva a equação diferencial linear; 
b) resolva o problema de valor inicial dado; 
 
Questão 4: Dada a equação diferencial )sin( yx
dx
dy
−= 
a) use a mudança de variável z = x - y para transformar essa EDO em uma EDO 
separável 
b) resolva a EDO separável 
 
Questão 1: Dada a EDO 0=−+
dx
dy
xeyex x
y
x
y
 
a) mostre que a EDO é homogênea, ou seja, f(tx, ty) = f(x, y) 
b) use a mudança de variável v = y/x para transformar essa equação em uma EDO 
separável. 
c) resolva a EDO separável; 
d) resolva o PVI y(1) = 0 
 
Questão 2: dada a seguinte equação linear: 
 )2sin()( xxytg
dx
dy
=+ 
a) resolva a equação diferencial linear; 
b) resolva o problema de valor inicial dado 1)0( =y ; 
 
Questão 3: Um barril com 2000 L de cerveja contém 4% de álcool (em volume). 
Cerveja com 6% de álcool é bombeada para dentro do barril a uma taxa de 20 L/min e a 
mistura é bombeada para fora do barril a mesma taxa. Considerando y(t) a porcentagem 
de álcool no tanque no instante t responda: 
a) modele o problema para encontrar a equação diferencial separável que representa 
essa situação. 
b) resolva a EDO separável para encontrar y(t); 
c) Qual a porcentagem de álcool depois de uma hora? 
 
Questão 4: dada a equação diferencial: ( ) 02)sin( 22 =+++
dx
dy
exyxy y
 
a) mostre que a equação é exata; 
b) resolva a equação pelo método da equação exata; 
 
Questão 1: dada a seguinte equação diferencial separável: 21 y
ye
dx
dy x
+
= 
 
a) resolva a equação separável; 
b) resolva o problema de valor inicial: 1)0( =y 
 
Questão 2: dada a equação diferencial ( ) ( ) 04342 2 =−+− dyxxydxyy 
a) mostre que a EDO não é exata. 
b) encontre o fator )(yµ que torna a EDO exata 
c) resolva a EDO exata do item (b) 
 
Questão 3: dado o seguinte problema de valor inicial: 1)0( , 22 2 ==+ − yxexy
dx
dy x
 
a) resolva a equação diferencial linear; 
b) resolva o problema de valor inicial dado; 
 
Questão 4: dada a equação diferencial 22 yey
dx
dy x
−= 
a) use a mudança de variável 1−= yv para transformar essa equação em uma EDO 
linear; 
b) resolva a EDO linear resultante; 
c) resolva o problema de valor inicial y(0) = 2 
 
Questão 1: Dada a equação diferencial 1−+= yx
dx
dy
 
a) use a mudança de variável z = x + y para transformar essa EDO em EDO separável 
b) resolva a EDO separável 
 
Questão 2: dada a equação diferencial ( ) 0213 22 =++− xydydxxy 
a) mostre que a EDO não é exata. 
b) encontre o fator )(xµ que torna a EDO exata 
c) resolva a EDO exata do item (b) 
 
Questão 3: dada a equação diferencial 2
32
x
yy
xdx
dy
=+ 
a) use a mudança de variável 2−= yv para transformar essa equação em uma EDO 
linear; 
b) resolva a EDO linear resultante; 
c) resolva o problema de valor inicial y(2) = 1 
 
Questão 4: A figura mostra um circuito contendo uma força eletromotriz, um capacitor 
com capacitância C farads (F) e um resistor com resistência de R ohms (Ω). A queda de 
voltagem no capacitor é Q/C, onde Q é a carga (em coulombs): nesse caso a Lei de 
Kirchhoff fornece: )(tE
C
QRI =+ 
 
Mas I = dQ/dt, assim temos )(tE
C
Q
dt
dQR =+ 
Suponha que a resistência seja de 10Ω, a capacitância de 0,5F e a força elemotriz seja 
igual a 50t V. 
a) Encontre Q(t), ou seja, resolva a EDO acima sabendo que ela é separável 
Qual o valor de Q quando t tende ao infinito? 
 
 
 
 
Questão 1: dada a equação diferencial: 0)12(2 22 =+++
dx
dy
y
yxexy x
 
a) mostre que a equação é exata; 
b) resolva a equação pelo método da equação exata; 
c) resolva o problema de valor inicial: ey =)1( 
 
Questão 2: Dada a EDO 332 xy
dx
dy
xy −= 
a) mostre que a EDO é homogênea, ou seja, f(tx, ty) = f(x, y) 
b) use a mudança de variável v = y/x para transformar essa equação em uma EDO 
separável. 
c) resolva a EDO separável; 
d) resolva o PVI y(1) = 2 
 
Questão 3: dada a seguinte equação linear: 
 )2sin()(cot xxgy
dx
dy
=+ 
a) resolva a equação diferencial linear; 
b) resolva o problema de valor inicial dado 1)0( =y ; 
 
Questão 4: Um barril com 1000 L de cerveja contém 3% de álcool (em volume). 
Cerveja com 7% de álcool é bombeada para dentro do barril a uma taxa de 25 L/min e a 
mistura é bombeada para fora do barril a mesma taxa. Considerando y(t) a porcentagem 
de álcool no tanque no instante t responda:a) modele o problema para encontrar a equação diferencial separável que representa 
essa situação. 
b) resolva a EDO separável para encontrar y(t); 
c) Qual a porcentagem de álcool depois de 40 minutos? 
 
Questão 1: dada a seguinte equação diferencial separável: 21
)cos(
y
xy
dx
dy
+
=
 
 
a) resolva a equação separável; 
b) resolva o problema de valor inicial: 10)( =piy
 
 
Questão 2: dada a equação diferencial: 
 ( ) 04)(sin2)cos()sin(2 22 22 =+−++−
dx
dy
xyexxeyyxxy xyxy
 
a) mostre que a equação é exata; 
b) resolva a equação pelo método da equação exata; 
 
Questão 3: dada a equação diferencial 2y
x
x
y
dx
dy
−= 
a) use a mudança de variável 3yv = para transformar essa equação em uma EDO linear; 
b) resolva a EDO linear resultante; 
c) resolva o problema de valor inicial y(1) = 1 
 
 
Questão 4: Um problema típico de mistura envolve um tanque de capacidade fixa 
preenchido com uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma 
solução de uma dada concentração entra no tanque a uma taxa fixa e a mistura, bem 
agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se y(t) representa 
a quantidade de substância no tanque no instante t, então y’(t) é a taxa na qual a 
substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Um 
tanque contém 30kg de sal dissolvido em 5000L de água. Água salgada com 0,04kg de 
sal por litro entra no tanque a uma taxa de 25 L/min. A solução é misturada e sai do 
tanque à mesma taxa. 
a) modele o problema para encontrar a equação diferencial separável que representa 
essa situação. 
b) resolva a EDO separável para encontrar y(t); 
c) Qual a quantidade de sal que permanece no tanque depois de 40 minutos?