2ª Prova de Eng. Ambiental

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UNIVERSIDADE TECNOLO´GICA FEDERAL DO PARANA´
Prof.: Adilandri Me´rcio Lobeiro
1a Avaliac¸a˜o de E.D.O. - 16/09/2011
Acadeˆmico(a):
1a Questa˜o: (2,5 pontos) Encontre a soluc¸a˜o do problema de valor inicial (PV I)


(e−y + 1) sin xdx = (1 + cos x)dy
y(0) = 0
2a Questa˜o: (2,5 pontos) Uma cidade e´ abastecida por um lago cujo manancial e´ de
108 l e que e´ alimentada por um rio cuja vaza˜o e´ de 200 l/min. Algumas fabricas
localizadas a` beira deste rio o poluem na ordem de 60 g/l. A quantidade ma´xima de
poluente admiss´ıvel, por decisa˜o das autoridades sanita´rias, e´ da ordem de 25 g/l. O
Prefeito municipal, muito preocupado com as constantes reclamac¸o˜es que colocam
em perigo a eleic¸a˜o de seu candidato, pede ao engenheiro hidra´ulico, responsa´vel
pelo abastecimento, que resolva o grave problema em um prazo ma´ximo de 4 me-
ses(para na˜o ultrapassar o dia das eleic¸o˜es).O engenheiro resolve desviar o curso de
outro rio (considerando que as condic¸o˜es topogra´ficas impec¸am que seja desviado o
curso do rio polu´ıdo), cujas a´guas esta˜o com um grau de poluic¸a˜o de 10 g/l, fazendo
com que o mesmo alimente o lago com uma vaza˜o de 800 l/min. Desprezando-
se a evaporac¸a˜o e outros fatores que viessem a alterar o volume do manancial
(considerando-o, portanto, constante), pergunta-se: O candidato do Prefeito sera´
eleito?
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3a Questa˜o: (2,0 pontos) Um grande tanque esta´ com 100 litros de um fluido no qual
foram dissolvidos 10 gramas de sal. Uma salmoura contendo
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grama de sal por
litro e´ bombeado para dentro do tanque a uma taxa de 6 litros por minuto (6 l/min).
A soluc¸a˜o bem misturada e´ enta˜o bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min.
1. Ache a quantidade de gramas de sal no tanque apo´s 30 minutos;
2. O tamanho do tanque contendo a mistura de sal na˜o foi dado. E´ claro que,
uma vez que a salmoura esta´ se acumulando no tanque a uma taxa de 2l/min,
qualquer tanque finito deve, mais cedo ou mais tarde, derramar. Suponha
agora que o tanque tenha uma tampa aberta e uma capacidade total de 400
litros.
(a) Quando o tanque transbordara´?
(b) No instante em que estiver transbordando, qual sera´ a quantidade de
gramas de sal no tanque?
(c) Suponha que, embora o tanque esteja transbordando, a soluc¸a˜o salina
continue a ser bombeada para dentro a uma taxa de 6 l/min e a soluc¸a˜o
bem misturada continue a ser bombeada para fora a uma taxa de 4 l/min.
Crie um me´todo para determinar a quantidade de gramas de sal no tanque
no instante t = 250 min.
(d) Determine a quantidade de gramas de sal no tanque quando t → ∞.
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